1.0 Der Graph $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades mit $D_f=\mathbb{R}$ ist symmetrisch zur y-Achse und hat einen Wendepunkt $W_1(1 | 2, 5)$. Die Tangente $G_t$ im Punkt $W_1$ besitzt die Gleichung $t:y=4x-1{,}5$ mit $x\in\mathbb{R}$ .

1.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm $f(x)$.

[Mögliches Ergebnis: $f(x)=-\frac12(x^4-6x^2)\rbrack$

1.2 Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f$ und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_f$.

1.3 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_f$.

1.4 Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_f$ genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die x-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_f$, welche die gleichen y-Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

1.5 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_f$ im Bereich $-2{,}5\leqslant x\leqslant2{,}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der y-Achse der Bereich $-5\leqslant x\leqslant5$ benötigt.

Maßstab: $1$ LE $= 1 cm$.

1.6 Zeigen Sie, dass an der Stelle $x=-2$ die Gleichung $f(x)-f'(x)=0$ gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen $G_f$ bedeutet.

1.7 Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ an und zeichnen Sie den Graphen $G_f$ im Bereich $-2\leqslant x\leqslant2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.

1.8 Die Graphen $G_f$ und $G_{f'}$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.