- Ganzrationale Funktionen - Funktionenscharen - Anwendungsaufgaben: Optimierungsprobleme

Aufgaben

Es ist die Funktion %%f(x)=x^3−3x−2%% gegeben.

  1. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von %%G_f%% . Zeichne %%G_f%% .

  2. Berechne die Gleichungen der Tangente t und Normale n im Wendepunkt.

  3. Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von %%G_f%% und der Normalen n begrenzt sind.

Teilaufgabe a

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=x^3-3x-2%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden.

Durch ausprobieren ermittelt man %%x_1=-1%%

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

%%\begin{array}{l}\;\;\left(x^3\;\;\;\;\;\;-3x-2\right):\left(x+1\right)=x^2-x-2\\\underline{-\left(x^3+x^2\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;-x^2-3x\\\;\;\;\underline{-\left(-x^2-x\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-2x-2\right)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die vereinfachte Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.

%%0=x^2-x-2%%

Die Mitternachtsformel lässt sich anwenden.

%%x_{2,3}=\dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}%%

%%\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)=1-\left(-8\right)=9%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm\sqrt9}2%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm3}2%%

 

%%x_2=\dfrac42=2;\;x_3=\dfrac{-2}2=-1%%

 

Die Funktion hat demnach eine Nullstelle %%x_2=\left(2\vert0\right)%%

und eine doppelte Nullstelle %%x_{1,3}=\left(-1\vert0\right)%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Funktion ableiten.

%%f'(x)=3x^2-3%%

Funktion ableiten.

%%f''(x)=6x%%

 

 

 

Extrema bestimmen

%%f'(x)=3x^2-3%%

Setze die erste Ableitung gleich 0.

%%0=3x^2-3%%

%%\left|{+3}\right.%%

%%3=3x^2%%

%%\left|{:3}\right.%%

%%1=x^2%%

Die Gleichung trifft zu für %%x_1=1%% und %%x_2=-1%% .

%%x_1=1;\;x_2=-1%%

 

 

 

Extremum %%x=1%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes x einsetzen.

%%f(1)=1^3-3\cdot1-2=-4%%

 

%%f''(x)=6x%%

Gefundenes x einsetzen.

%%f''(1)=6\cdot1=6%%

Da %%f''(1)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(1\vert-4\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(1\vert-4\right)%%

 

 

 

Extremum %%x=-1%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f(-1)=\left(-1\right)^3-3\cdot\left(-1\right)-2=0%%

 

%%f''(x)=6x%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f''(-1)=6\cdot\left(-1\right)=-6%%

Da %%f''(-1)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%(-1\vert0)%% einen Hochpunkt .

%%\mathrm{HP}=\left(-1\vert0\right)%%

 

 

 

Wendepunkt bestimmen

%%f''(x)=6x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=6x%%

%%\left|{:6}\right.%%

%%x=0%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f(0)=0^3-3\cdot0-2=-2%%

Damit ergeben sich die Koordinaten %%\left(0\vert-2\right)%%

%%\mathrm{WP}=\left(0\vert-2\right)%%

 

Geogebra File: /uploads/legacy/830.xml

 

Teilaufgabe b

Tangente t aufstellen

%%f'(x)=3x^2-3%%

%%x%%-Wert des Wendepunkts (0) einsetzen.

%%f'(x)=3\cdot0^2-3=-3%%

Das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts werden in die allgemeinen Geradengleichung eingesetzt, um t zu bestimmen.

%%-2=-3\cdot0+t%%

 

%%t=-2%%

Mit t und m lässt sich die Gleichung der Tangente aufstellen.

%%y=-3x-2%%

 

 

 

Normale n aufstellen

%%m_t\cdot m_n=-1%%

%%\left|{:m_t}\right.%%

%%m_n=\frac{-1}{m_t}%%

Die Tangentensteigung %%m_t%% einsetzen.

%%m_n=\frac{-1}{-3}=\frac13%%

Das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts werden in die allgemeinen Geradengleichung eingesetzt, um t zu bestimmen.

%%-2=\frac13\cdot0+t%%

 

%%t=-2%%

Mit t und m lässt sich die Gleichung der Tangente aufstellen.

%%y=\frac13x-2%%

 

 Geogebra File: /uploads/legacy/836.xml

 

Teilaufgabe c

%%y=\frac13x-2%%

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt. Hierzu beide Funktionen gleichsetzen.

