Aufgaben
Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich und berechne Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion: f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen

Der Funktionsterm f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3} ist ein Quotient. Bei einem Quotient darf der Nenner N(x)=(x0,5)3=(x0,5)(x0,5)2N\left(x\right)=\left(x-0,5\right)^3=\left(x-0,5\right)\left(x-0,5\right)^2 nicht Null werden.

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich Null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen.
(x0,5)3=0\textstyle(x-0,5)^3=0
Definitionslücke (0,5) ablesen.
        Df=R\{0,5}\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}

Da der Zähler von ff, Z(x)=x2Z\left(x\right)=x^2, an der Stelle xN=0 x_N=0\ verschieden von der Definitionslücke ist, hat man an der Stelle xp=12x_p = \frac {1}{2} eine Polstelle.
Da im Nenner der Faktor (x12)2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 als Quadrat nie negativ werden kann, wird das Vorzeichen des Nenners alleine von (x12)\left(x-\frac{1}{2}\right) bestimmt.
Also ist f(x)<0 f\left(x\right)<0\ für x< 12x<\ \frac{1}{2} und f(x)>0f\left(x\right)>0 für x> 12x>\ \frac{1}{2}. Somit liegt an xp=12x_p=\frac{1}{2} eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
Also limx12=\lim_{x\rightarrow \frac {1}{2}-}=-\infty und limx12+= \lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}+}=\ \infty
f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
x2=0x^2=0
x=0x=0
    NST=(0    0)\Rightarrow\;\;NST=\left(0\;\left|\;0\right.\right)

1. Ableitung

f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).
Für v wird die Kettenregel verwendet.
u=2x,  v=3(x0,5)2u`=2x,\;v`=3\cdot\left(x-0,5\right)^2
Quotientenregel anwenden.
f(x)=2x(x0,5)3x23(x0,5)2(x0,5)6f`\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)^3-x^2\cdot3\cdot\left(x-0,5\right)^2}{\left(x-0,5\right)^6}
Mit (x0,5)2\left(x-0,5\right)^2 kürzen .
=2x(x0,5)x23(x0,5)4=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)-x^2\cdot3}{\left(x-0,5\right)^4}
=2x2x3x2(x0,5)4=\frac{2x^2-x-3x^2}{\left(x-0,5\right)^4}
Zusammenfassen
=xx2(x0,5)4=\frac{-x-x^2}{\left(x-0,5\right)^4}
=x2+x(x0,5)4=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}

2. Ableitung

f(x)=x2+x(x0,5)4f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).
Für v wird die Kettenregel verwendet.
u=2x+1,  v=4(x0,5)3u`=2x+1,\;v`=4\cdot\left(x-0,5\right)^3
Quotientenregel anwenden.
f(x)=(2x+1)(x0,5)4(x2+x)4(x0,5)3(x0,5)8f``\left(x\right)=-\frac{\left(2x+1\right)\cdot\left(x-0,5\right)^4-\left(x^2+x\right)\cdot4\cdot\left(x-0,5\right)^3}{\left(x-0,5\right)^8}
Mit (x0,5)3\left(x-0,5\right)^3 kürzen .
=(2x+1)(x0,5)(x2+x)4(x0,5)5=-\frac{\left(2x+1\right)\cdot\left(x-0,5\right)-\left(x^2+x\right)\cdot4}{\left(x-0,5\right)^5}
=2x2x+x0,54x24x(x0,5)5=-\frac{2x^2-x+x-0,5-4x^2-4x}{\left(x-0,5\right)^5}
=2x2+4x+0,5(x0,5)5=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}

x-Werte bestimmen

f(x)=x2+x(x0,5)4f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}
Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
x2+x=0x^2+x=0
x(x+1)=0x\cdot\left(x+1\right)=0
x Werte ablesen.
x1=1,  x2=0x_1=-1,\;x_2=0

Art der Extrema bestimmen

f(x)=2x2+4x+0,5(x0,5)5f``\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}
Gefundenes x1=1x_1=-1 einsetzen.
f(1)=2(1)2+4(1)+0,5((1)0,5)5f``\left(-1\right)=\frac{2\cdot\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+0,5}{\left(\left(-1\right)-0,5\right)^5} =24+0,5(1,5)5=\frac{2-4+0,5}{\left(-1,5\right)^5}
=1,57,593750,1975=\frac{-1,5}{-7,59375}\approx0,1975
        \;\;\Rightarrow\;\; Da f(1)>0:f``\left(-1\right)>0: Tiefpunkt
f(x)=2x2+4x+0,5(x0,5)5f``\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+0,5}{\left(x-0,5\right)^5}
Gefundenes x2=0x_2=0 einsetzen.
f(0)=202+40+0,5(00,5)5f``\left(0\right)=\frac{2\cdot0^2+4\cdot0+0,5}{\left(0-0,5\right)^5}
=0,5(0,5)5=16=\frac{0,5}{\left(-0,5\right)^5}=-16
        \;\;\Rightarrow\;\; Da f(0)<0;f``\left(0\right)<0; Hochpunkt

y-Wert bestimmen

f(x)=x2(x0,5)3f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^3}
Gefundenes x1=1x_1=-1 einsetzen.
f(1)=(1)2(10,5)3f(-1)=\frac{\left(-1\right)^2}{(-1-0,5)^3}
=1(1,5)3=827=\frac1{(-1,5)^3}=-\frac8{27}
Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.
        TP(1    827),  HP(0    0)\;\;\Rightarrow\;\;TP\left(-1\;\left|\;-\frac8{27}\right.\right),\;HP\left(0\;\left|\;0\right.\right)
Bestimme wie oben die erste Ableitung f(x)=x2+x(x0,5)4f`\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0,5\right)^4}.
Die Nullstellen der 1. Ableitung kannst du nun bestimmen:

