Aufgaben

Berechne die Steigung der Gerade durch die gegebenen Punkte.

%%A(5 | 7)%%, %%B(-3 | 8)%%

Steigung berechnen

Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte.

A(5 | 7), b(-3 | 8)

Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.

%%m=\frac{8-7}{-3-5}%%

Nenner und Zähler getrennt berechnen.

%%m=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}%%

Ergebnis

Die Steigung der Geraden beträgt %%m = -\frac{1}{8}%%.

Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden  g: %%y=-\frac12x+2%%   und  h: %%y=-\frac12x-3%% .

Abstand zweier paralleler Geraden

Der kürzeste Weg zwischen zwei parallelen Geraden ist eine Normale der Geraden .

Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Normale mit den Geraden .

Skizze

Fertige eine Skizze an.

Graph Geraden Parallelen Abstand zwischen den Parallelen

 

Geradengleichung

Stelle die Geradengleichung der Normalen d auf.

Berechne dazu zunächst die Steigung.

%%m_d\cdot m_g=-1%%

%%\left|{:m_g}\right.%%

        %%m_d=\frac{-1}{m_g}%%

Setze die Steigung der Funktion %%m_g%% %%\left(-\frac12\right)%% ein.

        %%m_d=\frac{-1}{-\frac12}%%

Vereinfache die rechte Seite.

        %%m_d=2%%

 

Stelle nun die Geradengleichung auf.

Es wird ein Punkt T, der auf der Geraden liegt benötigt. Verwendet wird der y-Abschnitt von %%h\left(x\right)%% : %%\left(0\vert-3\right)%% .

Setze %%T\left(0\vert -3\right)%% (siehe Skizze) und %%m_d%% in die allgemeine Geradengleichung ein um t zu bestimmen.

%%-3=2\cdot\left(0\right)+t%%

     %%t=-3%%

Setze t und %%m_d%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%y=2x-3%%

 

Bestimme den Schnittpunkt von d und g

Berechne zunächst die x-Koordinate des Schnittpunkts S.

Normale d: %%y=2x-3%%

Gerade g: %%y=-\frac12x+2%%

Setze die Funktionen gleich.

%%2x-3=-\frac12x+2%%

  %%\left|{+3}\right.%%    %%\left|{-\frac12x}\right.%%

%%\frac52x=5%%

%%\left|{\cdot\frac25}\right.%%

     %%x=2%%

 

Berechne nun die y-Koordinate des Schnittpunkts S.

%%y=2x-3%%

Setze das gefundene x = 2 ein.

%%y=2\cdot2-3%%

Multipliziere.

%%y=1%%

Gebe die Koordinaten des Schnittpunktes S an.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%S\left(2\vert1\right)%%

 

 

 

Bestimme den Abstand der Punkte S und T.

Bestimme den Abstand in x-Richtung.

  %%T\left(0\vert-3\right)%% , %%S\left(2\vert1\right)%%

Berechne die Differenz der x-Werte von S und T.

%%\operatorname{\Delta}x=2-0=2%%

Bestimme den Abstand in y-Richtung.

%%T\left(0\vert-3\right)%% , %%S\left(2\vert1\right)%%

Berechne die Differenz der y-Werte.

%%\operatorname{\Delta}y=1-(-3)=4%%

 

Bestimme den Abstand in direkter Linie zwischen den Punkten.

%%\operatorname{\Delta}x=2%%

%%\operatorname{\Delta}y=4%%

Wende den Satz des Pythagoras an.

%%d^2=2^2+4^2%%

Potenziere die Werte.

%%d^2=4+16%%

Addiere die Werte.

%%d^2=20%%

Ziehe die Wurzel.

%%d=\sqrt{20}\approx4,47%%

 

Ergebnis

Der Abstand der beiden Geraden beträgt etwa 4,47.

Berechne den Abstand der Geraden zum Ursprung.

%%y=\frac34x-5%%

Geradensteigung und Geradengleichung

Der kürzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist %%g(x):y=m_1\cdot x+b%%, so berechnest du die Steigung der Senkrechten %%m_2%% mit der Formel.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert der Steigung ein.

%%\displaystyle m_2=-\frac{1}{\frac34}=-\frac43%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%-\displaystyle\frac43%% und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt %%b%% ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte %%\displaystyle h(x):y=-\frac43 x%%.


Berechne nun den Schnittpunkt %%A \,(x_s|y_s)%% der beiden Geraden indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.

%%g(x_s)\stackrel{!}{=}h(x_s)%%

Setz die Geradengleichungen ein.

%%\displaystyle -\frac43x_s=\frac34x_s-5%%

%%\displaystyle \left|{-\frac34x_s}\right.%%

Bringe die Variable %%x_s%% auf die linke Seite.

%%\displaystyle-\frac{25}{12}x_s=-5%%

%%\left|\cdot(-1)\right.%%

Multipliziere mit %%-1%%.

%%\displaystyle\frac{25}{12}x_s=5%%

%%\displaystyle\left|\div\left(\frac{25}{12}\right)\right.%%

Dividiere durch %%\displaystyle\frac{25}{12}%%.

%%x_s=\displaystyle\frac{12}5=2,4%%

Setz nun %%x_s%% in eine der Geradengleichungen ein um %%y_s%% zu bestimmen.

%%\displaystyle h(x_s):y_s=-\frac43x_s%%

Setz %%x_s=2,4%% ein.

%%\displaystyle y_s=-\frac43\cdot2,4=-3,2%%

Der Schnittpunkt der Geraden %%h%% und %%g%% liegt also bei %%A\,(2,4|-3,2)%%.


Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt %%A%%, dies ist genau der kürzeste Abstand der Geraden %%g%% zum Ursprung.

%%\displaystyle d=\sqrt{(x_s-x_0)^2+(y_s-y_0)^2}%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle d=\sqrt{(2,4-0)^2+(-3,2-0)^2}%%

Vereinfache.

%%\displaystyle =\sqrt{5,76+10,24}=\sqrt{16}=4%%

Der kürzeste Abstand der Geraden %%g%% zum Ursprung ist also 4.

%%y=-\frac12x+2%%

Der kürzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist %%g(x):y=m_1⋅x+b%%, so berechnest du die Steigung der Senkrechten %%m_2%% mit der Formel

%%\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert der Steigung ein.

%%\displaystyle m_2=-\frac{1}{-\frac12}=2%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%2%% und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt %%b%% ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte %%h(x):y=2x%%.


Berechne nun den Schnittpunkt %%A\,(x_s|y_s)%% der beiden Geraden, indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.

%%g(x_s)\stackrel!=h(x_s)%%

Setz die Geradengleichungen ein.

%%\displaystyle -\frac12x_s+2=2x_s%%

%%|-2x_s%%

Bringe die Variable %%x_s%% auf die linke Seite.

%%\displaystyle -2,5x_s+2=0%%

%%|-2%%

Bringe die 2 auf die rechte Seite.

%%-2,5x_s=-2%%

%%|\div(-2,5)%%

Dividiere durch -2,5.

%%x_s=0,8%%

Setz nun %%x_s%% in eine der Geradengleichungen ein um %%y_s%% zu bestimmen.