%%\frac13x-2=x^3-3x-2%%

%%\left|{-\frac13x}\right.\;+2%%

%%0=x^3-\frac{10}3x%%

%%0=x\left(x^2-\frac{10}3\right)%%

Die erste Nullstelle liegt bei 0, zur Bestimmung der weiteren Nullstellen wird nur das innere der Klammer betrachtet.

%%0=x^2-\frac{10}3%%

%%\left|{+\frac{10}3}\right.%%

%%x^2=\frac{10}3%%

Wurzel ziehen .

Aufgrund des Quadrates gibt es zwei Lösungen.

%%x=\pm\sqrt{\frac{10}3}%%

Den Integral aufstellen.

Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.

Da beide Flächen gleich groß sind, wird nur die rechte Fläche (von 0 bis %%\sqrt{\frac{10}3}%% berechnet und dann mit 2 multipliziert )

%%A=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac13x-2\right)\right)\mathrm{dx}%%

Klammern auflösen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(x^3-3x-2-\frac13x+2\right)\mathrm{dx}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(x^3-\frac{10}3x\right)\mathrm{dx}%%

  %%\phantom{A}=2\cdot\left[\frac14x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_0^\sqrt{\frac{10}3}%%

In die Klammer wird für x der rechte Schnittpunkt ( %%\sqrt{\frac{10}3}%% ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken (0) gerechnet.

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\left[\frac14\sqrt{\frac{10}3}^4-\frac53\sqrt{\frac{10}3}^2\right]-\left[\frac14\left(0\right)^4-\frac53\left(0\right)^2\right]\right)%%

Inneren Klammern auflösen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\frac14\cdot\left(\frac{10}3\right)^2-\frac53\cdot\frac{10}3\right)%%

In der Klammer die Elemente multiplizieren .

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\frac{25}3-\frac{50}9\right)%%

In der Klammer die Elemente subtrahieren .

  %%\phantom{A}=2\cdot\frac{25}9=\frac{50}9%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die gesuchte Fläche hatt den Flächeninhalt %%\frac{50}9\approx5,56%% Flächeneinheiten

Diskutiere folgende Funktionen und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Tipp

Überlege dir zunächst, welche Aspekte bei einer Diskussion betrachtet werden:

  • Definitionsbereich
  • Nullstellen
  • Symmetrieverhalten
  • Extrem- und Wendepunkte
  • Grenzwerte
  • Monotonie
Zu text-exercise-group 3811:
Karina-MOS 2018-11-13 15:20:52+0100
"Diskutiere" ist sehr unkonkret, besser wäre eine konkrete Aufgabenstellung ("Berechne die Nullstellen sowie alle Extrempunkte und Wendepunkte" oder ähnliches
Jonathan 2018-11-14 12:57:58+0100
Hallo Karina-MOS,
vielen Dank für den Hinweis. Ich habe jetzt erst einmal zu der Aufgabenstellung einen Tipp hinzugefügt, der die konkreten Bearbeitungspunkte beinhaltet. Gerne kannst du uns dazu auch nochmal Feedback geben, ob diese Aufgabenstellung ausreicht oder noch verbessert weden müsste.
LG,
Jonathan
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%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%%  enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=ℝ%% .

 

Nullstellenbestimmung

Erste Nullstelle ermitteln

 

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

Um die Nullstellen von %%f\left(x\right)%% zu bestimmten, wird %%f\left(x\right)=0%% gesetzt.

%%x^3-x^2-x+1=0%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden. 

%%f(1)=1^3-1^2-1+1=0%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm{NS}}_1=\left(1\vert0\right)%%

Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.

 

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;\left(x^3-x^2-x+1\right)\div\left(x-1\right)=x^2-1\\\underline{-\left(x^3-x^2\right))\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x+1\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-x+1\right)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Setze die erhaltene Funktion gleich 0.

%%x^2-1=0%%

 

        %%x^2=1%%

Ziehe die Wurzel aus  %%x^2%%  und  %%1%% .