f(x)=0  x2x=0  x(x+1)=0\displaystyle f'(x)=0\ \Leftrightarrow\ -x^2-x=0\ \Leftrightarrow\ -x(x+1)=0
 x=1\Rightarrow\ x=-1 oder x=0x=0
Damit liegen an den Stellen x=1x=-1 oder x=0x=0 extremwertverdächtige Stellen vor.
Das Vorzeichen der 1. Ableitung wird nur vom Zähler z(x)=x2xz\left(x\right)=-x^2-x bestimmt. Denn der Nenner wird als Quadrat nie negativ.
Graphisch ist der Zähler z(x)z(x) der 1. Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen x=1x=-1 und x=0x=0.
Graph der zur 1. Ableitung vorzeichengleichen Funktion
Man liest ab, dass links von x=1x=-1 dieser Graph unterhalb der x-Achse verläuft und zwischen x=1x=-1 und x=0x=0 verläuft er oberhalb der x-Achse. Rechts von x=0x=0 verläuft dieser Graph unterhalb der x-Achse.
Das bedeutet:
  • <x<1f(x)<0f(x)-\infty<x<-1\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f(x) fällt und
  • 1<x<0f(x)>0f(x)-1<x<0\Rightarrow f'(x)>0\Rightarrow f(x) wächst und
  • 0<x<f(x)<0f(x)0<x<\infty\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f(x) fällt.
Somit liegt an der Stelle x=1x=-1 ein Minimum Min(1/f(1))\text{Min}(-1/f(-1)) und an der Stelle x=0x=0 liegt ein Maximum Max(0/0)\text{Max}(0/0).
Führe bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch.
(Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, Extrempunkte)
Skizziere dann die Graphen.

f(x)=2x+2x23x\displaystyle f\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.

Definitionsbereich bestimmen

Bestimme zunächst den Definitionsbereich.
f(x)=2x+2x23xf\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}
Betrachte für den Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners.
x23x=0x^2-3x=0
x(x3)=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right) =0
x=0\Leftrightarrow x=0  x=3\vee\ x=3
Die Nullstellen von xx sind also 00 und 33. Daher ist der Defintionbereich von ff:
Df=R\{0;3}\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{0;3\} .

Nullstellen

Bestimme die Nullstellen der Funktion.
f(x)=2x+2x23xf\left( x\right)=\dfrac{2 x+2}{ x^2-3 x}
Betrachte für die Nullstellen von ff die Nullstellen des Zählers.
2x+2=0x=12x+2=0 \Leftrightarrow x=-1
Es gibt nur eine Nullstelle bei x=1x=-1.

Grenzwertbetrachtung

Betrachte den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervallgrenzen, Lücken, im Unendlichen).
limx2x+2x23x=limx2+2x2x3=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow -\infty}}=0
limx2x+2x23x=limx2+2x2x3=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\overbrace{2+\frac{2}{x}}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x-3}_{ \rightarrow \infty}}=0
limx0+2x+2x23x=limx0+2x+22x23x0=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty
limx02x+2x23x=limx02x+22x23x0+=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 2}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty
limx3+2x+2x23x=limx3+2x+28x23x0+=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^+}}=\infty
limx32x+2x23x=limx32x+28x23x0=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{2x+2}{x^2-3x}= \lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{\overbrace{2x+2}^{\rightarrow 8}}{\underbrace{x^2-3x}_{ \rightarrow 0^-}}=-\infty
Diese Grenzwerte geben dir waagerechte Tangenten bei x=0x=0 und senkrechte Tangenten bei y=0y=0 und y=3y=3.

Extrempunkte

Bestimme jetzt die Extrempunkte. Leite dafür die Funktion mit der Quotientenregel ab und setze sie gleich null.
f(x)=2x+2x23x\displaystyle f(x)=\frac{2x+2}{x^2-3x}
f(x)=2(x23x)(2x+2)(2x3)(x23x)2\displaystyle f'(x) =\frac{2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3)}{(x^2-3x)^2}
f(x)=0\displaystyle f'(x) =0
2(x23x)(2x+2)(2x3)=0\Leftrightarrow 2\cdot(x^2-3x)-(2x+2)(2x-3) =0
2x26x4x24x+6x+6=0\Leftrightarrow 2x^2-6x-4x^2-4x+6x+6 =0
2x24x+6=0\Leftrightarrow-2x^2-4x+6=0^{ }
x1;2=4±(4)24(2)(6)2(2)=4±644\displaystyle x_{1;2} =\frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot(-2)\cdot(6)}}{2\cdot(-2)}= \frac{4\pm \sqrt{64}}{-4}
x1=124=3\Rightarrow x_1=\frac{12}{-4}=-3
x2=44=1\Rightarrow x_2=\frac{-4}{-4}=1^{ }
Setze die Ergebnisse in die Funktion ein, um die ganzen Koordinaten zu erhalten.
f(x1)=2(3)+2(3)23(3)=49+9=29E1(329)\displaystyle f(x_1)=\frac{2\cdot(-3)+2}{(-3)^2-3\cdot(-3)}=\frac{-4}{9+9}=-\frac{2}{9} \Rightarrow E_1\left(-3\left|-\frac{2}{9}\right)\right.
f(x2)=21+21231=42=2E2(12)f(x_2)=\frac{2\cdot1+2}{1^2-3\cdot1}=\frac{4}{-2}=-2 \Rightarrow E_2\left(1\left|-2\right)\right.

Skizze

Plot der Funktionen mit den Ergebnissen der Kurvendiskussion
g(x)=x2+2x+35x5\displaystyle \mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x^2+2\mathrm x+3}{5\mathrm x-5}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.

