Aufgaben

Zeichne die Geraden  %%\mathrm y=3\mathrm x-2%%  und  %%\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1%%  in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt.

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

%%\mathrm y=3\mathrm x-2%%

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.

%%3\mathrm x-2=0%%

%%\left|+2\right.%%

%%3\mathrm x=2%%

%%\left|:3\right.%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=\frac23%%

Die Gerade hat bei %%\mathrm x_\mathrm N=\frac23%% eine Nullstelle.


Gehe für die zweite Gerade genauso vor.

%%\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1%%

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.

%%-\frac34\mathrm x+1=0%%

%%\left|-1\right.%%

%%-\frac34\mathrm x=-1%%

%%\left|:\left(-\frac34\right)\right.%%

%%\displaystyle\mathrm x=\frac1{\frac34}%%

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert

%%{\mathrm x}_\mathrm N=\frac43%%

Die zweite Gerade hat bei %%\mathrm x_\mathrm N=\frac43%% eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.

%%3\mathrm x-2=-\frac34\mathrm x+1%%

%%\left|+\frac34\mathrm x\right.\;\;\left|+2\right.%%

%%3\mathrm x+\frac34\mathrm x=1+2%%

%%3,75\mathrm x=3%%

%%\left|:3,75\right.%%

%%\mathrm x=\frac3{3,75}%%

%%{\mathrm x}_\mathrm S=0,8%%

Setze %%x_S%% in eine der beiden Funktionen ein.

%%\mathrm y=3\cdot0,8-2%%

%%\mathrm y=2,4-2%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0,8/0,4\right)%%

%%{\mathrm y}_\mathrm S=0,4%%

Gegeben sind die drei Punkte %%A(-2 | 1)%%, %%B(6 | 1)%% und %%C(4 | 5)%%.

  1. Stelle die Gleichung der Geraden %%AB%%, %%AC%% und %%BC%% auf.

  2. Berechne die Seitenlängen und den Umfang des Dreiecks %%ABC%%.

  3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%%.

Teilaufgabe 1: Geradengleichung

Gerade AB:

%%A = (-2|1)%% und %%B=(6|1)%%

Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{1-1}{-2-6}=\frac{0}{-8}=0%%

Die Gerade ist also parallel zur x-Achse. Der y-Abschnitt t ist also gleich der y-Koordinate der beiden Punkte.

%%t=1%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%y=mx+ t=0\cdot x+1=1%%

Gerade AC:

 

%%A = (-2|1)%% und %%C=(4|5)%%

Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{1-5}{-2-4}=\frac{-4}{-6}=\frac23%%

Stelle die Gleichung für den y-Abschnitt auf.

%%y=mx+t%%

Setze einen Punkt, z.B. A ein.

%%1=\frac23 (-2)+t%%

Löse nach t auf.

%%t=1-\frac{-4}{3}=1+\frac43=\frac{7}{3}%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%y=mx+t=\frac23x+\frac73%%

Gerade BC:

 

%%B = (6|1)%% und %%C=(4|5)%%

Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{1-5}{6-4}=\frac{-4}{2}=-2%%

Stelle die Gleichung für den y-Abschnitt auf.

%%y=mx+t%%

Setze einen Punkt, z.B. B ein.

%%1=-2 \cdot6+t%%

Löse nach t auf.

%%t=1-(-2)\cdot6=1+12=13%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%y=mx+t=-2x+13%%

Der Umfang des Dreiecks berechnet sich aus den Längen der Strecken zwischen den Punkten. Benutzte dazu die bekannte Formel.

%%d(P_1,P_2)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}%%

Setze für jede Strecke zwei Punkte ein.

Seite AB:

 

%%\operatorname{\Delta}x=-2-6=-8%%,

%%\operatorname{\Delta}y=1-1=0%%

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

%%d(A,B)=\sqrt{(-8)^2+0^2}=\sqrt{64}=8%%

Diese Seite hat also Länge 8.

Seite AC:

%%\operatorname{\Delta}x=-2-4=-6%%,

%%\operatorname{\Delta}y=1-5=-4%%

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

%%d(A,C)=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}%%

%%=\sqrt{52}\approx 7,21%%

Diese Seite hat also etwa Länge 7,2.

Seite BC:

 

%%\operatorname{\Delta}x=6-4=2%%,

%%\operatorname{\Delta}y=1-5=-4%%

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

%%d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}%%

%%=\sqrt{20}\approx 4,47%%

Diese Seite hat also etwa Länge 4,5.

