Teil S I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
1.0 Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Vor einem Tennisturnier werden die verwendeten Tennisbälle hinsichtlich der Qualität geprüft. Aus Erfahrung weiß man, dass 90% der Bälle den richtigen Durchmesser aufweisen $(D)$ , 10% Fehler in der Form $(F)$ sowie 20% Fehler in der Elastizität $(E)$ zu beklagen sind. Alle Fehler treten unabhängig voneinander auf. Im Zufallsexperiment wird ein beliebig ausgewählter Ball auf die drei möglichen Fehler untersucht.
1.1 Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
1.2.0 Gegeben seien folgende Ereignisse:

$E_1$ : „Der Ball weist genau $2$ Fehler auf".

$E_2=\{DFE;DF\overline E;\;\overline DFE;\overline DF\overline E\}$
1.2.1 Geben Sie $E_1$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_2$ möglichst einfach in Worte. Prüfen Sie ferner $E_1$ und $E_2$ auf stochastische Unabhängigkeit.
1.2.2 Geben Sie ein Ereignis $E_3$ an, für das gilt:

$10\cdot P(E_3)=P(E_2)$
2
2.0 Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Fehler eines Balls an. Es treten nur die drei in 1. genannten Fehler mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf.
2.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
2.2 Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
3
In der Teilaufgabe 3 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}65$ .
Einem Vorratsbehälter werden der Reihe nach 15 Bälle mit Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$E_4$ : „Genau 5 Bälle sind fehlerfrei.“
$E_5$ : „Genau 7 Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“
$E_6$ : „Mindestens 10, aber weniger als 14 Bälle sind fehlerfrei.“
$E_7$ : „Nur 2 entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“
4
4.0 In der Teilaufgabe 4 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}65$ .

Nach Anschaffung einer neuen Maschine behauptet der Hersteller, dass der Anteil fehlerfreier Bälle auf über 65% gestiegen ist (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird ein Signifikanztest mit $100$ zufällig ausgewählten Bällen durchgeführt.
4.1 Sind mindestens $70$ Bälle fehlerfrei, so geht man von einer verbesserten Maschine aus. Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
4.2 Ermitteln Sie den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau.
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5.0 Die Tennisfreunde Bernie Ball und Nobby Netz vereinbaren eine kleine Trainingseinheit von 4 Spielen. Bei jedem Spiel hat Bernie die konstante Gewinnwahrscheinlichkeit $p>0$ . Das Ereignis „Bernie gewinnt genau einmal“ ist doppelt so wahrscheinlich wie das Ereignis "Bernie gewinnt nie“.
5.1 Berechnen Sie hieraus p.

[Ergebnis: $p=\frac13$ ]
5.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$E_8$ : „Bernie gewinnt genau zweimal.“

$E_9$ : „Bernie gewinnt höchstens einmal.“

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