Bestimmung des Definitionsbereichs D

Bestimme den Definitionsbereich. Der vorgelegte Funktionsterm ist ein Quotient. Daher kann der Nenner N(x)=5x5N\left(x\right)=5x-5 nicht Null werden. Da aber D=(R)1\Rightarrow D=\mathbb(R)\setminus{1}

Bestimmung der Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, musst du überlegen, wann der Zähler des Quotienten Null ist.
Z(x)=x2+2x+3Z\left(x\right)=x^2+2x+3 den Wert Null annehmen. Also:

x2+2x+3=0x^2+2x+3=0
Quadratische Gleichungen kann man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen:
x2+2x+3=0x2+2x=3x2+2x+1=3+1(x+1)2=2x^2+2x+3=0\Leftrightarrow x^2+2x=-3\Leftrightarrow x^2+2x+1=-3+1\Leftrightarrow(x+1)^2=-2
Da Quadrate nie negativ sein können, hat g(x)=x2+2x+35x5g(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{5x-5} keine Nullstellen. Und die Definitionslücke xp=1x_p=1 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Da der Zähler nie negativ wird, entscheidet nur der Nenner
N(x)=5x5=5(x1)N\left(x\right)=5x-5=5\left(x-1\right) über das Vorzeichen von g(x)g\left(x\right).
Links von x=1 ist g(x)<0g\left(x\right)<0 und rechts von x=1 ist g(x)>0g\left(x\right)>0.
Also limx1=\lim_{x\rightarrow 1_-}=-\infty und limx1+=\lim_{x\rightarrow 1_+}=\infty

Bestimmung der Asymptote

Da der Zählergrad, nämlich 2, größer als der Nennergrad, nämlich 1, ist, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die asymtote wird durch Polynomdivision errechnet. Damit diese Polynomdivision "einfacher" klammere ich den Faktor 15\frac{1}{5} aus.
Somit (x2+2x+3):(x1)=x+3+6x1\left(x^2+2x+3\right):\left(x-1\right)=x+3+\dfrac{6}{x-1}
(x2+2x+3):(x1)=x+3(x2x)(x2+2x3x+3(x2+2x(3x3)(x2+2x+  6\hphantom{-}\left(x^2+2x+3\right):\left(x-1\right)=x+3\\ \underline{-\left(x^2-x\right)}\\ \hphantom{-\Big(x^2+2x}3x+3\\ \hphantom{\Big(x^2+2x}\underline{-\left(3x-3\right)}\\ \hphantom{-\Big(x^2+2x+}\;6
Somit gilt für die Asymtote a(x)=15(x+3)a(x)=\dfrac{1}{5}\left(x+3\right) und man schreibt den Term für g(x) in der Form: g(x)=15(x+3+6x1)g(x)=\dfrac{1}{5}\left(x+3+\dfrac{6}{x-1}\right)
Um die Schnittpunkte mit der Asymtote zu berechnen, setzt man g(x)=a(x).
15(x+3+6x1)=15(x+3)6=0\dfrac{1}{5}\left(x+3+\dfrac{6}{x-1}\right)=\dfrac{1}{5}\left(x+3\right)\Leftrightarrow 6=0
Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der Asymptote.

Extrema

Zur Ermittlung der Extrema berechnet man die 1. Ableitung und sucht deren Nullstellen.
g(x)=15x2+2x+3x1g(x)=\dfrac{1}{5}\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}
g(x)=15(2x+2)(x1)1(x2+2x+3)(x1)2=152x2+2x2x2x22x3(x1)2\Rightarrow g'(x)=\dfrac{1}{5}\dfrac{(2x+2)(x-1)-1(x^2+2x+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{5}\dfrac{2x^2+2x-2x-2-x^2-2x-3}{(x-1)^2}
g(x)=15x22x5(x1)2g'(x)=\dfrac{1}{5}\dfrac{x^2-2x-5}{(x-1)^2}
g(x)=0x22x5=0x22x=5g'(x)=0\Leftrightarrow x^2-2x-5=0\Leftrightarrow x^2-2x=5
x22x+1=5+1(x1)2=6x^2-2x+1=5+1\Leftrightarrow (x-1)^2=6
x1=6x1=6\Leftrightarrow x-1=\sqrt{6} \vee x-1=-\sqrt{6}
x1=1+63,45    x2=161,45x_1=1+\sqrt{6}\approx3,45\ \ \vee\ \ x_2=1-\sqrt{6}\approx-1,45
Graphisch ergibt sich für die vorzeichengleiche Funktionz(x))=x22x5z(x))=x^2-2x-5 für g(x)g'(x) eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen x1x_1 undx2x_2
vorzeichengleiche Funktion für g'
Aus dem Graphen liest man ab: links von x1x_1 verläuft z oberhalb der x-Achse
und zwischen x1x_1 und x2x_2 verläuft z unterhalb der x- Achse
und rechts von x2x_2 verläuft z oberhalb der x-Achse
Somit gilt:
  • <x<16g(x)>0g-\infty<x<1-\sqrt{6}\Rightarrow g'(x)>0\Rightarrow g wächst
  • 16<x<1+6g(x)<0g1-\sqrt{6}<x<1+\sqrt{6}\Rightarrow g'(x)<0\Rightarrow g^{ } fällt
  • 1+6<x<g(x)>0g1+\sqrt{6}<x<\infty\Rightarrow g'(x)>0\Rightarrow g wächst
Also hat man ein Maximum bei H(x1 )H\left(x_1\ \right)und ein Minimum T(x2)T\left(x_2\right)

Führe bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch.

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2+4=0%%

%%|{-4}%%

%%x^2=-4%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat der Definitionsbereich der Funktion keine Lücken.

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}%%  

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2+4)\cdot1-x\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\frac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4)^2}$$

$$=\frac{-x^2+4}{(x^2+4)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(x^2+4)^2\cdot(-2x)-(-x^2+4)\cdot2(x^2+4)\cdot2x}{\left((x^2+4)^2\right)^2}$$

$$=\frac{-2x(x^2+4)^2-4x(-x^2+4)(x^2+4)}{(x^2+4)^4}$$

Im Zähler %%(x^2+4)%% ausklammern.

$$=\frac{(x^2+4)\cdot\left[-2x(x^2+4)-4x(-x^2+4)\right]}{(x^2+4)^4}$$

%%(x^2+4)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{-2x^3-8x+4x^3-16x}{(x^2+4)^3}=\frac{2x^3-24x}{(x^2+4)^3}$$

$$=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=-x^2+4%%

%%\mid+x^2%%

%%x^2=4%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt{4}%%

%%\Rightarrow x_2=2%%

%%x_3=-2%%

Extremum %%x_2=2%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(2)=\frac2{(2^2+4)}=\frac2{8}=\frac14$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(2)=\frac{2\cdot2\cdot(2^2-12)}{(2^2+4)^3}=\frac{-32}{512}=-\frac{1}{16}$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)<0%% folgt %%P_2=(2\mid\frac14)%% ist ein Maximum.