%%\Rightarrow \text{Der Umfang ist gleich}\; 8+7,2+4,5=19,7%%

Teilaufgabe 3: Fläche eines Dreiecks

%%A=\frac12\cdot\text{Höhe}\cdot\text{Grundseite}%%

Wähle AB als Grundseite, da diese parallel zur x-Achse ist. Dadurch ist die Höhe parallel zur y-Achse.

Höhe h ist gleich dem Abstand von C zu AB.

Da die höhe parallel zur y-Achse ist, berechnet sich der Abstand einfach durch Vergleich der y-Koordinate.

Der Abstand des Punktes C von der Grundlinie ist

%%h=5-1=4%%

 

Eingesetzt in die Formel ergibts das:

%%A=\frac12\cdot4\cdot 8=16%%

Gegeben sind die Geraden  g: %%y=2x-3%%   und  h: %%y=-0,5x+4%% .

  1. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

  2. Berechne die Fläche, des Dreiecks, das von g und h und der y-Achse gebildet wird.

Teilaufgabe 1

 

 g: %%y=2x-3%%   und  h: %%y=-0,5x+4%%

Die  Geraden gleichsetzen um den x-Wert der Schnittstelle zu erhalten.

%%2x-3=-0,5x+4%%

%%\left|{-0,5x\;\;\;\left|{+3}\right.}\right.%%

  %%2,5x=7%%

%%\left|{:2,5}\right.%%

       %%x=2,8%%

Der x-Wert muss nun in eine der Geraden eingesetzt werden, um den y-Wert des Schnittpunktes zu erhalten.

%%y=2\cdot2,8-3%%

Beachte "Punkt vor Strich"

%%y=5,6-3=2,6%%

 

Der Schnittpunkt der Geraden: S(2,8 | 2,6)

 

 

Teilaufgabe 2

 

Die Grundlinie g des Dreiecks ist 7

Hier nimmt man ausgehend von der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks den Abschnitt zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden mit der y-Achse als Grundlinie. Diese Schnittpunkte werden mit dem Buchstaben t gekennzeichnet. Bei den gegebenen Geraden liegt der Bereich also zwischen %%-3%% und %%4%%  %%\Rightarrow%%   %%g=7%%

 

Die Höhe h ist 2,8

 

Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Grundlinie und ist somit parallel zur x-Achse. Damit entspricht er der Länge vom Ursprung zu dem x-Wert des Schnittpunktes beider Geraden.

%%\Rightarrow A=\frac1 2\cdot g \cdot h=\frac{7\cdot2,8}{2}=9,8%%

 

 

 

Graph Gerade Schnittpunkt Geradenschnittpunkt Dreieck Dreiecksfläche

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne diesen in ein Koordinatensystem.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+\frac54;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x-1%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%-3\mathrm x+\frac54=-\mathrm x-1%%

%%\left|+3\mathrm x+1\right.%%

     %%-\mathrm x+3\mathrm x=\frac54+1%%

                %%2x=\frac94%%

%%\left|:2\right.%%

                  %%x=\frac98%%

Setze x in eine der beiden Geraden ein.

%%y=-\frac98-1%%

%%\mathrm y=-2,125%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(1,25/-2,125\right)%%

 

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8300_JGhKHfd6a2.xml

%%\mathrm f:\;2\mathrm y-\mathrm x=3;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+4%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

Löse zunächst die Funktion f nach y auf.

f:  %%2\mathrm y-\mathrm x=3%%

%%\left|+\mathrm x\right.%%

            %%2\mathrm y=3+\mathrm x%%

%%\left|:2\right.%%

               %%\mathrm y=\frac32+\frac{\mathrm x}2%%

Setze f und g gleich

%%\frac32+\frac x2=-\frac12x+4%%

%%\left|+\frac{\mathrm x}2-1,5\right.%%

%%\frac{\mathrm x}2+\frac{\mathrm x}2=4-1,5%%

               %%\mathrm x=2,5%%

Setze x in eine der beiden Geradengleichungen ein.