%%h(x_s):y_s=2x_s%%

Setz %%x_s=0,8%% ein.

%%y_s=2\cdot0,8=1,6%%

Der Schnittpunkt der Geraden %%h%% und %%g%% liegt also bei %%A\,(0,8|1,6)%%.


Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt %%A%%, dies ist genau der kürzeste Abstand der Geraden %%g%% zum Ursprung.

%%\displaystyle d=\sqrt{(x_s-x_0)^2+(y_s-y_0)^2}%%

Setz die Werte ein.

%%d=\sqrt{(0,8-0)^2+(1,6-0)^2}%%

Vereinfache.

%%=\sqrt{0,64+2,56}=\sqrt{3,2}\approx 1,79%%

Der kürzeste Abstand der Geraden %%g%% zum Ursprung ist also etwa %%1,79%%.

Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte  %%\mathrm P\left(1| 3\right)%%  und  %%\mathrm Q\left(3|-1\right)%%  auf.

Lineare Funktionen

Gegeben sind die beiden Punkte %%P(1\mid 3)%% und %%Q(3\mid -1)%%.

Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht.

Zur Ermittlung der Geradengleichung überlegst du am Besten erst die allgemeine Form der Geradengleichung: $$y=m\cdot x+t.$$

Bestimmung der Steigung (%%m%%)

Erinnere dich zunächst an die Gleichung für die Steigung einer Geraden:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Setze die Werte %%x_1, x_2, y_1, y_2%% aus den Punkten %%P%% und %%Q%% in die Formel ein.

%%m=\frac{-1-3}{3-1}%%

Rechne den Zähler und den Nenner aus.

%%m=\frac{-4}{2}%%

%%m=-2%%

Jetzt weißt du, dass die Gleichung der Geraden durch die Punkte %%P%% und %%Q%% geht folgendermaßen aussieht:

$$y=-2\cdot x+t.$$

Als nächstes ermittelst du den %%y%%-Achsenabschnitt (%%t%%).

Ermittlung des %%y%%-Achsenabschnitts (%%t%%)

Um %%t%% zu ermitteln setzt du den %%x%%- und %%y%%-Wert einer der beiden Punkte in die Geradengleichung ein. Hier wird das beispielhaft mit dem Punkt %%P%% ausgerechnet.

%%3=-2\cdot 1+t%%

Rechne das Produkt auf der rechten Seite aus.

%%3=-2+t%%

%%\mid +2%%

%%t=5%%

Der %%y%%-Achsenabschnitt der Funktion ist %%5%%. Damit hast du auch schon die ganze Funktionsgleichung.

%%y=-2\cdot x +5%%

Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte  %%\mathrm P\left(0/3\right)%%  und  %%\mathrm Q\left(2/-3\right)%% ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?

Lineare Funktionen

Steigung

Bestimme die Steigung %%m%%.

%%\mathrm m=\frac{\bigtriangleup\mathrm y}{\bigtriangleup\mathrm x}=\frac{{\mathrm y}_2-{\mathrm y}_1}{{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_1}%%

Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.

%%m=\frac{3-(-3)}{0-2}=\frac 6 {-2}=-3%%

Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung.

%%\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=-3\mathrm x+\mathrm t%%

Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.

%%3=-3\cdot0+\mathrm t%%

%%\mathrm t=3%%

Setze t in die Funktionsgleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+3%%

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Koordinatenachsen und der Gerade %%g:y=\frac23x+5%% eingeschlossen wird.

Schreibe dein Ergebnis ohne Flächeneinheiten in das Antwortfeld.

Dreiecksfläche

 

 

Da die  Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, können sie als Grundlinie und Höhe der Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche benutzt werden.

Höhe ermittlen

g: %%y=\frac23x+5%%

Der y-Abschnitt ist als t der Geradengleichung gegeben.

Die Gerade schneidet die y-Achse also in (0|5).

Mit der x-Achse als Grundline ergibt sich der Abstand des Punktes zum Ursprung als Höhe.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Höhe h =%%\sqrt{5^2 - 0^2} = 5%%

Grundlinie berechnen

Für die Angabe der Grundlinie muss der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnet werden. Setze y dafür 0.

%%0=\frac23x+5%%

Nach x auflösen. %%\left|{-5}\right.%%

%%\frac23x=-5%%

%%\left|{:\frac23}\right.%%

%%x=-\frac{15}2=-7,5%%

Die Gerade schneidet die x-Achse also in (-7,5|0)

Der Abstand dieses Punktes zum Ursprung ist also die Länge der Grundlinie.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Länge der Grundlinie g ist %%\sqrt{(-7,5)^2 +0^2}=7,5%%.

Fläche berechnen

Setze Grundlinie und Höhe in die Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;A=\frac{5\cdot7,5}2=18,75\mathrm{FE}%%

FE steht für "Flächeneinheiten".

Skizze zur Veranschaulichung

Dreiecksfläche Dreieck Gerade Graph

Gegeben ist die Gleichung  %%y=\frac32x+1%% .

  1. Zeichne die Gerade zu der Gleichung in ein Koordinatensystem.

  2. Stelle die Gleichung der dazu senkrechten Geraden durch den Punkt P(3|2,25) auf.

  3. Zeichne die Gerade in das selbe Koordinatensystem wie die Gerade aus Teilaufgabe 1.

  4. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Teilaufgabe 1

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade z. B. den gegebenen y-Abschnitt %%(0\vert1)%% und gehe entsprechen der Steigung %%m=\frac32%% , zwei nach rechts und drei nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

 

Graph Funktion Gerade Schnittpunkt zeichnen

 

Teilaufgabe 2

Gleichung aufstellen

Teile -1 durch die gegebene Steigung um die Steigung der dazu senkrechten Geraden zu erhalten. Siehe Artikel Geradensteigung . Siehe Artikel Brüche multiplizieren und dividieren.

%%m=-1:\frac32=\frac{-1}1\cdot\frac23=-\frac23%%

Setze die Koordinaten von P und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%2,25=-\frac23\cdot3+t%%

Löse nach t auf. %%\left|{+2}\right.%% Erläuterung: %%-\frac23\cdot3=-\frac63=-\frac21=-2%%

   %%t=2,25+2=4,25%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac23x+4,25%%

 

 

 

Teilaufgabe 3

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade z. B. den gegebenen Punkt P(3|2,25) und gehe entsprechen der Steigung %%m=-\frac23%% , 3 nach links und 2 nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden. (siehe Zeichnung bei Teilaufgabe 1)

 

Teilaufgabe 4

Schnittpunkt berechnen

 

x-Koordinate berechnen

Setze die Geraden gleich um den Schnittpunkt zu berechnen.

    %%\frac32x+1=-\frac23x+\frac{17}4%%

Bringe alle x auf eine Seite: %%\left|{+\frac23}x\right.%% %%\left|{-1}\right.%%

%%\frac32x+\frac23x=\frac{17}4-1%%

        %%\frac{13}6x=\frac{13}4%%

%%\left|{:\frac{13}6}\right.%% Dividiere die Brüche.