Extremum %%x_3=-2%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(-2)=\frac{-2}{\left((-2)^2+4\right)}=\frac{-2}{8}=-\frac14$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(-2)=\frac{2\cdot(-2)\cdot\left((-2)^2-12\right)}{\left((-2)^2+4\right)^3}=\frac{32}{512}=\frac{1}{16}$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_3)>0%% folgt %%P_3=(-2\mid-\frac14)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=2x(x^2-12)%%

Ablesen der ersten Nullstelle.

%%\Rightarrow x_4=0%%

Klammer gleich 0 setzen.

%%0=x^2-12%%

%%\mid+12%%

%%12=x^2%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\Rightarrow x_{5,6}=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3%%

Wendepunkt %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2+4}=0$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(0\mid0)%%.

Wendepunkt %%x_5=2\sqrt3%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(2\sqrt3)=\frac{2\sqrt3}{(2\sqrt3)^2+4}=\frac{2\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}8$$

Der zweite Wendepunkt der Funktion ist %%P_5(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{8})%%.

Wendepunkt %%x_6=-2\sqrt3%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(-2\sqrt3)=\frac{-2\sqrt3}{(-2\sqrt3)^2+4}=\frac{-2\sqrt3}{16}=-\frac{\sqrt3}8$$

Der dritte Wendepunkt der Funktion ist %%P_6(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{8})%%.

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac x{x^2+4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1+\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{1+\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=0^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac x{x^2+4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1+\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}}{\underbrace{1+\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=0%%.

$$f(x)=\frac x{x^2+4}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+4}$$

Umformen.

$$=-\frac x{x^2+4}=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist die Funktion Punktsymetrisch zum Ursprung.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-2[%%

%%-2%%

%%]-2;2[%%

%%2%%

%%]2;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

0

%%+%%

0

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

TP

%%\nearrow%%

HP

%%\searrow%%

Grafik Funktion Wendepunkte Kurvendiskussion

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2+16=0%%

%%\mid-16%%

%%x^2=-16%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat der Definitionsbereich der Funktion keine Lücken.

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}%%  

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

Außerdem ist %%x_1=0%% eine doppelte Nullstelle.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2+16)\cdot2x-x^2\cdot2x}{(x^2+16)^2}=\frac{2x^3+32x-2x^3}{(x^2+16)^2}$$

$$=\frac{32x}{(x^2+16)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=\frac{32x}{(x^2+16)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(x^2+16)^2\cdot32-32x\cdot2(x^2+16)\cdot2x}{\left((x^2+16)^2\right)^2}$$

$$=\frac{32(x^2+16)^2-128x^2(x^2+16)}{(x^2+16)^4}$$

Im Zähler %%(x^2+16)%% ausklammern.

$$=\frac{(x^2+16)\cdot\left[32(x^2+16)-128x^2\right]}{(x^2+16)^4}$$

%%(x^2+16)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{32x^2+512-128x^2}{(x^2+16)^3}$$

$$=\frac{-96x^2+512}{(x^2+16)^3}$$

$$f^\prime(x)=\frac{32x}{(x^2+16)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=32x%%

%%\left|{:32}\right.%%

%%x_2=0%%

Extremum %%x_2=0%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2+16}=\frac0{16}=0$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{-96x^2+512}{(x^2+16)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(0)=\frac{-96\cdot0^2+512}{(0^2+16)^3}=\frac{2^9}{2^{12}}=\frac18$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)>0%% folgt %%P_2=(0\mid0)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{-96x^2+512}{(x^2+16)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=-96x^2+512%%

%%\left|+96x^2\right.%%

%%96x^2=512%%

%%\mid:96%%

$$x^2=\frac{512}{96}=\frac{2^9}{2^5\cdot3}=\frac{2^4}{3}$$

$$\mid\sqrt{}$$

$$\Rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt{\frac{2^4}3}=\pm\frac4{\sqrt3}$$

Wendepunkt %%x_3=\frac4{\sqrt3}%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(\frac4{\sqrt3})=\frac{\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2}{\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2+16}=\frac{\frac{16}3}{\frac{16}3+\frac{48}3}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_3(\frac4{\sqrt3}\mid\frac14)%%.

Wendepunkt %%x_4=-\frac4{\sqrt3}%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(-\frac4{\sqrt3})=\frac{\left(-\frac4{\sqrt3}\right)^2}{\left(-\frac4{\sqrt3}\right)^2+16}=\frac{\frac{16}3}{\frac{16}3+\frac{48}3}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Der zweite Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(-\frac4{\sqrt3}\mid\frac14)%%.

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2+16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1+\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{1+\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=1^-$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2+16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1+\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{1+\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^+}}=1^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=1%%.

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+16}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{(-x)^2}{(-x)^2+16}$$

Umformen.

$$=\frac{x^2}{x^2+16}=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;0[%%

%%0%%

%%]0;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

0

%%+%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

TP

%%\nearrow%%

Graph Funktion Kurvendiskussion Wendepunkt Nullstelle

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2-4=0%%

%%\left|{+4}\right.%%

%%x^2=4%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2;2\}%%  

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%\Rightarrow x_3=0%%

Da %%x_3=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2-4)\cdot1-x\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{x^2-4-2x^2}{(x^2-4)^2}$$

$$=-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{(x^2-4)^2\cdot2x-(x^2+4)\cdot2(x^2-4)\cdot2x}{\left((x^2-4)^2\right)^2}$$

$$=-\frac{2x(x^2-4)^2-4x(x^2+4)(x^2-4)}{(x^2-4)^4}$$

Im Zähler %%(x^2-4)%% ausklammern.

$$=-\frac{(x^2-4)\cdot\left[2x(x^2-4)-4x(x^2+4)\right]}{(x^2-4)^4}$$

%%(x^2-4)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=-\frac{2x^3-8x-4x^3-16x}{(x^2-4)^3}=-\frac{-2x^3-24x}{(x^2-4)^3}$$

$$=\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$$

$$f^\prime(x)=-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=x^2+4%%

%%\mid-4%%

%%-4=x^2%%

%%-4=x^2%%

%%\Rightarrow%% Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat die Funktion keine Extrema.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%0=2x(x^2-12)%%

Ablesen der ersten Nullstelle.

