Aufgaben

Ein Flugzeug besitzt einen Treibstoffvorrat von 10500 Liter Kerosin. Auf 100km verbraucht es 180 Liter.

Herr Breuer hat einen Handyvertrag mit folgenden Konditionen abgeschlossen:

Monatliche Grundgebühr 20€, Telefonkosten pro  Minute 0,35€.

Wie hoch ist seine Monatsrechnung, wenn er 40, 80 oder 120 Minuten telefoniert?

Grundgebühr: 20€

Kosten pro Minute: 0,35€

Monatsrechnung ist Grundgebühr plus Kosten für telefonierte Minuten.

Monatsrechnung bei 40 Minuten

Herr Breuer hat 40 minuten telefoniert.

Berechne die Kosten für diese 40 Minuten.

%%40\cdot 0,35€=14€%%

Fasse zur Monatsrechnung zusammen.

Gesamtkosten = %%20€+14€=34€%%

Herr Breuer zahlt 34€ wenn er 40 Minuten telefoniert.

Monatsrechnung bei 80 Minuten

Herr Breuer hat 80 minuten telefoniert.

Berechne die Kosten für diese 80 Minuten.

%%80\cdot 0,35€=28€%%

Fasse zur Monatsrechnung zusammen.

Gesamtkosten = %%20€+28€=48€%%

Herr Breuer zahlt 48€ wenn er 80 Minuten telefoniert.

Monatsrechnung bei 120 Minuten

Herr Breuer hat 120 minuten telefoniert.

Berechne die Kosten für diese 120 Minuten.

%%120\cdot 0,35€=42€%%

Fasse zur Monatsrechnung zusammen.

Gesamtkosten = %%20€+42€=62€%%

Herr Breuer zahlt 62€ wenn er 120 Minuten telefoniert.

Erstelle einen Term für die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer in Minuten.

Folgende Tabelle gibt für einige Temperaturen den Wert in Grad Celsius (°C) und Grad Fahrenheit (°F) an.

Temperatur in Celsius

Temperatur in Fahrenheit

%%-10°%%

%%14°%%

%%0°%%

%%32°%%

%%20°%%

%%68°%%

%%60°%%

%%140°%%

Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang. Zeichne mit der Tabelle einen Graphen (x-Achse=Grad Celsius, y-Achse=Grad Fahrenheit) und gib eine Formel an, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet.

Um die lineare Funktion %%\text t(x):y=m_tx+b_t%% zum Umrechnen der Temperatur zu bestimmen, wählst du zwei beliebige Punkte, die auf dieser liegen und bestimmst mit diesen zunächst die Steigung. Setze zum Beispiel %%A(0|32)%% und %%B(20|68)%% in die Formel für die Steigung ein.

%%\displaystyle m_t=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle m_t=\frac{68-32}{20-0}=1,8%%


Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt %%b_t%%, indem du einen Punkt aus der Tabelle in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt, oder abliest, bei welchem Wert t die y-Achse schneidet.

%%\text t(x):y=m_tx+b_t%%

Setz zum Beispiel %%A%% ein.

%%32=1,8\cdot0+b_t%%

Vereinfache.

%%32=b_t\Rightarrow b_t=32%%

Die Formel zur Berechnung von Celsius in Fahrenheit lautet also %%\text t(x)=1,8x+32%%.

Ein Lieferwagen, der mit 1,2 t beladen ist, transportiert x Stücke zu je %%25\;kg%% und y Kisten zu je %%150\;kg%% .

  1. Stelle den Zusammenhang zwischen x und y in einem Diagramm dar.

  2. Welche Punkte %%\left(x;\;y\right)%% sind möglich, wenn der Lieferwagen maximal 1,2 t beladen ist?

Teilaufgabe 1

Geradengleichung aufstellen

1,2 t können umgerechnet werden zu 1200 kg.

Man hat x Kisten, die 25 kg wiegen, und y Kisten, die 150 kg wiegen. Zusammen sollen sie genau 1200 kg wiegen. Diesen Zusammenhang kann man mit folgender Gleichung darstellen:

%%x\cdot25+y\cdot150=1200%%

%%\left|-x\cdot25\right.%%

Stelle die Gleichung so um, dass du eine Geradengleichung erhälst.