    %%\sqrt{x^2}=\sqrt1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;x_2=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;x_3=-1%%

 

 

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

 

Die Exponenten zur Basis x sind sowohl gerade als auch ungerade.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch

 

Durch Berechnung

Prüfen ob %%f(x)=f(-x)%%

Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft

%%x^3-x^2-x+1=\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1%%

 

%%x^3-x^2-x+1\;\neq\;-x^3-x^2+x+1%%

 

Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da  %%f\left(x\right)\neq f\left(-x\right)%% .

 

Prüfen ob %%f(-x)=-f(x)%%

Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.

%%\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1=-\left(x^3-x^2-x+1\right)%%

 

%%-x^3-x^2+x+1\neq-x^3+x^2+x-1%%

 

Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da %%f(-x)=-f(x)%% .

 

Ableitungen

Erste Ableitung

 

%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

 

%%f'(x)=3x^2-2x-1%%

 

 

 

 Zweite Ableitung

%%f'(x)=3x^2-2x-1%%

Die erste Ableitung von  %%f(x)%%  als Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.

%%f''(x)=6x-2%%

 

 

 

Extrema bestimmen

  %%f'(x)=0%%

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.

%%3x^2-2x-1\;=\;0%%

Da  %%f'(x)%%  ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mit Hilfe der  Mitternachtsformel bestimmt werden.

%%x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3}%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-(-12)}}6%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}6=\frac{2\pm\sqrt{16}}6%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm4}6%%

%%\sqrt{16}=4%%

%%x_1=\frac{2+4}6=\frac66=1%%

Der erste  %%x%% -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion  %%f(x)%%  eingesetzt 0 ergibt.

%%x_2=\frac{2-4}6=\frac{-2}6=-\frac13%%

Der zweite %%x%% -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion %%f(x)%%  eingesetzt 0 ergibt.

 

1. Extremum

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f\left(1\right)=1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0%%

 

%%f\left(1\right)=0%%

 

 

 

Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt

 

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(1\right)=6\cdot1-2=4%%

Da  %%f''\left(2\right)>0%%  hat  %%f\left(x\right)%%  an der Stelle  %%\left(1\vert0\right)%%  einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{TP}=\left(1\vert0\right)%%

 

 

 

2. Extremum

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

%%x%% -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^3-\left(-\frac13\right)^2-\left(-\frac13\right)+1%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac19+\frac13+1%%

Bilde den gemeinsamen Nenner  der Summanden .

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac{1\cdot3}{9\cdot3}+\frac{1\cdot9}{3\cdot9}+\frac{1\cdot27}{1\cdot27}%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac3{27}+\frac9{27}+\frac{27}{27}%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=\frac{32}{27}%%

 

 

 

Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt

 

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(-\frac13\right)=6\cdot\left(-\frac13\right)-2=-4%%

Da %%f''\left(-\frac{1}{3}\right)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(-\frac{1}{3}\vert\frac{32}{27}\right)%% einen Hochpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{HP}=\left(-\frac13\vert\frac{32}{27}\right)%%

 

 

 

Wendepunkte bestimmen

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%6x-2=0%%

 

      %%6x=2%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%x=\frac26=\frac13%%

 

 

 

Wendepunkt %%x=\frac13%%

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

Gefundenes  %%x%%  aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in  %%f\left(x\right)%%  einsetzen.

%%f\left(\frac13\right)=\frac13^3-\frac13^2-\frac13+1%%

 

%%f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac19-\frac13+1%%

Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.

%%f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac3{27}-\frac9{27}+\frac{27}{27}%%

 

%%f\left(\frac13\right)=\frac{16}{27}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{WP}\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)%%

Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei  %%\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)%%

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die  Funktion  keine  Definitionslücken  hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

 

gegen  %%+\infty%%

Weil keine Potenz jemals so groß werden kann, wie die Potenz dritten Grades, muss zur Grenzwertbetrachtung nur  %%x^3%%  betrachtet werden.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^3}}-\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}-\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷x}+1=%%

 

%%=\lim_{x\rightarrow\infty}x^3=\infty%%

 

 

 

gegen  %%-\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^3}}-\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^2}}-\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷x}+1=%%

 

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty%%

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie der Funktion wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

 

 Geogebra File: /uploads/legacy/1038.xml

%%f(x)=2x^4-4x^2+1%%

Definitionsbereich bestimmen

Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion  %%D_f=ℝ%% .

 

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=0%%

Setze f(x) gleich 0 um die Nullstellen von  %%G_f%%  zu bestimmen.