%%\Rightarrow x_4=0%%

Klammer gleich 0 setzen.

%%x^2+12=0%%

%%\mid-12%%

%%x^2=-12%%

%%\Rightarrow%% Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat die Funktion nur den Wendepunkt %%x_4=0%%.

Wendepunkt %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac0{0^2-4}=0$$

Der erste Wendepunkt der Funktion ist %%P_4(0\mid0)%%.

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2;2\}%%

Da die Funktion zwei Definitionslücken hat, muss man das Verhalten gegen  %%\pm2%% und %%\pm\infty%% betrachten.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^2-4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1-\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}}{\underbrace{1-\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{x^2-4}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\frac1x}{x^2\cdot(1-\frac4{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}}{\underbrace{1-\frac4{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=0^-$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=0%%.

Grenzwert gegen %%-2%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%-2%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow(-2)^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-2)^-}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow(-2)^-}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow(-2)^-}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^+}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow(-2)^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-2)^+}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow(-2)^+}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow(-2)^+}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^-}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=-2%%.

Grenzwert gegen %%2%%

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Grenzwert gegen %%2%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow2^-}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}\frac x{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow2^+}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow2^+}}{\underbrace{x^2-4}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=2%%.

$$f(x)=\frac x{x^2-4}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2-4}$$

Umformen.

$$=-\frac x{x^2-4}=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist die Funktion Punktsymetrisch zum Ursprung.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-2[%%

%%-2%%

%%]-2;2[%%

%%2%%

%%]2;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%-%%

Def.-lücke

%%-%%

Def.-lücke

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

Graph Funktion Kurvendiskussion Hyperbel Nullstelle

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%x^2-16=0%%

%%\left|{+16}\right.%%

%%x^2=16%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%x_{1,2}=\pm4%%

%%\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\{-4;4\}%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%\Rightarrow x_3=0%%

Da %%x_3=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

Außerdem ist %%x_3=0%% eine doppelte Nullstelle.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(x^2-16)\cdot2x-x^2\cdot2x}{(x^2-16)^2}=\frac{2x^3-32x-2x^3}{(x^2-16)^2}$$

$$=-\frac{32x}{(x^2-16)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=-\frac{32x}{(x^2-16)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{(x^2-16)^2\cdot32-32x\cdot2(x^2-16)\cdot2x}{\left((x^2-16)^2\right)^2}$$

$$=-\frac{32(x^2-16)^2-128x^2(x^2-16)}{(x^2-16)^4}$$

Im Zähler %%(x^2-16)%% ausklammern.

$$=-\frac{(x^2-16)\cdot\left[32(x^2-16)-128x^2\right]}{(x^2-16)^4}$$

%%(x^2-16)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=-\frac{32x^2-512-128x^2}{(x^2-16)^3}=\frac{96x^2+512}{(x^2-16)^3}$$

$$=\frac{32(3x^2+16)}{(x^2-16)^3}$$

$$f^\prime(x)=-\frac{32x}{(x^2-16)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%32x=0%%

%%\mid:32%%

%%x_4=0%%

%%\left|:32\right.%%

Extremum %%x_4=0%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f(0)=\frac{0^2}{0^2-16}=0$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{32(3x^2+16)}{(x^2-16)^3}$$

%%x_4%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(0)=\frac{32(3\cdot0^2+16)}{(0^2-16)^3}=\frac{32\cdot16}{(-16)^3}=-\frac18$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_4)<0%% folgt %%P_4=(0\mid0)%% ist ein Maximum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{32(3x^2+16)}{(x^2-16)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%32(3x^2+16)=0%%

%%\mid:32%%

%%3x^2+16=0%%

%%\mid-16%%

%%3x^2=-16%%

Da diese Gleichung keine Lösungen hat, hat die Funktion %%f(x)%% keine Wendepunkte.

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-4;4\right\}%%

Da die Funktion zwei Definitionslücken hat, muss man das Verhalten gegen %%\pm4%% und %%\pm\infty%% betrachten.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2-16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1-\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\underbrace{1-\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=1^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2-16}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(1-\frac{16}{x^2})}$$

%%x^2%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{\underbrace{1-\frac{16}{x^2}}_{\rightarrow1^-}}=1^+$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die waagrechte Asymptote %%y=1%%.

Grenzwert gegen %%-4%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%-4%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow(-4)^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-4)^-}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow(-4)^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^+}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow(-4)^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow(-4)^+}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow(-4)^+}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^-}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=-4%%.

Grenzwert gegen %%4%%

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Grenzwert gegen %%4%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow4^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^-}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow4^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{x^2}{x^2-16}=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow16^+}}{\underbrace{x^2-16}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=4%%.

$$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{(-x)^2}{(-x)^2-16}$$

Umformen.

$$=\frac{x^2}{x^2-16}=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Da  %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%]-\infty;-4[%%

%%-4%%

%%]-4;0[%%

%%0%%

%%]0;4[%%

%%4%%

%%]4;+\infty[%%

VZ von %%f^\prime%%

%%+%%

Def.-lücke

%%+%%

0

%%-%%

Def.-lücke

%%-%%

%%G_f%%

%%\nearrow%%

%%\nearrow%%

HP

%%\searrow%%

%%\searrow%%

Graph Funktion Kurvendiskussion Hyperbel Nullstelle

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%2x-1=0%%

%%\mid+1%%

%%2x=1%%

%%\mid:2%%

%%x=\frac12%%

$$\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{\frac12\right\}$$

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%2x^2=0%%

%%\mid:2%%

%%x^2=0%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\Rightarrow x_1=0%%

Da %%x_1=0%% im Definitionsbereich %%D_f%% enthalten ist, ist es die einzige Nullstelle des Graphen der Funktion.

