%%f\left(x\right)=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)%%

  1. Untersuche f auf Stetigkeit

  2. Untersuche f auf Differenzierbarkeit

  3. Diskutiere %%G_f%% .

  4. Zeichne %%G_f%%

  5. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen %%G_f%% und der x-Achse, das oberhalb der x-Achse liegt.

Teilaufgabe a

Funktion betragsfrei machen

 

%%f\left(x\right)=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)%%

Um den Betrag zu eliminieren muss eine Article Fallunterscheidung (188) not found für x %%\geq%% 0 und x < 0 durchgeführt werden.

 

 

Fall x %%\geq%% 0

Da x %%\geq%% 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.

%%f\left(x\right)=\left(3-x\right)\left(x+1\right)%%

          %%=3x+3-x^2-x=%%

Gleichartige Elemente zusammenfassen.

          %%=-x^2+2x+3%%

 

 

 

Fall x<0

Da x < 0 ist wird -x für %%\left|x\right|%% eingesetzt.

%%f\left(x\right)=\left(3+x\right)\left(x+1\right)%%

          %%=\;3x+3+x^2+x=%%

Gleichartige Elemente zusammenfassen.

          %%=x^2+4x+3%%

 

 

 

Stetigkeit

Für x>0 und x

Untersucht werden muss nur der Fall x=0.

 

 

f(0) berechnen

 

%%f\left(x\right)=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)%%

0 einsetzen

%%f\left(0\right)=\left(3-\left|0\right|\right)\left(0+1\right)%%

 

         %%=3%%

 

 

 

 

%%\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=%%

Es muss der Term ausgewählt werden, der für x

%%=\lim_{x\rightarrow0^-}\left(x^2+4x+3\right)%%

0 einsetzen.

%%=0^2+4\cdot0+3=3%%

 

 

 

Annäherung an 0 von rechts

 

%%\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=%%

Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.

%%=\lim_{x\rightarrow0^+}\left(-x^2+2x+3\right)%%

0 einsetzen.

%%=-0^2+2\cdot0+3=3%%

 

 

 

%%\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=f\left(0\right)\;\;\Rightarrow\;\;%% f ist bei 0 stetig .

 

 

Teilaufgabe b

Ableitung

 

%%f\left(x\right)=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)%%

Es muss eine Fallunterscheidung für x durchgeführt werden.

 

 

Fall: x>0

 

%%f\left(x\right)=\left(3-x\right)\left(x+1\right)=%%

 

         %%=-x^2+2x+3%%

Erste Article Ableitung (64) not found bilden.

%%f'\left(x\right)=-2x+2%%

 

 

 

Fall: x<0

 

%%f\left(x\right)=\left(3+x\right)\left(x+1\right)=%%

 

         %%=x^2+4x+3%%

Erste Article Ableitung (64) not found bilden.

%%f'(x)=2x+4%%

 

 

 

Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden.Hierzu muss man für diesen Punkt die Article Ableitung (64) not found durch Annäherung von links und rechts betrachten.

 

Bei Annäherung von links, muss  %%f'(x)=2x+4%% betrachtete werden, da x<0.

%%\lim_{x\rightarrow0^-}\left(2x+4\right)=4%%

Bei Annäherung von rechts, muss %%f'\left(x\right)=-2x+2%% betrachtete werden, da x>0.

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\left(-2x+2\right)=2%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Nicht differenzierbar, da %%\lim_{x\rightarrow0^-}f'\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow0^+}f'\left(x\right)%%

 

Teilaufgabe c

Definitionsbereich bestimmen

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder andere Terme enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=ℝ%% .

 

 

Nullstellenbestimmung

Article 188 not found

Fall: x %%\geq%% 0

Betragsfreie Darstellung aus Teilaufgabe a verwenden und gleich 0 setzen.

%%0=-x^2+2x+3%%

Zur Lösung muss die Mitternachtsformel verwendet werden.

%%x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot3}}{2\cdot\left(-1\right)}=%%

 

        %%=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}=%%

        %%=\frac{-2\pm4}{-2}%%

 

%%x_1=-1,\;x_2=3%%

  %%x_1%% ist hier keine gültige Lösung, da <0.

 

 

Fall: x<0

Betragsfreie Darstellung aus Teilaufgabe a verwenden und gleich 0 setzen.

%%0=x^2+4x+3%%

Zur Lösung muss die Mitternachtsformel verwendet werden.

%%x_{3,4}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot\left(1\right)\cdot3}}{2\cdot1}=%%

 

        %%=\frac{-4\pm\sqrt4}2=%%

         %%=\frac{-4\pm2}2%%

 

%%x_3=-1,\;x_4=-3%%

 

Die Article Nullstellen (188) not found der Funktion sind die Article Nullstellen (188) not found der beiden Fälle miteinander vereinigt: %%x_2=3,\;x_3=-1,\;x_4=-3%%

 

Ableitungen

Article 64 not found

Fall: x>0

%%f'\left(x\right)%% aus Teilaufgabe b.

%%f'\left(x\right)=-2x+2%%

Zweite Article Ableitung (64) not found bilden.

%%f''\left(x\right)=-2%%

 

 

 

Fall: x<0

%%f'\left(x\right)%% aus Teilaufgabe b.

%%f'(x)=2x+4%%

Zweite Article Ableitung (64) not found bilden.

%%f''\left(x\right)=2%%

 

 

 

Extrema bestimmen

Artikel zum Thema

Für die Bestimmung der Extrema muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.

Fall: x>0

 

%%f'\left(x\right)=-2x+2%%

Setze die Funktion %%f'%% gleich 0.