%%2x^4-4x^2+1=0%%

Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle . Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen.

%%f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1%%

 

 

 

1. Ableitung

 

%%f'\left(x\right)=8x^3-8x%%

 

 

 

2. Ableitung

 

%%f''\left(x\right)=24x^2-8%%

 

 

 

%%f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1%%

 

%%f'\left(x\right)=0%%

Setze die erste Ableitung der Funktion gleich  %%0%% , um die Extrema von  %%G_f%%  zu bestimmen.

%%8x^3-8x=0%%

%%x%%  wird ausgeklammert.

%%\;\;\Rightarrow\;\;x\cdot\left(8x^2-8\right)=0%%

 

%%x_1=0%%

 

 

 

%%8x^2-8=0%%

 

%%8x^2=8%%

%%\vert\;:8%%

%%x^2=1%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_2=1%%

 

%%x_3=-1%%

 

 

 

1. Extremum

Zur Bestimmung des  %%y%% -Werts der Extremums muss der erste der gefundenen  %%x%% -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

%%f\left(0\right)=1%%

Um herauszufinden ob der gefundene Wert ein Hoch-  oder Tiefpunkt  ist, wird der  %%x%% -Wert in die zweite  Ableitung  eingesetzt.

%%f''\left(0\right)=24\cdot0-8=-8%%

Da %%f''\left(0\right)\;<\;0%% befindet sich an der Stelle %%\left(0\vert1\right)%% ein Hochpunkt.

%%\mathrm{HP}=\left(0\vert1\right)%%

 

 

 

2. Extremum

 

%%f\left(1\right)=2\cdot1^4-4\cdot1^2+1=-1%%

Um herauszufinden ob der gefundene Wert ein Hoch-  oder Tiefpunkt  ist, wird der %%x%% -Wert in die zweite Ableitung eingesetzt.

%%f''\left(1\right)=24\cdot1^2-8=16%%

Da  %%f''\left(1\right)\;>\;0%%  befindet sich an der Stelle  %%\left(1\vert-1\right)%%  ein Tiefpunkt.

%%\mathrm{TP}=\left(1\vert-1\right)%%

 

 

 

3. Extremum

Zur Bestimmung des  %%y%% -Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen  %%x%% -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

%%f\left(-1\right)=2\cdot\left(1\right)^4-4\cdot\left(1\right)^2+1=-1%%

Um herauszufinden ob der gefundene Wert ein Hoch-  oder Tiefpunkt  ist, wird der  %%x%% -Wert in die zweite Ableitung  eingesetzt.

%%f''\left(-1\right)=24\cdot\left(-1\right)^2-8=16%%

Da  %%f''\left(-1\right)\;>\;0%% befindet sich an der Stelle  %%\left(-1\vert-1\right)%%  ein Tiefpunkt.

%%\mathrm{TP}=\left(-1\vert-1\right)%%

 

 

 

Wendepunkte

x-Koordianten

 

%%f'\left(x\right)=8x^3-8x%%

 

%%f''\left(x\right)=24x^2-8%%

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%24x^2-8=0%%

%%\vert\;+8%%

%%24x^2=8%%

%%\vert\;:24%%

%%x^2=\frac8{24}=\frac13%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_1=\frac1{\sqrt3}%%

 

%%x_2=-\frac1{\sqrt3}%%

 

 

 

y-Koordinaten

 

%%f_1\left(\sqrt{\frac13}\right)=2\cdot\sqrt{\frac13}^4-4\cdot\sqrt{\frac13}^2+1=-\frac19%%

 

%%f_2\left(-\sqrt{\frac13}\right)=2\cdot\left(-\sqrt{\frac13}\right)^4-4\cdot\left(-\sqrt{\frac13}\right)^2+1=-\frac19%%

 

 

 

Ergebnis

 

%%{\mathrm{WP}}_1=\left(\sqrt{\frac13}\vert-\frac19\right)%%

 

%%{\mathrm{WP}}_2=\left(-\sqrt{\frac13}\vert-\frac19\right)%%

 

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für %%x=\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

 

gegen %%+\infty%%

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\;\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}+1=\infty%%

 

 

 

gegen %%-\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}+1=\infty%%

 

 

 

Durch Betrachtung

 

Die Exponenten zur Basis   %%x%%  sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.