%%\mathrm y=\frac32+\frac{2,5}2%%

%%\mathrm y=2,75%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2,5/2,75\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8302_bqlww9BzWx.xml

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x-1;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x-4%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%-\frac23\mathrm x-1=\frac16\mathrm x-4%%

%%\left|+\frac23\mathrm x+4\right.%%

%%\frac16\mathrm x+\frac23\mathrm x=-1+4%%

%%\frac56\mathrm x=3%%

%%\left|:\frac56\right.%%

%%\mathrm x=3\;:\;\frac56%%

Dividiere durch einen Bruch  %%\rightarrow%%   Multipliziere mit dem Kehrwert

%%\mathrm x=3\cdot\frac65%%

%%x=\frac{18}5%%

Setze x in eine der beiden Geraden ein.

%%\mathrm y=\frac16\cdot\frac{18}5-4%%

%%\mathrm y=\frac35-4%%

%%\mathrm y=-3,4%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(3,6/-3,4\right)%%

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8304_HEiTvk0rjn.xml

%%\mathrm f:\;\mathrm x=2;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\frac34\mathrm x-\frac32%%

Schnittpunkte linearer Funktionen

Setze  %%\mathrm x=2%%  in  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%%  ein.

%%\mathrm y=-\frac34\cdot2-\frac32%%

%%\mathrm y=-\frac32-\frac32%%

%%y=-\frac62%%

%%\mathrm y=-3%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2/-3\right)%%

 

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8313_8XGwdXRpUM.xml

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0,05\mathrm x+20;\;\;\;\;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=0,15\mathrm x+15%%

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze f(x) und g(x) gleich.

%%0,05\mathrm x+20=0,15\mathrm x+15%%

%%\left|-0,05\mathrm x-15\right.%%

%%20-15=0,15\mathrm x-0,05\mathrm x%%

Subtrahiere und vertausche die Seiten.

%%0,10\mathrm x=5%%

%%\left|:0,1\right.%%

%%\mathrm x=\frac5{0,1}%%

%%\mathrm x_S=50%%

Setze x in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.

%%\mathrm y=0,05\cdot50+20%%

%%\mathrm y=2,5+20%%

%%\mathrm y_S=22,5%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S;y_S\right)=\mathrm S(50;22,5)%%

%%\mathrm S%% ist der Schnittpunkt.

  

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt.

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Geradenschnittpunkte berechnen.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden  %%g_1(x)%%  und  %%g_2\left(x\right)%% . Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.

%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+4%%

Geradenschnittpunkte berechnen

Setze dafür %%g_1(x)%% und %%g_2(x)%% gleich.

%%\frac12\mathrm x+2=-\frac12\mathrm x+4\\%%

%%\left|+\frac12x-2\right.%%

%%\frac12\mathrm x+\frac12\mathrm x=4-2\\%%

%%\mathrm x_S=2\\%%

Setze x in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=\frac12\cdot2+2\\%%

%%\mathrm y=1+2\\%%

%%\mathrm y_S=3\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S|y_S\right)=\mathrm S\left(2|3\right)%%

Zeichung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x-1\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-2\mathrm x+1%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% und %%{\mathrm g}_2(\mathrm x)%% gleich.

%%2\mathrm x-1=-2\mathrm x+1\\%%

%%\left|+2\mathrm x\right.+1%%

%%2\mathrm x+2\mathrm x=1+1\\%%

%%4\mathrm x=2\\%%

%%\left|:4\right.%%

%%\mathrm x_S=\frac12\\%%

Setze x in %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% ein.

%%\mathrm y=2\cdot\frac12-1\\%%

%%\mathrm y=1-1\\%%

%%\mathrm y_S=0\\%%

  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S|y_S\right)=\mathrm S\left(\frac12|0\right)%%

S ist der Schnittpunkt der Geraden.

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac34\mathrm x-4\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x-1%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% und %%{\mathrm g}_2(\mathrm x)%% gleich.

%%g_1(x)=g_2(x)\\%%

%%\frac34\mathrm x-4=-\frac12\mathrm x-1\\%%

%%\left|+\frac12\mathrm x+4\right.%%

%%\frac34\mathrm x+\frac12\mathrm x=-1+4\\%%

%%1,25\mathrm x=3\\%%

%%\left|:1,25\right.%%

%%\mathrm x=\frac3{1,25}\\%%

%%\mathrm x_S=2,4\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1(\mathrm x)%% ein.