               %%x=\frac64=\frac32%%

%%\frac32=1,5%%

y-Koordinate berechnen

Setze x in eine der Geradengleichungen ein z. B. die der gegebenen Gerade.

%%y=\frac32\cdot\frac32+1%%

 

%%y=\frac94+1=\frac{13}4=3\frac14=3,25%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% S(1,5|3,25)

 

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur gegebenen Gerade steht.

%%y=3x+2%%

%%P(3|5)%%

Geradengleichung und Geradensteigung

Bestimme zunächst die Steigung der zu %%g(x):y=3x+2%% senkrechten Geraden %%h%% mit der Formel.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert ein.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{3}%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%\displaystyle-\frac13%%.


Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten %%h%% mit dem gegebenen Punkt %%P(3|5)%%, indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

%%h(x_p):y_p=m_2 x_p+b%%

Setze die Werte ein.

%%5=-\frac13\cdot3+b\;\;\;\left|+1\right.%%

Vereinfache und addiere %%1%%.

%%6=b\Leftrightarrow b=6%%

Also lautet die gesuchte Geradengleichung %%\displaystyle h(x):y=-\frac13x+6%%.

%%y=0,5x+1%%

%%P(1|2)%%

Bestimme zunächst die Steigung der zu %%g(x):y=0,5x+1%% senkrechten Geraden %%h%% mit der Formel.

%%m_2=\displaystyle -\frac1{m_1}%%

Setz den Wert ein.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{0,5}=-\frac1{\frac12}=-2%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%-2%%.


Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten %%h%% mit dem gegebenen Punkt %%P(1|2)%%, indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

%%h(x_p):y_p=m_2 x_p+b%%

Setz die Werte ein.

%%2=-2\cdot 1+b%%

%%|+2%%

Vereinfache und addiere 2.

%%4=b\Rightarrow b=4%%

Also lautet die gesuchte Geradengleichung %%h(x):y=−2x+4%%.

%%y=-5x+6%%

%%P(-10|1)%%

Bestimme zunächst die Steigung der zu %%g(x):y=-5x+6%% senkrechten Geraden %%h%% mit der Formel.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert ein.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{-5}=0,2%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%0,2%%.


Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten %%h%% mit dem gegebenen Punkt %%P(-10|1)%%, indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

%%h(x_p):y_p=m_2 x_p+b%%

Setz die Werte ein.

%%1=0,2\cdot(-10)+b%%

%%|+2%%

Vereinfache und addiere 2.

%%3=b\Rightarrow b=3%%

Also lautet die gesuchte Geradengleichung %%h(x):y=0,2x+3%%.

%%y=4x+3%%

%%P(2|-5)%%

Bestimme zunächst die Steigung der zu %%g(x):y=4x+3%% senkrechten Geraden %%h%% mit der Formel.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert ein.

%%m_2=-\displaystyle\frac14=-0,25%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%-0,25%%.


Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten %%h%% mit dem gegebenen Punkt %%P(2|-5)%%, indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

%%h(x_p):y_p=m_2 x_p+b%%

Setz die Werte ein.

%%-5=-0,25\cdot2+b%%

%%+0,5%%

Vereinfache und addiere 0,5.

%%-4,5=b\Rightarrow b=-4,5%%

Also lautet die Geradengleichung %%h(x):y=-0,25x-4,5%%.

%%y=-\frac23x+2%%

%%P(4|6)%%

Bestimme zunächst die Steigung der zu %%g(x):y=-\frac23x+3%% senkrechten Geraden %%h%% mit der Formel.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert ein.

%%\displaystyle m_2=-\frac1{-\frac23}=\frac32%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%\displaystyle\frac32%%.


Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten %%h%% mit dem gegebenen Punkt %%P(4|6)%%, indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

%%h(x_p):y_p=m_2x_p+b%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle6=\frac32\cdot4+b%%

%%|-6%%

Vereinfache und subtrahiere 6.

%%0=b\Rightarrow b=0%%

Also lautet die Geradengleichung %%\displaystyle h(x):y=\frac32x%%.

%%y=\frac13x-2%%

%%P(2|5)%%

Bestimme zunächst die Steigung der zu %%\displaystyle g(x):y=\frac13x-2%% senkrechten Geraden %%h%% mit der Formel.

%%m_2=\displaystyle-\frac1{m_1}%%

Setz den Wert ein.

%%m_2=\displaystyle -\frac1{\frac13}=-3%%

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung %%-3%%.


Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten %%h%% mit dem gegebenen Punkt %%P(2|5)%%, indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

%%h(x_p):y_p=m_2x_p+b%%

Setz die Werte ein.

%%5=-3\cdot2+b%%

%%|+6%%

Vereinfache und addiere 6.

%%11=b\Rightarrow b=11%%

Also lautet die Geradengleichung %%h(x):y=−3x+11%%.

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …

den Punkt Q(2 | 5) geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.

Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.

Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1

%%\Rightarrow m = -1%%

Zur Geradengleichung zusammensetzen.

%%5=-2+t%%

nach t auflösen.   %%\left|{+2}\right.%%

%%t=7%%

m, x und t in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.

%%y=-1\cdot x+7=-x+7%%

 

den Punkt S(2 |-3) geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.

[Geradengleichung aufstellen]()

Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.

Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.

%%\Rightarrow m=1%%

Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%-3=2+t%%

Löse nach t auf. %%\quad \left|{-2}\right.%%

%%t=-5%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\Rightarrow\;\;y=x-5%%

den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden  %%\overline{\mathrm{AB}}%% mit A(-72|-60) und B(-24|-20).

Durch den Ursprung, d.h. y-Abschnitt %%t=0%%

 

Parallel zur Geraden %%\overline{\mathrm{AB}}%% , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie %%\overline{\mathrm{AB}}%% .

A(-72|-60); B(-24|-20)

Berechne die Steigung m mithilfe des Differenzenquotient .

m %%=\frac{-20-(-60)}{-24-(-72)}=\frac{40}{48}=\frac56%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=\frac56x%%

 

Bestimme die Gleichung der Geraden g,  die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.

h: %%y=3x-2%%

P(1|0) %%\;%%

%%y=3x-2%% ; P(1|0)

Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.

Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung .

%%m=3%%

 

Geradengleichung aufstellen

Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%0=3\cdot1+t%%

%%\left|{-3}\right.%%

Gleichung nach t auflösen.

%%t=-3%%

Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Geradengleichung:  %%y=3x-3%%  

h: %%y=x-4%%

P(1|2) %%\;%%

%%y=x-4%% ; P(1|2)

Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.

Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung .

%%m=1%%

 

Gleichung aufstellen

Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%2=1+t%%

Gleichung nach t auflösen. %%\left|{-1}\right.%%

%%2=1+t%%

%%\left|{-1}\right.%%

Gleichung nach t auflösen.

%%t=1%%

Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Geradengleichung: %%y=x+1%%

h: %%y=4x%%

P(5|18) %%\;%%

%%y=4x%% ; P(5|18)

Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.

Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung .

%%m=4%%

 

Gleichung aufstellen

Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%18=4\cdot5+t%%

Gleichung nach t auflösen. %%\left|{-20}\right.%%

%%18=4\cdot5+t%%

%%\left|{-20}\right.%%

Gleichung nach t auflösen.

%%t=-2%%

Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Geradengleichung: %%y=4x-2%%

h: %%y=-2x+1%%

P(-1|4) %%\;%%

%%y=-2x+1%% ; P(-1|4)

Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.

Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung .

%%m=-2%%

 

Gleichung aufstellen

Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%4=-2\cdot\left(-1\right)+t%%

Gleichung nach t auflösen. %%\left|{-2}\right.%%

%%4=-2\cdot\left(-1\right)+t%%

%%\left|{-2}\right.%%

Gleichung nach t auflösen. %%\left|{-2}\right.%%

%%t=2%%

Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Geradengleichung: %%y=-2x+2%%

Berechne den Schnittpunkt der Geradenpaare.

%%y=3x+4%%

und %%\;%%

%%y=-2x+14%%

%%y=3x+4%% ; %%y=-2x+14%%  

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate des zu berechnen.

%%3x+4=-2x+14%%

  %%\left|{+2x\;\;\;\left|{-4}\right.}\right.%%

     %%5x=10%%

  %%\left|{:5}\right.%%

       %%x=2%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate des zu berechnen.

%%y=3\cdot2+4%%

Punkt vor Strich!

%%y=10%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(2|10)

 

%%y=6x-3%%

und %%\;%%

%%y=7x-11%%

%%y=6x-3%% ; %%y=7x-11%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate zu berechnen.

%%6x-3=7x-11%%

%%\left|{+3\;\;\;\left|{-7x}\right.}\right.%%

     %%-x=-8%%

%%\left|{\;:(-1)}\right.%%

         %%x=8%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.

%%y=6\cdot8-3%%

Punkt vor Strich!

%%y=45%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(8|45)

 

%%y=8x+3%%

und %%\;%%

%%y=-4x+6%%

%%y=8x+3%% ; %%y=-4x+6%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate des zu berechnen.

%%8x+3=-4x+6%%

%%\left|{-3\;\;\;\left|{+4x}\right.}\right.%%

    %%12x=3%%

%%\left|{\;:12}\right.%%

         %%x=\frac3{12}=\frac14%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate des zu berechnen.

%%y=8\cdot\frac14+3%%

Punkt vor Strich!

%%y=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S( %%\frac14%% | %%5%%)

 

%%y=\frac16x-4%%

und %%\;%%

%%y=\frac13x-10%%

%%y=\frac16x-4%% ; %%y=\frac13x-10%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate zu berechnen.

%%\frac16x-4=\frac13x-10%%

%%\left|{-\frac13x\;\;\;\;\left|{+4}\right.}\right.%%

  %%-\frac16x=-6%%

%%\left|{\;:\left(-\frac16\right)}\right.%%

          %%x=36%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.

%%y=\frac13\cdot36-10%%

Punkt vor Strich!

%%y=2%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(36 | 2)

 

%%y=\frac12x+\frac32%%

und %%\;%%

%%y=\frac12%%

%%y=\frac12x+\frac32%% ; %%y=\frac12%%

Die Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate zu berechnen.

%%\frac12x+\frac32=\frac12%%

%%\left|{-\frac32}\right.%%

        %%\frac12x=-1%%

%%\left|{\;\cdot2}\right.%%

             %%x=-2%%

Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.

%%y=\frac12%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Schnittpunkt: S(-2 | 0,5)

 

Zeige rechnerisch, dass sich die drei Geraden g1: %%y=0,5x%%   ;  g2: %%y=x-1,5%%   ;  g3: %%y=-2x+7,5%%    in genau einem Punkt schneiden.

g2: %%y=x-1,5%%   ;  g3: %%y=-2x+7,5%%

Es ist hier zu empfehlen, zunächst den Schnittpunkt von zwei Geraden zu berechnen und dann zu prüfen, ob der Schnittpunkt auch ein Punkt auf der anderen Gerade ist.

Zwei der drei Geraden werden gleichgesetzt um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu berechnen.

%%x-1,5=-2x+7,5%%

  %%\left|{+2x\;\;\;\;\left|{+1,5}\right.}\right.%%

        %%3x=9%%

  %%\left|{:3}\right.%%

          %%x=3%%

Den x-Wert in eine der beiden gleichgesetzten Geraden einsetzen (z. B. g2) um die y-Koordinate des Schnittpunktes von g2 und g3 zu berechnen.

%%y=3-1,5=1,5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% S(3|1,5)

 

 

 

3. Gerade überprüfen

 

g1: %%y=0,5x%%

Der Schnittpunkt wird nun in g1 eingesetzt. Das heißt, das x und y der Gerade g1 durch 3 und 1,5 ersetzt werden.

%%1,5=0,5\cdot3%%

Prüfe ob die so entstandene Aussage wahr ist, um festzustellen, ob g1 durch S läuft.

%%1,5=1,5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Dies ist eine wahre Aussage, also ist S der gemeinsame und einzige Schnittpunkt aller drei Geraden.

Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

%%y=-2x+3,5%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0.

  %%0=-2x+3,5%%

Löse nach x auf. %%\left|{+2x}\right.%%

%%2x=3,5%%

  %%\left|{:2}\right.%%

  %%x=1,75%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(1,75|0). 

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert %%x=0%% ein.

%%y=-2\cdot0+3,5%%

Multipliziere und addiere.

%%y=3,5%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die y-Achse bei S(0|3,5).

%%y=5x-7%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0.

  %%0=5x-7%%

 Löse nach x auf. %%\left|{+7}\right.%%

%%5x=7%%

  %%\left|{:5}\right.%%

  %%x=\frac75=1,4%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(1,4|0). 

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert %%x=0%% ein.

%%y=5\cdot0-7%%

Multipliziere und addiere

%%y=-7%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die y-Achse bei S(0|-7).

%%y=\frac32x+2%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0.

    %%0=\frac32x+2%%

 Löse nach x auf. %%\left|{-2}\right.%%

%%\frac32x=-2%%

  %%\left|{\cdot\frac23}\right.%%

     %%x=-\frac43%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S( %%-\frac43%% |0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert %%x=0%% ein.

%%y=\frac32\cdot0+2%%

Multipliziere und addiere.

%%y=2%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die y-Achse bei S(0|2).

%%y=-\frac25x+\frac52%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0.

    %%0=-\frac25x+\frac52%%

 Löse nach x auf. %%\left|{+\frac25x}\right.%%

%%\frac25x=\frac52%%

  %%\left|{\cdot\frac52}\right.%%

     %%x=\frac{25}4=6,25%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(6,25|0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert %%x=0%% ein.

%%y=-\frac25\cdot0+\frac52%%

Multipliziere und addiere.

%%y=\frac52=2,5%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die y-Achse bei S(0|2,5).

%%y=2(x-\frac23)%%

Klammer auflösen

%%y=2(x-\frac23)%%

%%y=2x-\frac43%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0.