Außerdem ist %%x_1=0%% eine doppelte Nullstelle des Graphen der Funktion %%f%%.

1. Ableitung

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Berechne die Ableitung von %%f%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^\prime(x)=\frac{(2x-1)\cdot4x-2x^2\cdot2}{(2x-1)^2}=\frac{8x^2-4x-4x^2}{(2x-1)^2}$$

$$=\frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}$$

2. Ableitung

$$f^\prime(x)=\frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}$$

Berechne die Ableitung von %%f^\prime%%,

z.B. mit Hilfe der Quotientenregel.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{(2x-1)^2\cdot(8x-4)-(4x^2-4x)\cdot2(2x-1)\cdot2}{\left((2x-1)^2\right)^2}$$

$$=\frac{(2x-1)^2\cdot(8x-4)-(2x-1)\cdot4(4x^2-4x)}{(2x-1)^4}$$

Im Zähler %%(2x-1)%% ausklammern.

$$=\frac{(2x-1)\cdot\left[(2x-1)\cdot(8x-4)-(16x^4-16x)\right]}{(2x-1)^4}$$

%%(2x-1)%% kürzen und ausmultiplizieren.

$$=\frac{16x^2-8x-8x+4-16x^2+16x}{(2x-1)^3}$$

$$=\frac4{(2x-1)^3}$$

$$f^\prime(x)=\frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime%% durch Nullsetzen des Zählers.

%%4x^2-4x=0%%

Ausklammern von %%4x%%.

%%4x(x-1)=0%%

%%\mid:4%%

%%x(x-1)=0%%

%%\Rightarrow x_2=0%%

%%x_3=1%%

Extremum %%x_2=0%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f(0)=\frac{2\cdot0^2}{2\cdot 0-1}=\frac{0}{-1}=0$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac4{(2x-1)^3}$$

%%x_2%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(0)=\frac4{(2\cdot0-1)^3}=\frac4{-1}=-4$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_2)<0%% folgt %%P_2=(0\mid-4)%% ist ein Maximum.

Extremum %%x_3=1%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f(1)=\frac{2\cdot1^2}{2\cdot1-1}=\frac{2}{1}=2$$

Überprüfen ob das Extremum ein Maximum oder ein Minimum ist:

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac4{(2x-1)^3}$$

%%x_3%% einsetzen.

$$f^{\prime\prime}(1)=\frac4{(2\cdot1-1)^3}=\frac4{1}=4$$

Da %%f^{\prime\prime}(x_3)>0%% folgt %%P_3=(1\mid2)%% ist ein Minimum.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac4{(2x-1)^3}$$

Bestimme die Nullstellen von %%f^{\prime\prime}%% durch Nullsetzen des Zählers.

$$\Rightarrow 4=0$$

%%f^{\prime\prime}(x)%% besitzt also keine Nullstellen, also gibt es keine Wendepunkte.

$$\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{\frac12\right\}$$

Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss man das Verhalten gegen %%\frac12%% und %%\pm\infty%% betrachten.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^2}{2x-1}$$

Da der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad existiert eine schräge Asymptote.

Man klammer also die größte Potenz im Nenner aus.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^2}{x\cdot(2-\frac1x)}$$

%%x%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\underbrace{2-\frac1x}_{\rightarrow2^-}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^2}{2x-1}$$

Da der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad existiert eine schräge Asymptote.

Man klammer also die größte Potenz im Nenner aus.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^2}{x\cdot(2-\frac1x)}$$

%%x%% kürzen.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{\underbrace{2-\frac1x}_{\rightarrow2^+}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die schräge Asymptote %%y=x%%.

Grenzwert gegen %%\frac12%%

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Grenzwert gegen %%\frac12%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow0,5^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{2x^2}{2x-1}=\frac{\overbrace{2x^2}^{\rightarrow0,5^-}}{\underbrace{2x-1}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

Grenzwert von rechts:

$$\lim_{x\rightarrow0,5^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0,5^+}\frac{2x^2}{2x-1}=\frac{\overbrace{2x^2}^{\rightarrow0,5^+}}{\underbrace{2x-1}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% Die Funktion %%f(x)%% hat die senkrechte Asymptote %%x=\frac12%%.

$$f(x)=\frac{2x^2}{2x-1}$$

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

$$f(-x)=\frac{2(-x)^2}{2(-x)-1}$$

Umformen.

$$=\frac{2x^2}{-2x-1}$$

%%\Rightarrow%% Da %%f(-x)%% weder %%-f(x)%% noch %%f(x)%% ist, ist die Funktion weder Punktsymetrisch zum Ursprung noch Achsensymetrisch zur y-Achse.

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Monotonietabelle bestimmt.

x

%%(-\infty,0)%%

%%0%%

%%(0,\frac12)%%

%%\frac12%%

%%(\frac12,1)%%

%%1%%

%%(1,\infty)%%

VZ von f'(x)

%%+%%

%%0%%

%%-%%

%%Defl.%%

%%-%%

%%0%%

%%+%%

%%G_f%%

%%\nearrow%%

%%HP%%

%%\searrow%%

%%-%%

%%\searrow%%

%%TP%%

%%\nearrow%%

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph Funktion Kurvendiskussion Hyperbel

$$f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}$$

%%f(x)=\dfrac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%2\cdot\left(x^2-1\right)=%%

Definitionslücken (1, -1) ablesen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-1,\;1\right\}%%

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^3=0%%

%%\sqrt[3]\;%% ziehen .

   %%x=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST=\left(0\left|0\right.\right)%%

1. Ableitung

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

%%u`=3x^2,\;v`=4x%%

Quotientenregel anwenden.

