Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine so genannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

  1. Wie kann man die Menge %%\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right)%% des radioaktiven Jod 131 als Funktion der Zeit t angeben?

  2. Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge %%{\mathrm M}_0=400\mathrm g%% war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

  3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

Exponentielles Wachstum

Allg. Formel: %%M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)%%

Anfangswert a = %%400g%% %%=M\left(0\right)%%

Zeit %%\left[t\right]%% in Tagen

%%M\left(t\right)\;in\;g%%

%%M\left(8\right)=200g%%

Teilaufgabe a

  

Gesucht ist der Abnahmefaktor b

%%400g\cdot b^8=200g%%

%%b^8=\frac12%%

%%b=\sqrt[8]{\frac12}%%

%%b\approx0,917%%

%%\rightarrow M\left(t\right)=400g\cdot0,917^t%%

   

Teilaufgabe b

     

%%M\left(1\right)=400g\cdot0,917^1%%

%%=366,8\;g%%

%%\frac{366,8}{400}=0,917=91,7\% %%

%%M\left(30\right)=400g\cdot0,917^{30}%%

%%\approx29,73\;g%%

%%\frac{29,73}{400}\approx0,074=7,4\% %%

  

Teilaufgabe c

   

%%\frac1{1000}\;g=400\;g\cdot0,917^t%%

%%\frac1{400000}\;g=0,917^t%%

%%\log_{0,917}\left(\frac1{400000}\right)=148,87%%

%%\Rightarrow%% Man musste etwa 148,87 Tage warten.