 

 

Durch Berechnung

 

%%f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1%%

 

%%\begin{array}{l}f\left(-x\right)=2\cdot\left(-x\right)^4-4\cdot\left(-x\right)^2+1\\\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot x^4-4\cdot x^2+1\end{array}%%

 

%%f\left(x\right)=f\left(-x\right)%%

 

Da  %%f\left(x\right)%%  gleich  %%f\left(-x\right)%% , ist der Graph achsensymmetrisch .

 

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

Geogebra File: /uploads/legacy/1074.xml

%%f(x)=x^3-2x^2%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit  %%x%%  enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion   %%\mathbb{D}_f=ℝ%% .

Nullstellenbestimmung

Erste Nullstelle ermitteln

Um die Nullstellen von %%f\left(x\right)%% zu bestimmten, wird %%f\left(x\right)=0%% gesetzt.

%%f\left(x\right)=0%%

%%x^3-2x^2=0%%

Klammere %%x^2%% aus und betrachte die Faktoren einzeln.

%%x^2(x-2)=0%%

%%\Rightarrow{\mathrm{NS}}_1\left(0\vert0\right), \mathrm{NS}_2( 2|0)%%

%%f\left(x\right)=x^3-2x^2%%

Erste Ableitung

%%f'\left(x\right)=3x^2-4x%%

Zweite Ableitung

%%f''\left(x\right)=6x-4%%

x-Koordinaten bestimmen

%%f'\left(x\right)=0%%

%%3x^2-4x=0%%

%%x%% ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.

%%x(3x-4)=0%%

%%\Leftrightarrow x=0%% oder %%3x-4=0%%

%%\Rightarrow x_1=0, x_2=\dfrac{4}{3}%%

y-Koordianten bestimmen

Setze die gefundenen %%x%% -Werte in %%f%% ein, um die %%y%% -Koordinaten der Extema zu erhalten.

%%f\left(x_1\right)=f\left(0\right)=0%%

da 0 eine Nullstelle ist.

%%f\left(x_2\right)=f\left(\frac43\right)=\left(\frac43\right)^3-2\cdot\left(\frac43\right)^2=-\frac{32}{27}%%

Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt

%%f''\left(x\right)=6x-4%%

Setze die gefundenen  %%x%% -Werte in  %%f''%%  ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

%%f''\left(x_1\right)=f''\left(0\right)=-4%%

%%f'' \lt 0\Rightarrow\mathrm{HP}\left(0\vert0\right)%%

%%f''\left(x_4\right)=f''\left(\frac43\right)=6\cdot\frac43-4=4%%

%%f''>0 \Rightarrow\mathrm{TP}\left(\frac43\left|-\frac{32}{27}\right)\right.%%

%%f''\left(x\right)=6x-4%%

Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.

x-Koordinate des Wendepunkts

%%f''\left(x\right)=0%%

%%\begin{align} 6x_W-4=0 & |+4\\ 6x_W=4 &|:6 \end{align}%%

%%x_W=\dfrac46=\dfrac23%%

y-Koordinate des Wendepunkts

%%f(x)=x^3-2x^2%%

Das gefundene  %%x_W%% wird in die Funktion %%f%% eingesetzt um die  %%y%% -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.

%%f\left(\dfrac23\right)=\left(\dfrac23\right)^3-2\cdot\left(\dfrac23\right)^2=-\dfrac{16}{27}%%

%%\mathrm{WP}\left(\frac23\left|-\frac{16}{27}\right)\right.%%

Grenzwertbetrachtung

%%\mathbb{D}_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Verhalten für  %%x\rightarrow\pm\infty%%  untersucht werden.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x \rightarrow \infty} \overbrace{x^3}^{\rightarrow \infty}-2\cdot \overbrace{x^2}^{\rightarrow \infty}=\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\;\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^3}}-2\cdot\overset{\rightarrow+\infty}{\overset︷{x^2}}=-\infty%%

Geht  %%x%%  gegen  %%-\infty%% , so geht auch  %%y%%  gegen  %%-\infty%% .

 

Durch Betrachtung

 

%%f\left(x\right)=x^3-2\cdot x^2%%

 

Die Exponenten zur Basis  %%x%%  sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.