%%f`\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot2\cdot\left(x^2-1\right)-x^3\cdot4x}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Zähler ausmultiplizieren.

           %%=\frac{6x^4-6x^2-4x^4}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

           %%=\frac{2x^4-6x^2}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=\frac{2x^4-6x^2}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=8x^3-12x,%%

%%v`=2\cdot\left(2x^2-2\right)\cdot4x%%

Quotientenregel anwenden.

%%f``\left(x\right)=\frac{\left(8x^3-12x\right)\cdot\left(2x^2-2\right)^2-\left(2x^4-6x^2\right)\cdot2\cdot\left(2x^2-2\right)\cdot4x}{\left(2x^2-2\right)^4}%%

Mit %%\left(2x^2-2\right)%% kürzen .

             %%=\frac{\left(8x^3-12x\right)\cdot\left(2x^2-2\right)-\left(2x^4-6x^2\right)\cdot2\cdot4x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Zähler ausmultiplizieren.

%%=\frac{(16x^5-16x^3-24x^3+24x)-(16x^5-48x^3)}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Klammern im Zähler auflösen.

             %%=\frac{16x^5-16x^3-24x^3+24x-16x^5+48x^3}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

             %%=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

x-Wert bestimmen

%%f`\left(x\right)=\frac{2x^4-6x^2}{\left(2x^2-2\right)^2}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%2x^4-6x^2=0%%

%%2x^2%% ausklammern .

%%2x^2\cdot\left(x^2-3\right)=0%%

Die beiden x-Werte lassen sich ablesen.

%%x_1=-\sqrt3,\;x_2=0,\;x_3=\sqrt3%%

 

Art der Extrema bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gefundenes %%x_1=-\sqrt3%% einsetzen.

%%f``\left(-\sqrt3\right)=\frac{8\left(-\sqrt3\right)^3+24\cdot\left(-\sqrt3\right)}{\left(2\left(-\sqrt3\right)^2-2\right)^3}\approx-1,299%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(-\sqrt3\right)

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gefundenes %%x_2=0%% einsetzen.

%%f``\left(0\right)=\frac{8\left(0\right)^3+24\cdot\left(0\right)}{\left(2\left(0\right)^2-2\right)^3}=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(0\right)=0%% : Wendepunkt (Sattelpunkt).

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Gefundenes  %%x_3=+\sqrt3%% einsetzen.

%%f``\left(\sqrt3\right)=\frac{8\left(\sqrt3\right)^3+24\cdot\left(\sqrt3\right)}{\left(2\left(\sqrt3\right)^2-2\right)^3}\approx1,299%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(\sqrt3\right)>0%% : Tiefpunkt

y-Werte bestimmen

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Gefundenes %%x_1=-\sqrt3%% einsetzen.

%%f(-\sqrt3)=\frac{(-\sqrt3)^3}{2((-\sqrt3)^2-1)}=-\frac{3\sqrt3}4%%

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Gefundenes %%x_3=\sqrt3%% einsetzen.

%%f(\sqrt3)=\frac{(\sqrt3)^3}{2((\sqrt3)^2-1)}=\frac{3\sqrt3}4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;HP\left(-\sqrt3\left|-\frac{3\sqrt3}4\right.\right),\;TP\left(\sqrt3\left|\frac{3\sqrt3}4\right.\right)%%

%%f``\left(x\right)=\frac{8x^3+24x}{\left(2x^2-2\right)^3}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%8x^3+24x=0%%

%%8x\left(x^2+3\right)=0%%

Das innere der Klammer wird nie Null.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der einzige Wendepunkt ist der schon bei den Extrema gefundene Punkt und Nullstelle (0|0).

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-1,\;1\right\}%%

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen %%\pm\infty%% .

 

Grenzwert bei -1

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow-1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^+}-1)}_{\rightarrow0^+}}=-\infty%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow-1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^-}-1)}_{\rightarrow0^-}}=+\infty%%

Grenzwert bei 1

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^-}-1)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x^3}{2(x^2-1)}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{2(\underbrace{x^2}_{\rightarrow1^+}-1)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^3}{2x^2-2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{2x^2-2}_{\rightarrow+\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{3x^2}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{4x}_{\rightarrow-\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{6x}^{\rightarrow-\infty}}4=-\infty%%

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3}{2x^2-2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x^3}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{2x^2-2}_{\rightarrow+\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{3x^2}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{4x}_{\rightarrow+\infty}}=%%

Satz von l'Hospital anwenden.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{6x}^{\rightarrow+\infty}}4=+\infty%%

 

%%f(x)=\frac{x^3}{2(x^2-1)}%%

Setze -x für x ein.

%%f(-x)=\frac{\left(-x\right)^3}{2(\left(-x\right)^2-1)}%%

%%\left(-x\right)^2=x^2%% , -1 aus der Potenz ziehen.

             %%=\frac{\left(-1\right)^3\cdot x^3}{2(x^2-1)}%%

             %%=-\frac{x^3}{2(x^2-1)}=-f\left(x\right)%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f\left(-x\right)=-f\left(x\right)%% ist, ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung .

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

x

(%%-\infty,-\sqrt{3}%%)

%%-\sqrt{3}%%

(%%-\sqrt{3},-1)%%

%%-1%%

VZ von f'(x)

%%+%%

%%0%%

%%-%%

Definitionslücke

%%G_f%%

%%\nearrow%%

%%HP%%

%%\searrow%%

%%-%%

--

x

%%(-1,0)%%

%%0%%

%%(0,1)%%

%%1%%

%%(1,\sqrt{3})%%

VZ von f'(x)

%%-%%

%%0%%

%%-%%

Definitionslücke

%%-%%

%%G-f%%

%%\searrow%%

%%WP%%

%%\searrow%%

%%-%%

%%\searrow%%

--

x

%%\sqrt{3}%%

%%(\sqrt{3},\infty)%%

Vz von f'(x)

%%0%%

%%+%%

%%G_f%%

%%WP%%

%%\nearrow%%

Der Graph sieht dann so aus:

Graph Funktion Kurvendiskussion Nullstelle Hyperbel Wendepunkt

$$f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}$$

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%\left(x-0,5\right)^2=0%%

Definitionslücke (0,5) ablesen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}%%

 

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%x^2=0%%

%%x=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;NST\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%

1. Ableitung

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=2x,\;v`=2\cdot\left(x-0,5\right)%%

Quotientenregel anwenden.