  %%0=2x-\frac43%%

 Löse nach x auf. %%\left|{+\frac43}\right.%%

%%2x=\frac43%%

  %%\left|{:2}\right.%%

   %%x=\frac23%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S( %%\frac23%% |0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert %%x=0%% ein.

%%y=2\cdot0-\frac43%%

 

%%y=-\frac43%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die y-Achse bei S(0| %%-\frac43%% ).

%%y=-\frac43-\frac12x%%

Gleichung umstellen

%%y=-\frac43-\frac12x%%

Um eine allgemeine Geradengleichung zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.

%%y=-\frac12x-\frac43%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0.

    %%0=-\frac43-\frac12x%%

  Löse nach x auf. %%\left|{+\frac12x}\right.%%

%%\frac12x=-\frac43%%

  %%\left|{\cdot2}\right.%%

     %%x=-\frac83=-2\frac23%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S( %%-\frac83%% |0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert %%x=0%% ein.

%%y=-\frac12\cdot0-\frac43%%

 

%%y=-\frac43%%

 

  %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die y-Achse bei S(0| %%-\frac43%% ).

Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

P(-25|30); Q(55|-30)

%%m=\frac{30-(-30)}{-25-55}=\frac{60}{-80}=-\frac34%%

Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-25|30) in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%30=\frac{-3}4(-25)+t%%

Vereinfache: %%\frac{-3}4(-25)=\frac{-3(-25)}4=\frac{3\cdot25}4=\frac{75}4%%

%%30=\frac{75}4+t%%

Löse nach t auf.

%%30=\frac{75}4+t%% %%\left|{-\frac{75}4}\right.%%

   %%t=30-\frac{75}4=\frac{45}4%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;y=-\frac34x+\frac{45}4%%

 

 

An der Schnittstelle mit der x-Achse ist der y-Wert 0.

%%0=\frac{-3}4x+\frac{45}4%%

Nach x auflösen. Stelle dafür das x alleine durch: %%\left|{\cdot\frac{-4}3}\right.%%

Beachte, dass bei beide Summanden multipliziert werden müssen.

%%0=\frac{-3\left(-4\right)}{4\cdot3}x+\frac{45\left(-4\right)}{4\cdot3}%%

%%\frac{-3\left(-4\right)}{4\cdot3}=\frac{3\cdot4}{12}=\frac{12}{12}=1%%

%%0=x+\frac{-180}{12}%%

 

%%0=x-15%%

%%\left|{+15}\right.%%

%%x=15%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(15|0).

 

Forme die Gleichung so um, dass sie die Form  %%y=\mathrm{ax}+b%%   hat.

%%\frac25y=2x-1%%

  %%\frac25y=2x-1%%

%%\left|{\cdot\frac52}\right.%%   Beachte: Auf der rechten Seite der Gleichung wird jedes Element der  Subtraktion mit %%\frac52%% multipliziert.

Die einzelnen Multiplikationen:    %%\frac25\cdot y\cdot\frac52=\frac{10}{10}\cdot y=1\cdot y;\\ \;\;\;2x\cdot\frac52=\frac{10}2x=5x;\\ \;\;\;-1\cdot\frac52=-\frac52%%

     %%y=5x-\frac52%%

 

Gegeben ist die Gleichung  %%y=\frac32x+1%% .

  1. Stelle die Gleichung der dazu senkrechten Geraden durch den Punkt P(3|2,25) auf.

  2. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Teilaufgabe 1.)

Gleichung aufstellen

Um die Steigung der zur Geraden %%y=\frac32 x+1%% senkrechten Geraden herauszufinden, teile die Zahl -1 durch die gegebene Steigung.

%%m=-1:\frac32=-1\cdot\frac23=-\frac23%%

Setze die Koordinaten von P und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%2,25=-\frac23\cdot3+t%%

Löse nach t auf.

   %%t=2,25+2=4,25%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac23x+4,25%%

 

 

Teilaufgabe 2.)

Schnittpunkt berechnen

Berechne zunächst die x-Koordinate des Schnittpunkts. Setze dazu beide Geradengleichungen gleich.

    %%\frac32x+1=-\frac23x+\frac{17}4%%

Bringe alle x auf eine Seite: %%\left|{+\frac23}\right.%% %%\left|{-1}\right.%%

%%\frac32x+\frac23x=\frac{17}4-1%%

Klammere x ausklammern aus und addiere die Brüche .

        %%\frac{13}6x=\frac{13}4%%

%%\left|{:\frac{13}6}\right.%%

%%x=\frac64=\frac32 = 1,5%%

Berechne nun die y-Koordinate, indem du %%x = \frac 32%% in eine der Geradengleichungen einsetzt.

%%y=\frac32\cdot\frac32+1%%

 

%%y=\frac94+1=\frac{13}4%%

%%3\frac14=3,25%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% S(1,5|3,25)

 

Ergebnis

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist S = (1,5|3,25).

Die Gerade %%y=-7x%% wird an der x-Achse gespiegelt und anschließend um %%3%% Einheiten nach unten verschoben.

Wie lautet die neue Gleichung?

Spiegelung und Verschiebung einer Gerade

%%y=-7x%%

Bei der Spiegelung an der x-Achse nimmt jeder der negativen Werte der Gleichung %%y=-7x%% den selben positiven Wert an ( z.B. %%-7%% wird zu %%7%% ).

Somit lautet die Gleichung: %%y=7x%%

Verschiebe diese Gerade nun um %%3%% nach unten. Dies entspricht dem y-Achsenabschnitt t.

%%t=-3%%

Füge dies zur Gleichung hinzu.

%%y=7x-3%%

  %%\Rightarrow%%   Die neue Gleichung lautet %%y=7x-3%%

Gegeben sind die Geraden  %%g:\;y=2x-3%%   und   %%h:\;y=-0,5x+3%% .

  1. Überprüfe, ob die Punkte A(1|-1), B(0,5|1,5), C(-6|5), D(-102|55) und E(45|87) auf einer der Geraden liegen.

  2. Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf h liegen: P(5 | ?) , Q(-3,5 | ?) , R(? | 12) , S(? | -7,5).

  3. Zeige, dass T(2,4|1,8) auf beiden Geraden liegt. Was bedeutet dies?

Teilaufgabe 1

Überprüfung mit Skizze

Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. die y-Abschnitte (0|-3) und (0|3). Gehe von dort 1 nach rechts und entsprechen der Steigungen %%m_g=2%% nach oben und %%m_h=-0,5%% nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.

 

Skizze

 

Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes A, so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf g liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt D(-102/55) kann z. B. nur auf h liegen.

 

Rechnerische Überprüfung

A(1|-1) in g

Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze y=-1 und x=1.

%%-1=2\cdot1-3%%

Überprüfe ob die Gleichung eine wahre Aussage ist.

%%-1=-1%%

Das ist eine wahre Aussage.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% A liegt auf g.

 

B liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.

C in h einsetzen: %%\;5=-0,5\cdot(-6)+3\;\;\Rightarrow\;\;5=3+3\;%% Diese Aussage ist falsch, also liegt C nicht auf h.

D in h einsetzen: %%\;55=-0,5\cdot(-102)+3\;\;\Rightarrow\;\;55=51+3\;%% Diese Aussage ist falsch, also liegt D nicht auf h.

