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Analysis I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion g:x3x+9g:x\mapsto\sqrt{3x+9} mit maximaler Definitionsmenge D.

    1. Bestimmen Sie DD und geben Sie die Nullstelle von gg an.

    2. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von gg im Punkt P(03)P(0|3).

  2. 2

    Geben Sie jeweils den Term einer in R\mathbb{R} definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge W\mathbb{W} hat.

    1. W=[2;+[\mathbb{W}=\lbrack2;+\infty\lbrack

    2. W=[2;+2]\mathbb{W}=\lbrack-2;+2\rbrack

  3. 3
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  4. 4
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  5. 5

    Teil 2

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  6. 6

    Im Folgenden wird die Schar der R\mathbb{R} definierten Funktionen gc: xf(x)+cg_c:\ x\mapsto f\left(x\right)+c mit cRc\in \mathbb{R} betrachtet.

    1. Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von gcg_c sowie das Verhalten von gcg_c für x +x\ \longrightarrow+\infty

      an.

    2. Die Anzahl der Nullstellen von gcg_c hängt von cc ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von cc an, sodass gilt:

      a.) gcg_c hat keine Nullstelle.

      b.) gcg_c hat genau eine Nullstelle.

      c.) gcg_c hat genau zwei Nullstellen.

    3. Begründen Sie für c>0 c>0 anhand einer geeigneten Skizze, dass

      03gc(x)dx=03(x)dx+3c\int_0^3g_c (x)dx=\int_0^3 (x)dx+3c gilt.

  7. 7

    Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.

    Die Funktion g1,4:x2xe0,5x2+1,4g_{1{,}4}:x\mapsto2x\cdot e^{-0{,}5x^2}+1{,}4 beschreibt für x0x\geq0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x=1x=1 entspricht dem Jahr 1965) und g1,4g_{1{,}4}(xx) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

    1. Zeichnen Sie den Graphen von g1,4g_{1{,}4} in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.

    2. Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.

    3. Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.


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