Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500€ ein.

Er erhält jählich 2,5% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

  1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

  2. Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500€ verdoppelt hat?

Exponentielles Wachstum

allg. Formel             = %%a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor b = %%1,025%%

Anfangswert a        = %%500\;%%

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

%%\left[y\right]%% in Euro

Erhält Hans jährlich %%2,5\% %% Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das 1,025-fache des vorherigen Betrags von 500 Euro.

   

Teilaufgabe a

   

Gesucht ist y

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

= %%1%%

Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau %%1,025^1%% -fache des vorherigen Betrages gestiegen.

%%500\cdot1,025^1=512,50%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=2

Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das 1,025 fache aufgeschlagen.Ein Zuwachs von  %%1,025\cdot1,025\;%% also  %%5,1\% %% .

%%500\cdot1,025^2=525,31%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=5

%%500\cdot1,025^5=565,70%% Euro

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

=10

%%500\cdot1,025^{10}=640,04%% Euro

 

Teilaufgabe b

    

allg. Formel             = %%a\cdot b^t=y%%

Wachstumsfaktor b = %%1,025%%

Anfangswert a        = %%500\;%%

y

Exponent= %%\left[t\right]%% in Jahren

%%\left[y\right]%% in Euro

Gesucht ist t

Gesucht ist hierbei die Variable %%\left[t\right]%% in Jahren, also die Anzahl der Jahre die verstreichen müssen, bis Hans 1000 Euro auf seinem Konto hat.

%%500\cdot1,025^t=1000%%

%%\left|:\;500\right.%%

%%1,025^t=2%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%\log_{1,025}\left(2\right)=t%%

%%t\approx28,2\;%% Jahre

%%\Rightarrow%% Im 29. Jahr besitzt Hans 1000 Euro auf seinem Konto.

(Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung festgelegt ist, dass Hans erst am Ende des Jahres seine Zinsen gutschreiben lässt. Nach 28,2 Jahren hat er zwar theoretisch die 1000€ erreicht, jedoch werden diese erst am Ende des Jahres, also nach insgesamt 29 Jahren, auf seinem Konto erscheinen.)