E in g einsetzen: %%\;87=2\cdot45-3\;%% Diese Aussage ist richtig, also liegt E auf g.

 

Teilaufgabe 2

Koordinaten ergänzen

%%h:\;y=-0,5x+3%% ; P(5|?)

Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.

%%y=-0,5\cdot5+3=-2,5+3=0,5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% P(5|0,5)

 

 

 

Q: %%y=-0,5\cdot(-3,5)+3=1,75+3=4,75%% %%\;\;\Rightarrow\;\;%% Q(-3,5|4,75)

R: %%12=-0,5x+3\;\;\Rightarrow\;\;0,5x=-9\;\;\Rightarrow\;\;x=-18%% %%\;\;\Rightarrow\;\;%% R(-18|12)

S: %%-7,5=-0,5x+3\;\;\Rightarrow\;\;0,5x=10,5\;\;\Rightarrow\;\;x=21%% %%\;\;\Rightarrow\;\;%% S(2 1|-7,5).

 

Teilaufgabe 3

Beweis für T

T(2,4|1,8)

Die Koordinaten von T in beide Geradengleichungen einsetzen. Wenn die Aussagen wahr sind, liegt T auf den Geraden.

in g: %%1,8=2\cdot2,4-3%%

 

        %%1,8=4,8-3%%

 

        %%1,8=1,8%%

 

 

 

in h: %%1,8=-0,5\cdot2,4+3%%

 

        %%1,8=-1,2+3%%

 

        %%1,8=1,8%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Beide Gleichungen ergeben richtige Aussagen, also liegt der Punkt T auf beiden Geraden.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% T Ist der Schnittpunkt der Geraden.

Zeigen Sie: Die Gerade g durch  %%{\mathrm P}_1\left(\sqrt{\mathrm k}/\mathrm k\right)%%  und  %%{\mathrm P}_2\left(1/1\right)%%  besitzt die Steigung  %%{\mathrm a}_1=\sqrt{\mathrm k}+1%%  und schneidet die y-Achse in  %%P_y\left(0/-\sqrt k\right)%%

%%y=m\cdot x+t%%

Setze %%P_1%% und %%P_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

1) %%k=m\cdot\sqrt k + t%%

2) %%1=m\cdot1 +t%%

%%1)-2):%%

Benutze das Additionsverfahren.

%%k-1=m\sqrt k-m +t-t%%

Fasse zusammen.

%%k-1=m(\sqrt k-1)%%

Löse nach m auf.

%%m=\frac{k-1}{\sqrt k -1}%%

Vereinfache mit 3. binomischer Formel ( %%k ={\sqrt k}^2)%%.

%%m=\frac{(\sqrt k +1)(\sqrt k -1)}{\sqrt k -1}=\sqrt k+1%%

Setze in 2) ein.

%%1=(\sqrt k +1)\cdot1+t%%

Nach t auflösen.

%%t=1-(\sqrt k +1)=-\sqrt k%%

Die Gerade schneidet die y-Achse also in %%(0\,|-\sqrt k)%%.

%%\Rightarrow%% Steigung ist tatsächlich %%a_1=\sqrt k +1%% und Die Gerade schneidet die y-Achse in %%P_y=(0\,|-\sqrt k).%%

Ermitteln Sie den Funktionsterm der linearen Funktion  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%% , wenn gilt:

%%\mathrm f\left(1\right)=7;\;\mathrm f\left(-1\right)=3%%

Funktionsterm bestimmen

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t\\%%

Setze %%\mathrm f\left(1\right)%% und %%\mathrm f\left(-1\right)%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;7=\mathrm m\cdot 1+\mathrm t\\2)\;3=\mathrm m\cdot -1+\mathrm t\end{array}\\%%

Löse das Gleichungssystem auf.

%%1)\;+\;2):\;10=2\mathrm t%%

%%\left|:2\right.%%

%%\Rightarrow\mathrm t=5%%

Setze t in 1) ein.

%%7=\mathrm m+5%%

%%\left|-5\right.%%

%%\mathrm m=2%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x+5%%

%%\mathrm f\left(\mathrm a\right)=0;\;\mathrm f\left(0\right)=\mathrm a%%

Funktionsterm bestimmen

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t\\%%

t ist der y-Abschnitt, also der Wert bei y=0.

%%\mathrm t=\mathrm f(0)=a%%

Setze das und f(a)=0 in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%0=\mathrm m\cdot a +a%%

Löse nach m auf.

%%m=\frac{-a}{a}=-1%%

Setze das zur Finktionsgleichung zusammen.

%%\mathrm f(x)=-x+a%%

%%\mathrm f\left(\mathrm a\right)=1;\;\mathrm f\left(2\mathrm a\right)=-1%%

Funktionsterm bestimmen

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t\\%%

Setze %%\mathrm f\left(\mathrm a\right)%% und %%\mathrm f\left(2\mathrm a\right)%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{rrclcr} \text{I} &1 & = &\mathrm m\cdot \mathrm a &+ &\mathrm t\\ \text{II}&-1 &= &\mathrm m\cdot2\mathrm a&+&\mathrm t \end{array}\\%%

Löse das Gleichungssystem auf.

%%2\cdot \text{I}\,-\,\text{II}:\\ \;2-(-1)=2\mathrm t-\mathrm t%%

Nach t auflösen.

%%\Rightarrow\mathrm t=3%%

Setze t in %%\text{I}%% ein.

%%1=\mathrm m\cdot \mathrm a+3%%

Nach m auflösen.

%%\mathrm m=(1-3)\cdot\frac1a=-\frac{2}{a}%%

Zur Funktionsgleichung zusammensetzen.

%%\mathrm f(x)=-\frac{2}{a}\cdot x+3%%

Für eine lineare Funktion  %%\mathrm h\left(\mathrm x\right)%%  gilt:

%%\mathrm h\left(0\right)=3%%  und  %%\mathrm h\left(-2\right)=4%%. Bestimmen Sie  %%\mathrm h\left(\mathrm x\right)%% .

[Geradengleichung aufstellen]()

Bestimme den y-Abschnitt t

Bei einer Funktion ist der y-Abschnitt gleich dem Wert bei x=0.

%%t=h(0)=3%%

Bestimme jetzt mit den zwei gegebenen Punkten die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{3-4}{0-(-2)}=\frac{-1}{2}=-\frac12%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%\Rightarrow y=-\frac12 x+3%%

Eine Gerade durch  %%\mathrm P\left(2,5 |0\right)%%  schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Für welche Steigung ist dieses Dreieck gleichschenklig?

Zwei Seiten des Dreiecks sind Koordinatenachsen. Diese haben einen rechten Winkel zwischen sich, das Dreieck ist also sicher rechtwinklig.
Der rechte Winkel kann kein Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sein, also sind die gleichlangen Schenkel die Katheten (Achsen).