%%150\cdot y=-25\cdot x+1200%%

%%\left|:150\right.%%

%%y=-\frac{25}{150}\cdot x+\frac{1200}{150}%%

%%y=-\frac16\cdot x+8%%

Darstellung im Diagramm

Zeichne jetzt mit Hilfe der Geradengleichung ein Diagramm, das den Zusammenhang der unterschiedlich schweren Kisten darstellt.

Schritt 1: Lies den y-Achsenabschnitt aus der Geradengleichung heraus und zeichne den Punkt ein. (Hier Punkt A)

Bedeutung

Ist der Laster mit 8 Kisten, die jeweils 150 kg wiegen, beladen, so hat er keinen Platz mehr für Kisten, die 25 kg wiegen. Denn %%8\cdot 150=1200%% .

Schritt 2: Lies die Steigung der Geraden aus der Geradengleichung und gehen entsprechend 6 nach rechts und 1 nach unten. (Hier Punkt B)

Bedeutung

Je weniger Kisten man hat, die 150 kg wiegen, desto mehr Kisten, die 150 kg wiegen, können in den Laster.

Schritt 3: Verbinde beide Punkte.

Erklärung zum Bild

Die Punkte zeigen, wie viele Kisten von welchem Gewicht man hernehmen kann, um genau 1200 t zu wiegen. Also zum Beispiel

  • 7 Kisten, die 150 kg wiegen und 6, die 25 kg wiegen (Punkt B).
  • 6 Kisten, die 150 kg wiegen und 12, die 25 kg wiegen (Punkt C).
  • usw.
  • 0 Kisten, die 150 kg wiegen und 48, die 25 kg wiegen (Punkt Z).

Die Geraden enden bei den Punkten A und Z, da man den Laster nicht mit negativen Kisten beladen kann.

Teilaufgabe 2

Alle Punkte, die im obigen Bild im rot schraffierten Bereich liegen, können verwendet werden. Denn dort addiert sich das Gewicht der Kisten zu weniger als 1200 kg.

Eine Zeitschrift, die zum Preis von %%2,20%% € zu kaufen ist, hat eine Auflage von %%120\, 000%% Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Auflage bei einer Preissenkung um %%0,20%% € pro Zeitschrift um %%5000%% Exemplare erhöhen lässt, bei einer Preiserhöhung von %%0,20%% € verliert man %%5000%% Käufer.

Berechnen Sie den Preis bei einer Auflage von 140 000 Exemplaren.

Anstieg auf 140 000 Exemplare

Bestimme, um wieviel sich die Auflage verändert hat.

%%\Delta N=140\,000-120\;000=20\,000%%

Bestimme die Änderungsrate a aus der Aufgabenstelleung. Beachte, dass dabei die bekannte Änderung (N) im Nenner steht.

%%a=\frac{\Delta p}{\Delta N}=\frac{-0,2}{5000}=-0,00004%%

Bestimme daraus die Preisänderung.

%%\Delta p = a\cdot \Delta N=-0,00004\cdot 20\, 000=-0,8%%

Berechne damit den neuen Preis.

%%p_{neu}=p_{alt}+\Delta p=2,2-0,8=1,4%%

Bei einer Auflage von 140 000 beträgt der Preis also 1,40€.

Welche Verkaufszahlen kann der Verlag erwarten, wenn er den Preis der Zeitschrift auf 1,50€ senkt?

Der Preis ist auf 1,50€ gefallen.

Bestimme die Preisänderung.

%%\Delta p=p_{neu}-p_{alt}=1,5-2,2=-0,7%%

Bestimme Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte dabei, dass die bekannte Änderung (p) im Nenner steht.

%%a=\frac{\Delta N}{\Delta p}=\frac{-5000}{0,2}=-25\,000%%

Bestimme damit die Änderung der Auflage.

%%\Delta N=a\cdot \Delta p=(-25\,000) \cdot (-0,7)=17\,500%%

Bestimme die neue Auflage.

%%N_{neu}=N_{alt}+\Delta N=120\,000+17\,500=137\,500%%

Bei einem Preis von 1,50€ ist die Auflage also 137 500 Stück.

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