%%\mathrm y=\frac34\cdot2,4-4\\%%

%%\mathrm y=1,8-4\\%%

%%\mathrm y_S=-2,2\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(x_S|y_S\right)=\mathrm S\left(2,4|-2,2\right)%%

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+3%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% und %%{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%g_1(X)=g_2(X)\\%%

%%-\frac12\mathrm x+2=\frac12\mathrm x+3\\%%

%%\left|+\frac12\mathrm x\right.-3%%

%%2-3=\frac12\mathrm x+\frac12\mathrm x\\%%

%%\mathrm x_S=-1\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=-\frac12\cdot\left(-1\right)+2\\%%

%%\mathrm y=\frac12+2\\%%

%%\mathrm y_S=2,5\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S(x_S|y_S)=\mathrm S\left(-1|2,5\right)%%

S ist der Schnittpunkt der Geraden.

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+3%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% und %%{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%g_1(x)=g_2(x)\\%%

%%\frac23\mathrm x+2=\frac12\mathrm x+3\\%%

%%\left|-\frac12\mathrm x-2\right.%%

%%\frac23\mathrm x-\frac12\mathrm x=3-2\\%%

Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .

%%\frac46\mathrm x-\frac36\mathrm x=3-2\\%%

%%\frac16\mathrm x=1\\%%

%%\left|:\frac16\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac1{\frac16}\\%%

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x_S=6\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=\frac23\cdot6+2\\%%

%%\mathrm y=4+2\\%%

%%\mathrm y_S=6%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S(x_S|y_S)=\mathrm S\left(6|6\right)%%

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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%%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac34\mathrm x+1\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+2%%

Geradenschnittpunkt berechnen

Setze %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% und %%{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%g_1(x)=g_2(x)\\%%

%%\frac34\mathrm x+1=\frac12\mathrm x+2\\%%

%%\left|-\frac12x-1\right.%%

%%\frac34\mathrm x-\frac12\mathrm x=2-1\\%%

Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .

%%\frac34\mathrm x-\frac24\mathrm x=2-1\\%%

%%\frac14\mathrm x=1\\%%

%%\left|:\frac14\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac1{\frac14}\\%%

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x_S=4\\%%

Setze %%x_S%% in %%{\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)%% ein.

%%\mathrm y=\frac34\cdot4+1\\%%

Kürze mit 4.

%%\mathrm y=3+1\\%%

%%y_S=4\\%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm S(x_S|y_S)=\mathrm S\left(4|4\right)%%

S ist der Schnittpunkt der Geraden

Zeichnung

Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.

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Betrachte folgende Graphen.

AufgabeLineareFunktionen3

Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.

%%\text f(x):y=m_fx+b_f%%

Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel %%A(0|3)%% und %%B(4|2)%%. Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.

%%\displaystyle m_f=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle m_f=\frac{2-3}{4-0}=-\frac14%%


Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt %%b_f%%, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.

%%\text f(x):y=m_fx+b_f%%

Setz zum Beispiel %%A%% ein.

%%\displaystyle 3=-\frac14\cdot0+b_f%%

Vereinfache.

%%3=b_f\Rightarrow b_f=3%%

Also lautet die Geradengleichung %%\displaystyle\text f(x)=-\frac14\cdot x+3%%.

%%\text g(x):y=m_gx+b_g%%

Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel %%C(-4|0)%% und %%D(0|1)%%. Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.

%%\displaystyle m_g=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle m_g=\frac{1-0}{0-(-4)}=\frac14%%


Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt %%b_g%%, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.

%%\text g(x):y=m_gx+b_g%%

Setz zum Beispiel %%D%% ein.

%%\displaystyle 1=\frac14\cdot0+b_g%%

Vereinfache.

%%\displaystyle 1=b_g\Rightarrow b_g=1%%

Also lautet die Geradengleichung %%\displaystyle\text g(x)=\frac14\cdot x+1%%.

%%\text h(x):y=m_hx+b_h%%

Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel %%E(-1|0)%% und %%A(0|3)%%. Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.

%%\displaystyle m_h=\frac{y_A-y_E}{x_A-x_E}%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle m_h=\frac{3-0}{0-(-1))}=3%%


Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt %%b_h%%, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.

%%\text h(x):y=m_hx+b_h%%

Setz zum Beispiel %%A%% ein.

%%3=3\cdot0+b_h%%

Vereinfache.

%%3=b_h\Rightarrow b_h=3%%

Also lautet die Geradengleichung %%\displaystyle\text h(x)=3\cdot x+3%%.

%%\text i(x):y=m_ix+b_i%%

Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel %%F(0|-3)%% und %%S(6|0)%%. Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.