Es gibt zwei Möglichkeiten einen Punkt zu wählen, dass die Katheten gleichlang sind: %%Q_1 = (0|2,5)%% und %%Q_2 = (0| -2,5)%%. Das Dreieck liegt dann im 1. Quadranten oder im 4. Quadranten. In anderen Quadranten kann das Dreieck nicht liegen, da P auf der Grenze zwischen dem ersten und vierten liegt.

Damit erhältst du ein Steigungsdreieck für %%Q_1%% mit der Steigung %%-1%% und eines für %%Q_2%% mit der Steigung %%1%%.

Ein solches Dreieck tritt also für die Steigungen %%m_1=-1%% und %%m_2=1%% auf.

Für welche x-Werte gilt  %%f\left(x\right)>0%%  ?

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0,4\mathrm x+1%%

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-1,5\left(\mathrm x-2\right)%%

%%f(x)>0%%

Funktionsgleichung einsetzen.

%%-1,5(x-2)>0%%

Klammer auflösen.

%%-1,5x+3>0%%

%%|-3%% Nach %%x%%-Termen und Zahlen sortieren.

%%-1,5x>-3%%

%%|:(-1,5)%% Nach %%x%% auflösen.

Achtung %%-1,5 < 0%%, drehe also das Ungleichheitszeichen.

%%x<-3 : (-1,5)%%

%%x < 2%%

%%f(x)%% ist also für %%x < 2%% größer Null.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}5-\frac75%%

%%f(x)>0%%

Funktionsgleichung einsetzen.

%%\frac x5-\frac75>0%%

%%|+\frac75%% Sortiere nach x-Termen und Zahlen.

%%\frac x5>\frac75%%

%%|\cdot5%% Nach x auflösen (5 > 0, also keine Änderung am Zeichen).

%%x>\frac75 \cdot 5=7%%

Für x > 7 ist f(x) positiv.

Prüfen Sie, ob die Gerade durch  %%{\mathrm P}_1%%  und  %%{\mathrm P}_2%%  eine Ursprungsgerade ist.

%%{\mathrm P}_1\left(2|4\right);\;{\mathrm P}_2\left(-1,5|-3\right)%%

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t%%

Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;4=2\mathrm m+\mathrm t\\2)\;-3=-1,5\mathrm m+\mathrm t\end{array}%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%\begin{array}{l}1)\;4=2\mathrm m+\mathrm t\\2)\;3=1,5\mathrm m-\mathrm t\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

Berechne %%1)\;+\;2)\;%%.

%%7=3,5\mathrm m%%

%%\left|:3,5\right.%%

%%\mathrm m=\frac7{3,5}%%

%%\mathrm m=2%%

Setze m in eine der beiden Funktionen ein.

%%4=2\cdot2+\mathrm t%%

%%4=4+\mathrm t%%

%%\left|-4\right.%%

%%\mathrm t=4-4%%

%%\mathrm t=0%%

%%\mathrm y=2\mathrm x%%

Die Gerade durch  %%{\mathrm P}_1%%  und  %%{\mathrm P}_2%%  ist eine Ursprungsgerade, da  für x=0 der y-Wert gleich 0 ist.

%%{\mathrm P}_1\left(-1|3,5\right);\;{\mathrm P}_2\left(2|-2\right)%%

%%y=m x +t%%

Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;3,5=-1m+ t\\2)\;-2=2 m+ t\end{array}%%

Löse das lineare Gleichungssysten zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.

Multipliziere dafür zunächst die Gleichung %%1)%% auf beiden Seiten mit %%|\cdot (-1)%%

%%\begin{array}{l}1)\;-3,5= m - t\\ 2)\;-2=2m + t\end{array}%%

Berechne %%1) + 2)%%

%%-5,5 = 3m%%

%%|:3%%

%%-\dfrac{11}{6} = m%%

Setze %%m%% in eine der beiden Gleichungen ein

%%-2 = 2 \cdot \left(-\dfrac{11}{6}\right) + t%%

%%-2 = - \dfrac{11}{3} + t%%

%%|+\dfrac{11}{3}%%

%%-\dfrac{5}{3} = t%%

%%m=-\dfrac{11}{6} ;t=\dfrac {5}{3}%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung.

%%y=-\dfrac{11}{6}\cdot x+\dfrac{5}{3}%%

Die Gerade durch %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% ist keine Ursprungsgerade, da für x=0 der y-Wert gleich %%\dfrac{5}{3}%% ist.

Zwei Geraden  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%%  und  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%%  schneiden sich auf der x-Achse in x=4.

Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.

Für diese Aufgabe gibts es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.

Ein sehr einfaches Beispiel wäre %%f(x) = 0%%, also die x-Achse und %%g(x) = x-4%%.
%%f(x)%% läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: %%g(4) = 4 - 4 = 0%%.

Andere mögliche Funktionen sind:
%%y= -x+4%% , %%y= 2x-8%% (allgemein %%y=ax-4a%% für beliebige a)

Zeigen Sie: Die Punkte  %%\mathrm P\left(\frac{\mathrm k}2\sqrt2/\mathrm k\right)%%  liegen für alle  %%k\in\mathbb{R}%%  auf einer Geraden.

Bestimmen Sie die Geradengleichung.

Gegeben ist eine Menge von Punkten %%P=(\frac k 2 \cdot \sqrt{2}|k)%%.

Um die allgemeine Geradengleichung herauszufinden, brauchen wir 2 Punkte auf der Gerade.
Deshalb wählt man hier am besten z.B. die zwei Punke %%F=(\frac k 2 \cdot \sqrt{2}|k)%% und %%G=(\frac {k+1} {2} \cdot \sqrt{2}|k+1)%%.

%%y=m\cdot x + t%%

Bestimme zuerst die Steigung m.

%%\displaystyle m=\frac{k+1-k}{\frac {k+1} {2} \cdot \sqrt{2}-\frac k 2 \cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}%%

Nun kann man m und einen der Punkte, z.B. hier am Besten gleich P, in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.

%%k=\underbrace{\frac k 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}_{=k}+t%%

Löse nach t auf.

%%\Rightarrow t=0%%

Gebe die Geradengleichung an.

%%y=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot x%%

Prüfe, ob die Geraden %%g, h, i%% durch einen Punkt verlaufen.

%%\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\mathrm x+1;\;\;\;\;\;\mathrm h:\;2\mathrm y+\mathrm x+4=0;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;3\mathrm y-5\mathrm x=7%%

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form %%y=mx+t%%.

Gerade g:

%%g(x)=x+1%%

%%\Leftrightarrow y=x+1%%

Gerade h:

%%2y +x +4=0%%

%%\Leftrightarrow 2y=-x-4%%

%%\Leftrightarrow y=-\frac12x-2%%

Gerade i:

%%3y-5x=7%%

%%\Leftrightarrow 3y=5 x+7%%

%%\Leftrightarrow y=\frac53 x+\frac73%%

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

%%x+1=-\frac12x-2\quad|+\frac12x-1%%

Sortiere nach %%x%%-Termen und Zahlen.

%%x+\frac12x=-2-1%%

Fasse zusammen.

