Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (3 BE)

Das Dreieck ABC stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt $P(2|2|3)$ gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.

Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor $\vec{v}=\left(\begin{matrix}-1\\-1\\-4\end{matrix}\right)$ beschrieben.

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $R$, in dem g die Ebene $E$ schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft. (5 BE)

(zur Kontrolle: $R(1{,}5 |1{,}5 |1)$)

Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt $R$ dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt $Q(0|0|1)$ beschrieben wird (vgl. Abbildung).

Zeigen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ bezüglich der Ebene $E$ symmetrisch sind. (3 BE)

Das Lot zur Ebene $E$ im Punkt $R$ wird als Einfallslot bezeichnet.

Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene $F$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $F$ in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene $F$ liegt. (5 BE)

(mögliches Teilergebnis: $F:x_1-x_2=0$)

Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels β zwischen reflektiertem Licht-strahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt. (4 BE)