Aufgaben
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.
I5y3x=1II x=y+1\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}&  x &=& y& +& 1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
I5y3x=1IIx=y+1\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}
Setz die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I5y3(y+1)=1\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1
Lös I\text{I}'nach yy auf.
5y3y3=12y3=1+32y=4:2y=2\begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}
Nun kannst du y=2y=2 in II\mathrm{II} einsetzen und nach xx auflösen.
523x=1103x=9:(3)x=3\begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}
L={(x    y)}={(3    2)}L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}
I4x+5y=32IIy=5x11\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem


In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
I4x+5y=32IIy=5x11\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}
Setz die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I4x+5(5x11)=32\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32
Löse nach xx auf.
4x+25x55=3229x55=32+5529x=87:29x=3\begin{array}{rccc}4x+25x-55&=&32&\\29x-55&=&32&|+55\\29x&=&87&&|:29\\x&=&3\end{array}
Setz x=3x=3 in II\mathrm{II} ein und löse nach yy auf.
y=5311y=4\begin{array}{rcl}y&=&5\cdot3-11\\y&=&4\end{array}
L={(x    y)}={(3    4)}L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}
I15y4x=50IIx=y+7\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
I15y4x=50IIx=y+7\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}
Setz die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I15y4(y+7)=50\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50
Lös nach xx auf.
15y4y28=5011y28=50+2811y=22:11y=2\begin{array}{rcll}15y-4y-28&=&-50&\\11y-28&=&-50&|+28\\11y&=&-22&|:11\\y&=&-2\end{array}
Setz nun y=2y=-2 in II\mathrm{II} ein und lös nach xx auf.
x=2+7x=-2+7
x=5x=5
L={(x    y)}={(5    2)}L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}
I3x=y+15II2y10=2x\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

Lösung mit Einsetzungsverfahren

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
I3x=y+15II2y10=2x\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}
Teile II\mathrm{II} durch 2, um nach der Variablen xx aufzulösen.
II:2IIy5=x\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x
Setze II\mathrm{II}' in I\mathrm{I} ein.
II\mathrm{II}' in I\mathrm{I} eingesetzt:
I3(y5)=y+15\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15
Löse dann I\mathrm{I}' nach yy auf.
3y15=y+15y;+152y=30:2y=15\begin{array}{rcll}3y-15&=&y+15&|-y; +15\\2y&=&30&|:2\\y&=&15\end{array}
Setze anschließend y=15y=15 in II\mathrm{II}' ein und löse nach xx auf.
y=15y=15 in II\mathrm{II}' eingesetzt:
155=x10=x\begin{array}{rcll}15-5&=&x\\10&=&x\end{array}
L={(x    y)}={(10    15)}L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}


Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von I\mathrm{I} und auf der rechten Seite von II\mathrm{II} fast der gleiche Term steht.
I3x=y+15II2y10=2x\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}
Multipliziere II\mathrm{II} mit 32\frac32, um auf der rechten Seite 3x3x zu erzeugen.
I3x=y+15II3y15=3x\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x\end{array}
Setze die rechte Seite von I\mathrm{I} mit der linken von II\mathrm{II}' gleich und löse nach xx auf.
3x15=x+5x;  +152x=20:2x=10\begin{array}{rcll}3x-15&=&x+5&|-x;\;+15\\2x&=&20&|:2\\x&=&10\end{array}
Setze x=10x=10 in I\mathrm{I} (oder auch II\mathrm{II}) ein und löse nach yy auf.
310=y+1530=y+151515=y\begin{array}{rcll}3\cdot 10&=&y+15&\\30&=&y+15&|-15\\15&=&y\end{array}
L={(x    y)}={(10    15)}L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}


Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:
I3x=y+15II2x=2y10\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
Ix=y+25II2x=2y10\begin{array}{cccc}\mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}
Da die erste Gleichung nun nach xx aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.
Setze dazu I\mathrm{I}' in II\mathrm{II} ein und löse nach yy auf.
II2(y+25)=2y102y+50=2y102y    504y=60:(4)y=15\begin{array}{crcll}\mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\&-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\&-4y&=&-60&|:(-4)\\&y&=&15\end{array}
Setze y=15y=15 in I\mathrm{I}' ein und löse nach xx auf.
x=15+25x=-15+25
x=10x=10
L={(xy)}={(1015)}L=\{(x|y)\}=\{(10|15)\}

Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Setze die Gleichung %%(I)%% in %%(II)%% ein.

%%3x=10-\left(2x-40\right)%%

Löse die Klammer auf und löse nach %%y%% auf.

%%3x=10-2x+40%%

%%\left|+2x\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(I)%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme %%(II)%% um, sodass %%2y%% auf einer Seite alleine steht.  %%\left|+2y\;\;\;\left|-3x\right.\right.%%

%%(II)`\;2y=10-3x%%

Setze die beiden Gleichungen gleich.