%%\frac32x=-3\quad|:\frac32%%

%%x=-2%%

Setze in %%g%% ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

%%y=-2+1=-1%%

Der Schnittpunkt ist %%S_{gh}=(-2\,|\,-1).%%

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

%%x+1=\frac53x+\frac73\quad|-\frac53x-1%%

Sortiere nach %%x%%-Termen und Zahlen.

%%x-\frac53x=\frac73-1%%

Fasse zusammen.

%%-\frac23x=\frac43\quad|:(-\frac23)%%

%%x=-2%%

Setze in %%g%% ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

%%y=-2+1=-1%%

Der Schnittpunkt ist %%S_{gi}=(-2\,|\,-1).%%

Da sich %%g%% mit %%h%% und mit %%i%% im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch %%h%% und %%i%% in diesem Punkt.
Die Geraden laufen also alle durch den Punkt %%(-2|-1)%%.

%%\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x+\frac32;\;\;\;\;\;\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;2\mathrm x-\mathrm y=3%%

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form %%y=mx+t%%.

Gerade g:

%%g(x)=\frac16x+\frac32%%

%%\Leftrightarrow y=\frac16x+\frac32%%

Gerade h:

%%h(x)=-\frac23x+2%%

%%\Leftrightarrow y=-\frac23x+2%%

Gerade i:

%%2x-y=3%%

%%\Leftrightarrow y=2 x-3%%

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

%%\frac16x+\frac32=-\frac23x+2\quad|+\frac23x-\frac32%%

Sortiere nach %%x%%-Termen und Zahlen.

%%\frac16x+\frac23x=2-\frac32%%

Fasse zusammen.

%%\frac56 x=\frac12\quad\left|:\frac56\right.%%

%%x=\frac35%%

Setze in %%g%% ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

%%y=\frac16\cdot\frac35+\frac32%%

%%\;\;\,=\frac{1}{10}+\frac32=\frac{16}{10}%%

%%\;\;\,=\frac{8}{5}%%

Der Schnittpunkt ist %%S_{gh}=\left(\frac35\,|\,\frac85\right).%%

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

%%\frac16x+\frac32=2x-3\quad|-2x-\frac32%%

Sortiere nach %%x%%-Termen und Zahlen.

%%\frac16x-2x=-3-\frac32%%

Fasse zusammen.

%%-\frac{11}{6}x=-\frac92\quad\left|:\left(-\frac{11}{6}\right)\right.%%

%%x=\frac92\cdot\frac{6}{11}=\frac{27}{11}%%

Setze in %%g%% ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

%%y=\frac16\cdot\frac{27}{11}+\frac32%%

%%\;\;\,=\frac{9}{22}+\frac32=\frac{42}{22}%%

%%\;\;\,=\frac{21}{11}%%

Der Schnittpunkt ist %%S_{gi}=\left(\frac{27}{11}\,|\,\frac{21}{11}\right).%%

Damit schneidet die Gerade %%g%% die Gerade %%h%% in einem anderen Punkt als die Gerade %%i%%. Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.

  1. Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte %%P(0;3)%% und %%Q(2;-3)%% ?

  2. Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte %%P(1;3)%% und %%Q(3;-1)%% auf.

Teilaufgabe 1

Bestimmen einer Steigung und der Geradengleichung einer Funktion anhand von zwei Punkten.

Gegeben: Punkt %%P\left(0;3\right)%% und Punkt %%Q\left(2;-3\right)%%

Setze die x-Werte(erste Koordinate) und die y-Werte(zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.

  %%3=m\cdot0+t%%

%%-3=m\cdot2+t%%

Bei der erste Gleichung kannst du sofort ablesen, dass %%t=3%% . Dieses t kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um m auszurechnen.

%%-3=m\cdot2+3%%

%%\left|-3\right.%%

%%-6=m\cdot2%%

%%\left|:2\right.%%

%%m=-3%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%y=-3x+3%%

Teilaufgabe 2

Bestimmen einer Geradengleichung einer Funktion anhand von zwei Punkten.

Gegeben: Punkt %%P(1;3)%% und %%Q(3;-1)%%

Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.

x-Werte: %%3-1=2%%

y-Werte: %%-1-3=-4%%

Während der x-Wert um %%2%% steigt nimmt der y-Wert um %%4%% ab. Divdiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.

%%m=\frac{-4}2=-2%%

Setze m,den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um t zu bestimmen.

%%3=-2\cdot1+t%%

%%3=-2+t%%

%%\left|+2\right.%%

%%t=5%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.

%%y=-2x+5%%

Zwei aufeinander senkrecht stehende Geraden schneiden sich in  %%S\left(-2/-1\right)%% .

Geben sie mögliche Geradengleichungen an.

Wir haben zwei zueinander senkrechte Geraden mit dem Schnittpunkt (-2,-1). Wie man aus der Angabe schon rauslesen kann, gibt es mehrere Möglichkeiten, zwei solcher Geraden zu wählen. Im Folgenden wird eine Möglichkeit angegeben. Ein gutes Kriterium, um zu überprüfen, ob die zwei gewählten Geraden senkrecht zueinander sind, ist folgendes:

%%m_{1} \cdot m_{2}=-1%%.

Wähle zum Beispiel die Geraden g mit
%%y=g(x)=x+1%% und h mit %%y=h(x)=-x-3%%. Dann gilt %%m_{1} \cdot m_{2}=1\cdot(-1)=-1%% und es gilt %%g(-2)=-1%% und %%h(-2)=-1%%.
Also liegt der Schnittpunkt auf den beiden Geraden und diese sind senkrecht zueinander.

Achtung:

Wählst du zum Beispiel die Gerade y=-1 (eine Parallele zur x-Achse), die durch den Punkt(-2,-1) geht, gibt es genau eine Gerade, nämlich die Gerade, die parallel zur y-Achse steht mit der Geradengleichung x=-2. Diese stehen zwar senkrecht aufeinander, aber x=-2 ist keine Funktion, sondern eine Relation.

Gegeben ist die lineare Funktion  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=3-\frac{12}7\mathrm x%% .

Liegt der Punkt  %%\mathrm P\left(\sqrt7 \;| -1,54\right)%%  auf dem Graphen von  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%%?

Funktionsgraph interpretieren

Prüfe, ob der Punkt %%P(\sqrt 7 \, | - 1,54)%% auf dem Graphen der Funktion liegt.

Setze dazu den %%x%%-Wert %%\sqrt7%% in die Funktionsgleichung %%y(x) = 3 - \frac{12}{7}x%% ein.

%%3 - \frac{12}{7}\cdot \sqrt7 \approx 3 - \frac{12}{7}\cdot 2,65%%

Multipliziere.

%%3 - \frac{12}{7}\cdot 2,65 \approx 3 -4,543%%

Subtrahiere

%%3-4,543 = - 1,543%%

Ergebnis

Der Punkt %%P(\sqrt 7 \, | - 1,54)%% liegt nicht auf dem Graphen, da der Funktionswert von %%\sqrt{7}%% ein nicht endender Dezimalbruch ist und nicht der endliche Dezimalbruch %%-1,54%%.
Solltest du mit gerundeten Werten gerechnet haben, kannst du zum Schluss kommen, dass der Punkt im Graphen enthalten sei. Dies ist nicht der Fall.

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