 

 

Durch Berechnung

 

%%f\left(x\right)=x^3-2x^2%%

 

%%f\left(-x\right)=-x^3-2\cdot x^2%%

 

Da  %%f\left(-x\right)%%  weder gleich  %%f\left(x\right)%%  noch  %%-f\left(x\right)%%  ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt. 

Monotonietabelle

 

Graph

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/933.xml

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs , noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von  %%f\left(x\right)%%  in ganz  %%ℝ%% .

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grad zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet.

%%z=x^2%%

 

%%f\left(x\right)=\frac12z^2-\frac32z+2%%

Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades, werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.

%%\frac{\frac32\pm\sqrt{\frac94-4\cdot\frac12\cdot2}}{2\cdot\frac12}=\frac{\frac32\pm\sqrt{\frac94-\frac{16}4}}1%%

 

%%=\frac{\frac32\pm\sqrt{-\frac74}}1%%

Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen .

Die Funktion  %%f\left(x\right)%%  hat keine Nullstellen.

 

 

 

%%f\left(x\right)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

 

 

Erste Ableitung

 

%%f'\left(x\right)=2x^3-3x%%

 

 

 

Zweite Ableitung

 

%%f''\left(x\right)=6x^2-3%%

 

 

 

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=0%%

Die erste Ableitung wird gleich  %%0%%  gesetzt.

%%2x^3-3x=0%%

 

Da alle Koeffizienten multiplikativ an die Variable  %%x%%  gekoppelt sind, liegt das erste Extremum auf der Ordinate.

%%x_1=0%%

 

%%2x^3-3x%%

%%2x%%  ausklammern

%%2x\cdot\left(x^2-1,5\right)%%

 

%%\left(x^2-1,5\right)=0%%

%%\vert\;+1,5%%  

%%x^2=1,5%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt{1,5}%%

 

%%x_2=\sqrt{1,5}%%

 

%%x_3=-\sqrt{1,5}%%

 

 

 

1. Extremum  %%\left(x=0\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

%%f\left(0\right)=2%%

 

%%f''\left(0\right)=6\cdot0^2-3=-3%%

Da  %%f''\left(0\right)%%  kleiner  %%0%% , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt .

%%\mathrm{HP}=\left(0\vert2\right)%%

 

 

 

2. Extremum  %%\left(x=\sqrt{1{,}5}\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

%%f\left(\sqrt{1{,}5}\right)=\frac78%%

 

%%f''\left(\sqrt{1{,}5}\right)=\frac12\cdot\sqrt{1{,}5}^4-\frac32\cdot\sqrt{1{,}5}^2-3%%

Da  %%f''\left(0\right)%%  größer  %%0%% , befindet sich an der ermittelten Stelle ein  Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(\sqrt{1{,}5}\vert0,875\right)%%

 

 

 

3. Extremum  %%\left(x=-\sqrt{1{,}5}\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

%%f\left(-\sqrt{1{,}5}\right)=\frac78%%

 

%%f''\left(-\sqrt{1{,}5}\right)=\frac12\cdot\left(-\sqrt{1{,}5}^4\right)-\frac32\cdot\left(-\sqrt{1{,}5}^2\right)-3%%

Da  %%f''\left(0\right)%%  größer  %%0%% , befindet sich an der ermittelten Stelle ein  Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(-\sqrt{1{,}5}\vert0{,}875\right)%%

 

 

%%f''\left(x\right)=6x^2-3%%

 

 

 

x-Koordinaten bestimmen

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%6x^2-3=0%%

%%\vert\;+3%%

%%6x^2=3%%

%%\vert\;:6%%

%%x^2=\frac36=\frac12%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_{W_1}=\sqrt{\frac12}%%

 

%%x_{W_2}=-\sqrt{\frac12}%%

 

 

 

y-Koordinaten bestimmen

 

%%f\left(x_{W_1}\right)=f\left(\sqrt{\frac12}\right)%%

 

%%f\left(\sqrt{\frac12}\right)=\frac12\cdot\sqrt{\frac12}^4-\frac32\cdot\sqrt{\frac12}^2+2%%

 

%%f\left(\sqrt{\frac12}\right)=1{,}375=\frac{11}8=1\frac38%%

 

 

 

%%f\left(x_{W_2}\right)=f\left(-\sqrt{\frac12}\right)%%

 

%%f\left(-\sqrt{\frac12}\right)=\frac12\cdot\left(-\sqrt{\frac12}^4\right)-\frac32\cdot\left(-\sqrt{\frac12}^2\right)+2%%