%%f`\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)^2-x^2\cdot2\cdot\left(x-0,5\right)}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Mit %%\left(x-0,5\right)%% kürzen .

            %%=\frac{2x\cdot\left(x-0,5\right)-x^2\cdot2}{\left(x-0,5\right)^3}%%

%%=\frac{2x^2-x-2x^2}{\left(x-0,5\right)^3}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

%%=-\frac x{\left(x-0,5\right)^3}%%

 

2. Ableitung

%%f`\left(x\right)=-\frac x{\left(x-0,5\right)^3}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v).

Für v wird die Kettenregel verwendet.

%%u`=1,\;v`=3\cdot\left(x-0,5\right)^2%%

Quotientenregel anwenden.

%%f``\left(x\right)=-\frac{1\cdot\left(x-0,5\right)^3-x\cdot3\cdot\left(x-0,5\right)^2}{\left(x-0,5\right)^6}%%

Mit %%\left(x-0,5\right)^2%% kürzen .

             %%=-\frac{\left(x-0,5\right)-x\cdot3}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

             %%=-\frac{-2x-0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

             %%=\frac{2x+0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

 

x-Werte bestimmen

%%f`\left(x\right)=-\frac x{\left(x-0,5\right)^3}%%

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%x=0%%

 

Art des Extremums bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{2x+0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Gefundenes x=0 einsetzen.

%%f``\left(0\right)=\frac{2\cdot0+0,5}{\left(0-0,5\right)^4}%%

            %%=\frac{0,5}{0,5^4}=0,125%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da %%f``\left(0\right)>0:%% Tiefpunkt

y-Wert bestimmen

Da der Tiefpunkt eine Nullstelle ist, ist deren y-Koordinate bereits bekannt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;TP\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%

 

x-Werte bestimmen

%%f``\left(x\right)=\frac{2x+0,5}{\left(x-0,5\right)^4}%%

Es wird nur der Zähler der ersten  Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

%%2x+0,5=0%%

%%\left|-0,5\right.%%

           %%2x=-0,5%%

             %%x=-0,25%%

y-Wert bestimmen

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Gefundenes %%x=-0,25%% einsetzen.

%%f(-0,25)=\frac{(-0,25)^2}{((-0,25)-0,5)^2}%%

Alle Dezimalzahlen als Brüche schreiben.

%%\hphantom{////////}=\dfrac{-\frac14}{(-\frac14-\frac12)^2}%%

Im Zähler Potenz ausmultiplizieren, im Nenner Brüche subtrahieren .

                   %%\hphantom{}=\frac{\displaystyle\frac1{16}}{\left(-\displaystyle\frac34\right)^2}%%

Potenz ausmultiplizieren

                   %%=\frac{\displaystyle\frac1{16}}{\displaystyle\frac9{16}}%%

Mit %%\frac19%% kürzen .

                   %%=\frac19%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;WP\left(-0,25\;\left|\;\frac19\right.\right)%%

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0,5\right\}%%

Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen %%\pm\infty%% .

Grenzwert bei 0,5

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Annäherung von links.

%%\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow0,25}}{\underbrace{(\underbrace{x-0,5}_{\rightarrow0^-})^2}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Annäherung von rechts.

%%\lim_{x\rightarrow0,5^+}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

%%=\lim_{x\rightarrow0,5^-}\frac{\overbrace{x^2}^{\rightarrow0,25}}{\underbrace{(\underbrace{x-0,5}_{\rightarrow0^+})^2}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

Nenner mit Binomischer Formel auflösen.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2-x+0,25}=%%

Jedes Element durch das x mit höchstem Exponenten teilen.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle\frac x{x^2}}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Kürzen wo möglich.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{1-{\displaystyle\frac1x}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Grenzwert bilden.

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{1-\underbrace{\displaystyle\frac1x}_{\rightarrow0}+\underbrace{\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}_{\rightarrow0}}=\frac11=1%%

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{\left(x-0,5\right)^2}=%%

Nenner mit Binomischer Formel auflösen.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2-x+0,25}=%%

Jedes Element durch das x mit höchstem Exponenten teilen.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle\frac x{x^2}}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Kürzen wo möglich.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{1-{\displaystyle\frac1x}+\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}=%%

Grenzwert bilden.

%%=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{1-\underbrace{\displaystyle\frac1x}_{\rightarrow0}+\underbrace{\displaystyle\frac{0,25}{x^2}}_{\rightarrow0}}=\frac11=1%%

%%f(x)=\frac{x^2}{(x-0,5)^2}%%

Setze -x für x ein.

%%f(-x)=\frac{\left(-x\right)^2}{(-x-0,5)^2}%%

             %%=\frac{\left(-1\right)^2\cdot x^2}{\left(-1\right)^2\cdot\left(x+0,5\right)^2}%%

%%\left(-1\right)^2=1%%

              %%=\frac{x^2}{\left(x+0,5\right)^2}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Da f(-x) weder f(x) noch -f(x) ist, ist die Funktion weder Achsensymmetrisch zur y-Achse noch Punktsymmetrisch zum Ursprung .

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

x

%%(-\infty,\frac14)%%

%%-\frac14%%

%%(-\frac14,0)%%

%%0%%

%%(0,\frac12)%%

%%\frac12%%

%%(\frac12,\infty)%%

VZ von f'(x)

%%-%%

%%0%%

%%-%%

%%0%%

%%+%%

%%Defl.%%

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

%%WP%%

%%\searrow%%

%%TP%%

%%\nearrow%%

%%-%%

%%\searrow%%

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph Funktion Kurvendiskussion Nullstelle Wendepunkt Hyperbel

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