%%\displaystyle m_i=\frac{y_S-y_F}{x_S-x_F}%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle m_i=\frac{0-(-3)}{6-0}=\frac12%%


Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt %%b_i%%, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.

%%\text i(x):y=m_ix+b_i%%

Setz zum Beispiel %%F%% ein.

%%\displaystyle-3=\frac12\cdot0+b_i%%

Vereinfache.

%%-3=b_i\Rightarrow b_i=-3%%

Also lautet die Geradengleichung %%\displaystyle\text i(x)=\frac12\cdot x-3%%.

Bestimme den Schnittpunkt von  g  und  h , sowie  die Nullstelle von f.

Schnittpunkt %%P(x_p|y_p)%% von g und h

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach %%x%% um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) %%\text g(x):y=\displaystyle\frac14x+1%% und %%\text h(x):y=3x+3%%.

%%\displaystyle\frac14x_P+1\stackrel!=3x_P+3%%

%%|-3x_p-1%%

Subtrahiere %%3x_P%% und 1.

%%\displaystyle -\frac{11}{4}x_P=2%%

%%|\div\left(-\frac{11}4\right)%%

Dividiere durch %%-\frac{11}4%%.

%%\displaystyle x_P=-\frac8{11}%%

Setz nun %%-\frac8{11}%% in die Geradengleichung von g oder h ein, um %%y_P%% zu bestimmen.

%%h(x_P):y_P=3\cdot x_P+3%%

Setz %%x_P%% ein.

%%\displaystyle y_P=3\cdot\left(-\frac8{11}\right)+3=\frac9{11}%%

Die Geraden g und h schneiden sich also bei %%\displaystyle P\left(-\frac8{11}\left|\frac9{11}\right.\right)%%.


Die Nullstelle %%x_{N_f}%% von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung %%\displaystyle\text f(x):y=-\frac14x+3%% mit 0 gleichsetzt und nach %%x%% umformst.

%%\displaystyle-\frac14x_{N_f}+3\stackrel!=0%%

%%-3%%

Subtrahiere 3.

%%\displaystyle -\frac14x_{N_f}=-3%%

%%|\div\left(-\frac14\right)%%

Dividiere durch %%-\frac14%%.

%%\displaystyle x_{N_f}=12%%

Die Nullstelle von f ist also 12.

Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.

Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.

Schnittpunkt %%T(x_T|y_T)%% von h und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach %%x%% um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) %%h(x):y=3x+3%% und %%\displaystyle i(x):y=\frac12x-3%%.

%%\displaystyle3x_T+3\stackrel!=\frac12x_T-3%%

%%\left|-\frac12x-3\right.%%

Subtrahiere %%\frac12x_T%% und 3.

%%\displaystyle \frac52x_t=-6%%

%%|\div\frac52%%

Dividiere durch %%\frac52%%.

%%\displaystyle x_T=-\frac{12}5%%

Setz nun %%-\frac{12}5%% in die Geradengleichung von h oder i ein, um %%y_T%% zu bestimmen.

%%h(x_T):y_T=3⋅x_T+3%%

Setz %%x_T%% ein.

%%\displaystyle y_T=3\cdot\left(-\frac{12}5\right)+3=-\frac{21}5%%

Die Geraden h und i schneiden sich also bei %%\displaystyle T\left(-\frac52\left|-\frac{21}5\right.\right)%%.

Schnittpunkt %%Q(x_Q|y_Q)%% von g und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach %%x%% um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) %%\displaystyle g(x):y=\frac14x+1%% und %%\displaystyle i(x):y=\frac12x-3%%.

%%\displaystyle\frac14x_Q+1\stackrel!=\frac12x_Q-3%%

%%\left|-\frac12x-1\right.%%

Subtrahiere %%\frac12x_T%% und 1.

%%\displaystyle -\frac14x_Q=-4%%

%%|\div(-\frac14)%%

Dividiere durch %%-\frac14%%.

%%\displaystyle x_Q=16%%

Setz nun %%16%% in die Geradengleichung von g oder i ein, um %%y_Q%% zu bestimmen.

%%\displaystyle g(x_Q):y_Q=\frac14⋅x_Q+1%%

Setz %%x_Q%% ein.

%%\displaystyle y_Q=\frac14\cdot16+1=5%%

Die Geraden g und i schneiden sich also bei %%\displaystyle Q(16|5)%%.

Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?

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