 

%%f\left(-\sqrt{\frac12}\right)=1{,}375=\frac{11}8=1\frac38%%

 

 

 

Ergebnis

 

%%{\mathrm{WP}}_1=\left(\sqrt{\frac12}\vert\frac{11}8\right)%%

 

%%{\mathrm{WP}}_2=\left(-\sqrt{\frac12}\vert\frac{11}8\right)%%

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für  %%x\rightarrow\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

gegen  %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\frac12\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^4}}-\frac32\cdot\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}+2=\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty%%

 

 

 

gegen  %%-\infty%%

 

  %%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac12\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^4}}-\frac32\cdot\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}+2=\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}=\infty%%

 

 

Durch Betrachtung

 

Da alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch .

 

Durch Berechnung

%%f\left(x\right)\overset?=f\left(-x\right)%%

 

%%\frac12x^4-\frac32x^2+2\overset?=\frac12\left(-x\right)^4-\frac32\left(-x\right)^2+2%%

 

%%\frac12x^4-\frac32x^2+2=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

 

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

Geogebra File: /uploads/legacy/1111.xml

Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von f.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac1{12}\cdot\left(3\mathrm x^4+4\mathrm x^3-12\mathrm x^2\right)%%

Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte einer Funktion %%f%% benötigst du die Ableitungen von %%f%%.

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion %%f%% an einer Stelle %%x%% gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Erste Ableitung

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

Mithilfe der Ableitungsregeln ableiten.

%%f'(x)=\frac{1}{12}\left(12x^3+12x^2-24x\right)%%

%%\phantom{f'(x)}=x^3+x^2-2x%%

Zweite Ableitung

%%f'(x)=x^3+x^2-2x%%

Die erste Ableitung von %%f(x)%% als Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

Extrema bestimmmen

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.

%%f'(x)=0%%

%%f'(x)%% gleich %%0%% setzen.

%%0=x^3+x^2-2x%%

%%\phantom{0}=x\cdot(x^2+x-2)%%

Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da %%x%% als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.

%%\Rightarrow\; x_1=0%%

Klammer gleich %%0%% setzen.

%%x^2+x-2=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm3}{2}%%

%%x_2=1%%

Fall 1: %%+%%

%%x_3=-2%%

Fall 2: %%-%%

1. Extremum

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f(0)=\frac{1}{12}\left(3\cdot0^4+4\cdot0^3-12\cdot0^2\right)%%

%%\phantom{f(0)}=\frac{1}{12}\left(0+0-0\right)=0%%

Untersuchen ob Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in %%f''(x)%% einsetzen.

%%f''(0)=3\cdot0^2+2\cdot0-2=-2%%

Da %%f''(0)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%(0\vert0)%% einen Hochpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\mathrm{HP}=\left(0\vert0\right)%%

2. Extremum

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

%%x%%-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f(1)=\frac{1}{12}\left(3\cdot1^4+4\cdot1^3-12\cdot1^2\right)%%

%%\phantom{f(1)}=\frac{1}{12}\left(3+4-12\right)=\frac{1}{12}\cdot\left(-5\right)=-\frac{5}{12}%%

Untersuchen ob Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

%%x%%-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in %%f''(x)%% einsetzen.

%%f''(1)=3\cdot1^2+2\cdot1-2=3%%

Da %%f''\left(1\right)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\mathrm{TP}=\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)%%

3. Extremum

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

%%x%%-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f(-2)=\frac{1}{12}\left(3\cdot(-2)^4+4\cdot(-2)^3-12\cdot(-2)^2\right)%%

%%\phantom{f(-2)}=\frac{1}{12}\left(48-32-48\right)=\frac{1}{12}\cdot(-32)%%

%%\phantom{f(-2)}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}%%

Untersuchen ob Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

%%x%%-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in %%f''(x)%% einsetzen.

%%f''(-2)=3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-2=6%%

Da %%f''\left(-2\right)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\mathrm{TP}=\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)%%

Der Graph von %%f%% hat einen Tiefpunkt bei %%\mathrm{T_1}\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)%%, einen Hochpukt bei %%\mathrm{H}(0\vert0)%% und einen Tiefpunkt bei %%\mathrm{T_2}\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)%%.

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