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In diesem Artikel geht es darum, die Tangente an eine Parabel durch einen bestimmten Punkt zu bestimmen. 

Aufgabenstellung

Berechne die Tangente an die Parabel  %%p(x)=ax^2+bx+c%%  an der Stelle  %%x=x_B%%  oder im Punkt  %%B(x_B\vert y_B)%%

 

Vorgehensweise ohne Ableitung 

Allgemeine Vorgehensweise

Vorgehensweise am Beispiel 

%%p(x)=x^2-5x+7%%  im Punkt  %%B(3\vert1)%%

Gleichsetzen: Setze die Funktionsgleichung der Parabel und die allgemeine Geradengleichung der Tangente gleich

%%x^2-5x+7=mx+t%%

Umstellen: Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht

%%x^2-(5+m)x+7-t=0%%

Diskriminante berechnen: Berechne die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung

%%D=\left[\left(-1\right)\cdot\left(5+m\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(7-t\right)\\ =m^2+10m-3+4t%%

Diskriminante Null setzen: Setze die Diskriminante gleich Null und erhalte eine Gleichung mit den Unbekannten %%m%% und %%t%%

%%m^2+10m-3+4t=0%%

Punkt einsetzen: Setze nun den Punkt %%B%% in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%1=m\cdot3+t%%

Nach t umstellen: Stelle die Tangentengleichung nach %%t%% um

%%t=1-3m%%

t einsetzen: Setze %%t%% in die Gleichung der Diskriminante ein

%%m^2+10m-3+4\left(1-3m\right)\\ =m^2-2m+1=0%%

Gleichung für m lösen: z. B. mit Hilfe der Mitternachtsformel

%%D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=0 \\ \Rightarrow m=\frac{2}{2 \cdot 1}=1%%

m einsetzen: Setze das erhaltene %%m%% in die Tangentengleichung ein und erhalte %%t%%

%%t=1-3\cdot1=-2%%

Tangente aufstellen: Stelle die Tangentengleichung endgültig auf

%%f(x)=x-2%%

Warum funktioniert diese Vorgehensweise?

Da sich die Parabel und die Tangente berühren sollen, haben sie genau diesen Punkt gemeinsam.

Deshalb setzt man zuerst die beiden Funktionsgleichungen gleich, um allgemein die Schnittpunkte zu berechnen. Man erhält dann eine quadratische Gleichung , weil die Parabel ein Polynom vom Grad 2 ist.

Zum Lösen dieser Gleichung bietet sich die Mitternachtsformel an, in der man die Diskriminante berechnen muss. Hier kommt nun ein entscheidender Schritt: Ist die Diskriminante gleich Null, so hat die Gleichung genau eine Lösung, sodass die beiden Funktionen dann genau einen Berührpunkt haben. Es entsteht also die Diskriminantengleichung mit %%m%% und %%t%%.

Um diese Gleichung lösen zu können, muss man nun noch %%t%% mit Hilfe von %%m%% ausdrücken. Dies geschieht über das Einsetzen des Punktes %%B%% in die Tangentengleichung. Nach dem Einsetzen erhält man nun erneut eine quadratische Gleichung mit der Variable %%m%%. Nun löst man diese (beachte: Es gibt immer genau eine Lösung für %%m%%) und setzt danach in %%t%% ein, sodass man jetzt die Tangentengleichung aufstellen kann.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9323_dfpxDMF3DU.xml

 

Vorgehensweise mit Ableitung 

Allgemeine Vorgehensweise

Vorgehensweise am Beispiel 

%%p(x)=x^2-5x+7%%  im Punkt  %%B(3\vert1)%%

Berechne die erste Ableitung der Parabel

%%p'(x)=2x-5%%

Setze den x-Wert von %%B%% ein und erhalte somit %%m%%

%%p'(3)=2\cdot3-5=1=m%%

Setze %%m%% und %%B%% in die Tangentengleichung ein

%%1=1\cdot3+t%%

Löse die Gleichung und erhalte %%t%%

%%t=-2%%

Stelle die Tangentengleichung endgültig auf

%%f(x)=x-2%%

 

Warum funktioniert diese Vorgehensweise?  

Die erste Ableitung der Parabel ist genau die Steigung der Parabel; setzt man noch %%B%% ein, so erhält man direkt die Steigung %%m%% der Tangente. Setzt man nun noch in die allgemeine Tangentengleichung den Punkt %%B%% und die Steigung %%m%% ein, so kann man den y-Achsenabschnitt %%t%% berechnen und anschließend die Tangentengleichung aufstellen. 

 

Hier der Graph der Parabel und der Tangente: 

 

 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9391_bj0o1RfGQW.xml 

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