3.0 Zur Wiederaufforstung von steilen Gebirgshängen werden zunächst Baumsetzlinge gezüchtet und anschließend gepflanzt. Die Höhe hh (in cmcm) eines Baumsetzlings in Abhängigkeit von der Zeit tt (in Monaten) wird durch folgende Funktion hh näherungsweise beschrieben:
h:t70+30ln(3t+2)h: t \mapsto 70 + 30 \cdot \ln(3t+2) für t[0;240]t \in [0;240].
Die Pflanzung des Setzlings erfolgt zum Zeitpunkt t=0t = 0. Nach 240 Monaten ist das Höhenwachstum im Wesentlichen beendet. Auf die Verwendung von Einheiten kann bei der Rechnung verzichtet werden. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.
3.1 Berechnen Sie die Höhe eines Setzlings zum Zeitpunkt der Anpflanzung und am Ende der Wachstumsphase. (2 BE)
3.2 Haben die Bäume eine Höhe von mindestens 250cm250 \, cm erreicht, sind sie sicher mit dem Gebirgshang verwurzelt und können so einen Murenabgang nach sehr starken Regenfällen verhindern.
Berechnen Sie, wie viele Jahre es ab dem Beginn der Pflanzung dauert, bis ein Murenabgang auf Grund der Aufforstung erfolgreich abgewendet werden kann. (3 BE)
3.3 Zeigen Sie, dass die Baumsetzlinge für t=0t = 0 am stärksten wachsen. (4 BE)[Teilergebnis:  h˙(t)=903t+2]\left[\textrm{Teilergebnis:}\ \ \dot{h}(t)=\frac{90}{3t+2}\right]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung der Logarithmus-Funktion

3.1 Die Funktion h:t70+30ln(3t+2)h: t \mapsto 70 + 30 \cdot \ln(3t+2) beschreibt die Höhe des Setzlings in Abhängigkeit der Zeit tt beschreibt. Um die Aufgabe zu lösen, setze die Werte 00 und 240240 ein und rechne aus:
h(0)=70+30ln(30+2)90,8h(0) = 70 + 30 \cdot \ln(3 \cdot 0 +2) \approx 90{,}8
h(240)=70+30ln(3240+2)267,5h(240) = 70 + 30 \cdot \ln(3 \cdot 240 +2) \approx 267{,}5
Der Setzling hatte bei der Pflanzung eine Höhe von 90,8 cm90,8 \ cm und am Ende der Wachstumsperiode 267,5 cm267,5 \ cm.
3.2 Suche den Zeitpunkt tt, zu dem die Bäume die Höhe von 250 cm250\ cm genau erreichen. Setze dafür die Funktion hh gleich 250 und löse nach tt auf:
h(t)=250h(t) = 250
70+30ln(3t+2)=250 70 + 30 \cdot \ln(3t + 2) = 250
30ln(3t+2)=180\Leftrightarrow 30 \cdot \ln(3t+2) = 180
ln(3t+2)=6\Leftrightarrow \ln(3t+2) = 6
3t+2=e6\Leftrightarrow 3t+2 = e^{6}
t=e623133,8\Leftrightarrow t = \frac{e^{6} - 2}{3} \approx 133,8
Dabei wurde im vorletzten Schritt beide Seiten exponiert. Auf der linke Seite kürzt sich dann wegen eln(3t+2)=3t+2e^{\ln(3t+2)}=3t+2 der Logarithmus raus.
Damit müssen mehr als 134 Monate vergehen, bis die Bäume Murenabgänge verhindern können. Das sind ungefähr 13412\frac{134}{12}\approx 11,2 Jahre. Das heißt, es müssen mindestens 12 Jahre vergehen, bis die Bäume stark genug verwurzelt sind.
3.3 Die Funktion hh beschreibt die Höhe der Setzlinge. Wenn du die Funktion hh ableitest, dann beschreibt das die Änderung der Höhe, damit also die Wachstumsrate. Berechne also die Ableitung von hh:
h(t)=(70)+30(ln(3t+2))=30(ln(3t+2))h' (t)= (70)' + 30 \cdot (\ln(3t+2))' = 30 \cdot (\ln(3t+2))'
Die Summe lässt sich getrennt ableiten, der erste Summand fällt als Konstante weg. Um den zweiten Summand abzuleiten, benötigst du die Kettenregel. Dabei ist die innere Funktion 3t+23t+2, ihre Ableitung ist 3 (Stichwort Nachdifferenzieren). Damit gilt
(ln(3t+2))=13t+23=33t+2(\ln(3t+2))' = \frac{1}{3t+2} \cdot 3 = \frac{3}{3t+2}
Insgesamt gilt also
h(t)=3033t+2=903t+2h'(t) = 30 \cdot \frac{3}{3t+2} = \frac{90}{3t+2}
Nun suchst du die höchste Wachstumsrate und damit das Maximum von hh'.
Du siehst, dass hh' eine Hyperbel ist, die ihre Polstelle bei t=23t = -\frac{2}{3} hat. Als monoton fallende Funktion im Bereich t>23t > -\frac23 muss also die Stelle 0 das Maximum im Intervall [0,240][0,240] sein.