%%2x-40=10-3x%%

Löse nach %%x%% auf.  %%\left|+3x\;\;\;\left|+40\right.\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=10-3\cdot10%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme die Gleichungen so um, dass die Zahlen mit den Variablen auf einer Seite und die ohne, auf der anderen stehen.

%%\begin{array}{l}(I)`\;-40=2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%\frac{\begin{array}{l}(I)`\;-40=\;\;\;\;2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}}{\;\;\;\;\;\;-50=\;\;\;\;\;\;\;\;-5x}%%

%%\left|:-5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf der einen Seite am Ende %%\frac x2%% steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

Setze %%(II)'%% in %%(I)%% ein.

%%16-2y-\frac{3y}5=3%%

Löse nach %%y%% auf.  %%\left|-16\right.%%

%%-\frac{13y}5=-13%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%-13y=-65%%

%%\left|:-13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% und %%(I)%% so um, dass am Ende %%\frac x2%% auf einer Seite der jeweiligen Gleichung steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

%%(I)=\frac x2-\frac{3y}5=3%%

%%\left|+\frac{3y}5\right.%%

%%(I)`=\frac x2=3+\frac{3y}5%%

Setze %%(I)'%% und %%(II)'%% gleich.

%%16-2y=3+\frac{3y}5%%

Löse nach %%y%% auf. %%\left|-3\;\;\left|+2y\right.\right.%%

%%13=\frac{13y}5%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%13y=65%%

%%\left|:13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Forme %%(I)%% und %%(II)%% so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

%%\left|\frac{(I)\;\left|\cdot\left(3x+1\right)\;\;\left|\cdot\left(3y-13\right)\right.\right.}{(II)\;\left|\cdot\left(5x-10\right)\;\left|\cdot\left(7y-6\right)\right.\right.}\right.%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;4\cdot(3y-13)=2(3x+1)\\(II)\;2\cdot(7y-6)=4(5x-10)\end{array}%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;12y-52=6x+2\\(II)\;14y-12=20x-40\end{array}%%

Forme %%(I)%% so um,dass nur noch %%y%% auf einer Seite steht.    %%\left|+52\right.%%

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle12\textstyle y\textstyle=\textstyle6\textstyle x\textstyle+\textstyle54%%

%%\left|\div12\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle x\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

Setze %%y%% in %%(II)%% ein.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\left(0,5x+4,5\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

Löse nach %%x%% auf.

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle x\textstyle+\textstyle51\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

%%\left|+40\;\left|-7x\right.\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle91\textstyle=\textstyle13\textstyle x%%

%%\left|\div13\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle=\textstyle x%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein, um %%y%% zu finden.

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle8%%

Mache die Probe mit der Grundgleichung %%(II)%%.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\cdot\left(8\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle100%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle20\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle-\textstyle40\textstyle=\textstyle100%%

Gib die Lösungmenge an. %%L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(7\left|8\right.\right)\right\}%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Gegeben:

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

%%\left|(II)\;-\frac9x\;\;\;\;\left|-\frac52\right.\right.%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y-\frac9x=-\frac52%%

Jetzt ordne alle Variablen so an, dass diese untereinander stehen.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac9x+\frac4y=-\frac52%%

Nimm die Gleichung %%(II)%% mal %%3%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

Wende jetzt das Additionsverfahren an.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{20}x=-\frac{40}6}%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%-\frac x{20}=-\frac6{40}%%

%%\left|\cdot\left(-20\right)\right.%%

%%x=3%%

Setze %%x%% in %%(II)%% ein.

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac93%%

%%\left|-\frac52\right.%%

%%\frac4y=\frac12%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%\frac y4=2%%

%%\left|\cdot4\right.%%

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

Wende nun das Additionsverfahren an.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac8x=\frac43}%%

%%\frac x8=\frac34%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%x=6%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein.

%%(I)\frac46+\frac8y=\frac53%%

%%\left|-\frac46\right.%%

%%\frac8y=\frac53-\frac46%%

 

%%\frac8y=\frac33%%

%%\frac y8=1%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(6\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac{10}{2x-1}-\frac8{3y+2}=\frac{16}{15}%%

Addiere beide Gleichungen.

%%(I)+(II)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}+\frac8{3y+2}+\frac{10}{2x-1}=-\frac15+\frac{16}{15}%%

Fasse auf beiden Seiten zusammen und bilde den Hauptnenner.

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=-\frac3{15}+\frac{16}{15}%%

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=\frac{13}{15}%%

%%(I)+(II)13=\frac{13\left(2x-1\right)}{15}%%

%%\left|\cdot15\right.%%

%%(I)+(II)195=26x-13%%

%%\left|+13\right.%%

%%(I)+(II)208=26x%%

%%\left|:26\right.%%

%%x=8%%

Setze %%x%% in  %%(I)%% ein.