  %%0=-2x+2%%

%%\left|{+2x}\right.%%

%%2x=2%%

%%\left|{:2}\right.%%

  %%x=1%%

 

%%f\left(x\right)=-x^2+2x+3%%

Gefundenes x in f einsetzen, um den y-Wert zu erhalten.

%%f\left(1\right)=-1^2+2\cdot1+3=4%%

 

Ob (1|4) Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist, ergibt sich aus der Monotonietabelle (siehe unten).

 

 

Fall: x<0

 

%%f'(x)=2x+4%%

Setze die Funktion %%f'%% gleich 0.

%%0=2x+4%%

  %%\left|{-4}\right.%%

%%2x=-4%%

  %%\left|{:2}\right.%%

%%x=-2%%

 

%%f\left(x\right)=x^2+4x+3%%

Gefundenes x in f einsetzen, um den y-Wert zu erhalten.

%%f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)+3=-1%%

 

Ob (-2|-1) Hoch -, Tief - oder Terrassenpunkt ist, ergibt sich aus der Monotonietabelle (siehe unten).

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Unterteilungsstellen der Monotonietabelle sind die Nullstellen von  %%f'%% und x=0.

  %%x </td> <td>%%x=-2%%</td> <td>%%-2 x=0 %%0<td>%%x=1%%</td> <td>%%1
VZ von %%f'\left(x\right)%% - \ + Existiert nicht, siehe c. + \ -
%%G_f%% %%\searrow%% TP (-2|-1) %%\nearrow%% kein Extremum %%\nearrow%% HP (1|4) %%\searrow%%

 

Krümmungsverhalten bestimmen

Da sowohl die zweite Article Ableitung (64) not found für %%x\geq0%% ( %%f''\left(x\right)=-2%% ) als auch die zweite Article Ableitung (64) not found für %%x

 

  x 0 0
VZ von %%f''\left(x\right)%% + existiert nicht -
%%G_f%% Linkskrümmung WP (0|3) Rechtskrümmung

 

Grenzwertbetrachtung

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%% Betrachtet werden. Hierbei wird für  %%x\rightarrow+\infty%% die Funktion

%%f\left(x\right)=\left(3-x\right)\left(x+1\right)%% und für %%x\rightarrow-\infty%% die Funktion %%f\left(x\right)=\left(3+x\right)\left(x+1\right)%% betrachtet.

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\underset{\rightarrow-\infty}{\underset︸{\left(3-x\right)}}\underset{\rightarrow+\infty}{\underset︸{\left(x+1\right)}}=-\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\underset{\rightarrow-\infty}{\underset︸{\left(3+x\right)}}\underset{\rightarrow-\infty}{\underset︸{\left(x+1\right)}}=+\infty%%

 

 

 

Symmetrieverhalten

%%f\left(x\right)=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)%%

Ersetze x durch -x.

%%f\left(-x\right)=\left(3-\left|-x\right|\right)\left(-x+1\right)%%

 

%%=\left(3-\left|x\right|\right)\left(-x+1\right)%%

 

Da %%f\left(-x\right)%% weder %%-f\left(x\right)%% noch %%f\left(x\right)%% ist, weist die Funktion keine Symmetrie zum Koordinatensystem auf.

 

 

Teilaufgabe d

Geogebra File: /uploads/legacy/927.xml

 

 

Teilaufgabe e

Abschnitte festlegen

 

Wegen der Änderung des Funktionsterms an der Stelle x=0 müssen die Bereiche links und rechts der y-Achse getrennt voneinander betrachtet werden.

  1. Abschnitt: %%x\in\left[-1;0\right]%%

 

  1. Abschnitt: %%x\in\left[0;3\right]%%

 

 

 

Integral aufstellen

Abschnitt 1 bestimmen

 

%%A_1=\int_{-1}^0\left(x^2+4x+3\right)\mathrm{dx}%%

Es taucht kein c auf, da wegen des Integrierens der x-Achse c entstehen würde, das mit dem c wegfällt.

     %%=\left[\frac13x^3+\frac42x^2+3x\right]_{-1}^0%%

In die Klammer wird für x der rechte Punkt (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Punkt (-1) gerechnet.

     %%=\left[\frac13\cdot0^3+\frac42\cdot0^2+3\cdot0\right]-\left[\frac13\left(-1\right)^3+\frac42\left(-1\right)^2+3\left(-1\right)\right]%%

Die erste Klammer fällt weg, da jedes Element in der Klammer mit 0 multipliziert wird.

Die hintere Klammer wird aufgelöst.

     %%=-\frac13\left(-1\right)^3-\frac42\left(-1\right)^2-3\left(-1\right)%%

 

     %%=\frac13-2+3%%

 

     %%=\frac43%%

 

 

 

Abschnitt 2 bestimmen

 

%%A_2=\int_0^3\left(-x^2+2x+3\right)\mathrm{dx}%%

Es taucht kein c auf, da wegen des Integrierens der x-Achse c entstehen würde, das mit dem c wegfällt.

     %%=\left[-\frac13x^3+\frac22x^2+3x\right]_0^3%%

 In die Klammer wird für x der rechte Punkt (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Punkt (0) gerechnet.

     %%=\left[-\frac13\cdot3^3+\frac22\cdot3^2+3\cdot3\right]\left[-\frac13\cdot0^3+\frac22\cdot0^2+3\cdot0\right]%%

Die zweite Klammer fällt weg, da jedes Element in der Klammer mit 0 multipliziert wird. Die vordere Klammer wird aufgelöst.

     %%=-\frac133^3+\frac223^2+3\cdot3%%

 

     %%=-9+9+9%%

 

     %%=9%%

 

 

 

Gesamtabschnitt bestimmen

 

%%A_\mathrm{Ges}=A_1+A_2%%

 

         %%=\frac43+9%%

 

         %%=\frac{31}3%%