%%(I)\frac3{2\cdot8-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(I)\frac3{15}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%\left|-\frac3{15}\right.%%     Bilde den Hauptnenner.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac3{15}-\frac3{15}%%

Fasse zusammen.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%(I)\frac8{3y+2}=\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(3y+2\right)\right.%%

%%(I)8=\frac{6\left(3y+2\right)}{15}%%

%%\left|\cdot\right.15%%

%%(I)120=6\left(3y+2\right)%%

%%\left|:6\right.%%

%%(I)20=3y+2%%

%%\left|-2\right.%%

%%(I)18=3y%%

%%\left|:3\right.%%

%%y=6%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(8\;\left|\;6\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

Löse die Gleichungssysteme.
II)3x+4=2y\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y
II)4y=2x+10\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

II)3x+4=2y\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y
II)4y=2x+10\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. In diesem Fall ist yy schon einzeln, also ist es einfacher nach yy aufzulösen.
II)3x+4=2y:2\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y \quad \mid:2
II)4y=2x+10:4\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10 \quad \mid : 4
I)1,5x+2=y\mathrm{I})' \quad 1,5x + 2 = y
II)y=0,5x+2,5\mathrm{II})' \quad y = 0,5x + 2,5

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'} gleich.
1,5x+2=0,5x+2,5\Rightarrow 1,5x + 2 = 0,5x + 2,5

3. Gleichung nach x auflösen

1,5x+2=0,5x+2,50,5x1,5x + 2 = 0,5x + 2,5 \quad \mid - 0,5x
x+2=2,52x + 2 = 2,5 \quad\quad\quad \mid -2
x=0,5x = 0,5

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze xx in I\mathrm{I'} oder II\mathrm{II'} ein.
y=0,50,5+2,5=0,25+2,5=2,75y = 0,5 \cdot 0,5 + 2,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75
Gib die Lösungsmenge an
L={(0,5 ; 2,75)}\displaystyle{L = \left\lbrace \left(0,5 \ ; \ 2,75 \right) \right\rbrace}
II)y1=2x+3\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3
II)2y2=5x1\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

II)y1=2x+3\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad y-1 = 2x +3
II)2y2=5x1\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Zum Beispiel nach der Variablen xx.
II)y1=2x+33II)y4=2x:2II)0,5y2=x\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})\quad y-1 = 2x +3 \quad \mid-3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'\quad y-4 = 2x \quad \quad\mid :2 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})''\quad 0,5y-2 = x
II)2y2=5x1+1II)2y1=5x:5II)0,4y0,2=x\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1 \quad \mid +1\\\mathrm{II})' \quad 2y-1 = 5x \quad \quad \mid :5\\\mathrm{II})'' \quad 0,4y-0,2 = x

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen I\mathrm{I''} und II\mathrm{II''} gleich.
0,5y2=0,4y0,2\Rightarrow 0,5y-2 = 0,4y-0,2

3. Gleichung nach y auflösen

0,5y2=0,4y0,20,5y-2 = 0,4y-0,2
0,5y=0,4y+1,80,5y = 0,4y+1,8
0,1y=1,80,1y = 1,8
y=18y = 18

4. y einsetzen, um x heraus zu finden

yy in I\mathrm{I''} einsetzen
0,5182=x=92=70,5\cdot 18 -2 = x = 9-2 = 7
Gib die Lösungsmenge an
L={(7,18)}L = \{(7,18)\}
II)2x+3y=4x5\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5
II)3x2y=2y+8\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

II)2x+3y=4x5\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5
II)3x2y=2y+8\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8

1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

Löse beispielsweise nach yy auf
%%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%II)2x+3y=4x52xII)3y=2x5:3II)y=23x53\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \quad \mid -2x\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \quad \mid :3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}
II)3x2y=2y+8+2y8II)3x8=4y:4II)34x2=y\begin{array}{lrl} \mathrm{II}) & 3x-2y &= &2y+8 &\mid +2y -8 \\ \mathrm{II})' & 3x-8 &= &4y & \mid :4\\ \mathrm{II})'' & \frac{3}{4}x-2 &= &y \end{array}

2. Gleichsetzen

Setze I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'} gleich.
34x2=23x53\begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}

3. Nach der einen Variable auflösen

Löse nach xx auf.
34x2=23x5323x34x23x2=53+2912x812x=53+2112x=1312x=4\begin{array}{rrl} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} &| -\frac{2}{3}x \\\frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \quad\quad &|+2\\\frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\\frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \quad \quad &|\cdot12\\x &= &4 \\\end{array}

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

Setze xx beispielsweise in II\mathrm{II'} ein.
34(4)2=y32=yy=1\begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\3-2 &= &y \\y &= &1\end{array}
44 wird für xx eingesetzt.
Lösungsmenge angeben!
L={(4,1)}L = \{(4,1)\}
Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
I4u+3vw=2II3u4v+5w=5III2u+2v+w=6\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.
I4u+3vw=2II3u4v+5w=5III2u+2v+w=6\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}
Wähle die Variable ww und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von ww:
kgV(1;1;5)=5\displaystyle \mathrm{kgV}(1;1;5)=5^{ }
Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes ww den Koeffizienten 5 hat.
5II20u+15v5w=10II3u4v+5w=55IIIIII10u+10v+5w=30\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{5\cdot I\to I'}&20u&+&15v&-& 5w&=&10\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{5\cdot III\to III'}&-10u&+&10v&+&5w&=&30\end{array}
Dann addierst du I\mathrm{I}' und II\mathrm{II} und subtrahierst I\mathrm{I}' von III\mathrm{III}'.
I20u+15v5w=10II+III17u+11v=5IIIIIII30u5v=20\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I'}&20 u&+&15 v&-&5 w&=&10\\\mathrm{II+I'\to II'}&17u&+&11 v&&&=&5\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-30u&-&5 v&& &=&20\end{array}
Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus II\mathrm{II'} und III\mathrm{III''} besteht.
Dazu wählst du die Variable vv und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:
kgV(5;11)=55\displaystyle \mathrm{kgV}(5;11)=55_{ }
Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:
5IIII85u+55v=2511IIIIII(4)330u55v=220\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{5\cdot II'\to II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{11\cdot III''\to III^{(4)}}&-330u&-&55v&=&220\end{array}
Addiere II\mathrm{II''} und III(4)\mathrm{III^{(4)}}, um vv zu eliminieren.
II85u+55v=25III(4)+IIIII(5)245u=245\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(4)}+II''\to III^{(5)}}&-245u&&&=&245\end{array}
Nun löst du III(5)\mathrm{III^{(5)}} nach uu auf und setzt seinen Wert in II\mathrm{II}'' ein.
II85u+55v=25III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
u=1 in IIII85(1)+55v=25III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}u=-1\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&85\cdot (-1)&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
IIv=2III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II'''}&&&v&=&2\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
Nun setzt du die beiden Werte in I\mathrm{I'} ein und löst nach ww auf.
u=1 und v=2 in II20(1)+1525w=10105w=10105w=0:(5)w=0\begin{array}{rrcll}u=-1\text{ und }v=2\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&20\cdot(-1)+15\cdot 2-5w&=&10\\&10-5w&=&10&|-10\\&-5w&=&0&|:(-5)\\&w&=&0\end{array}
Insgesamt erhälst du die Lösungsmenge
L={(1;2;0)}\displaystyle L=\{(-1;2;0)\}
I2x+10y5z=1II10x30y+3z=1III4x+15y2z=1\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.
I2x+10y5z=1II10x30y+3z=1III4x+15y2z=1\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von yy (alternativ: von xx oder zz).
kgV(10;15;30)=30\displaystyle \mathrm{kgV}(10;15;30)=30
Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von yy 30 sind.
3II6x+30y15z=3II10x30y+3z=12IIIIII8x+30y4z=2\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}
Addiere I\mathrm{I'} und II\mathrm{II} und subtrahiere I\mathrm{I'} von III\mathrm{III'}, um die Terme mit yy zu eliminieren.
I6x+30y15z=3II+III16x12z=4IIIIIII14x+11z=5\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}
Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus II\mathrm{II'} und III\mathrm{III''} besteht.
Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von zz und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem zz das kgV steht.
kgV(12;11)=132\displaystyle \mathrm{kgV}(12;11)=132
11IIII176x132z=4412IIIIII168x+132z=60\begin{array}{rccccr}\mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60\end{array}
Dann addierst du III\mathrm{III'''} und II\mathrm{II''}, um den Term mit zz zu eliminieren.
II176x132z=44III+IIIII(4)8x=16\begin{array}{rccccr}\mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16\end{array}
Nun löst du III(4)\mathrm{III^{(4)}} nach xx auf und setzt den Wert in II\mathrm{II''} ein.
III(4)x=2\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2
x=2 in IIII1762132z=44352132z=44352132z=396:(132)z=3\begin{array}{rrcrl}x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\&352-132z&=&-44&|-352\\&-132z&=&-396&|:(-132)\\&z&=&3\end{array}
Die Werte x=2x=2 und z=3z=3 kann man dann in I\mathrm{I'} einsetzen, um yy zu bestimmen:
II62+30y153=333+30y=3+3330y=30:30y=1\begin{array}{rrcrl}\mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\&-33+30y&=&-3&|+33\\&30y&=&30&|:30\\&y&=&1\end{array}
Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben:
L={(2;1;3)}\displaystyle L=\{(2;1;3)\}
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