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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E:x1+x3=2E:x_1 + x_3 =2, der Punkt A(022)A (0| \sqrt{2} |2) und die Gerade g:X=A+λ(121),λRg: \vec{X}= \vec{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix} , \lambda \in \mathbb{R}, gegeben.

    1. Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene EE im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene EE die Geradegg enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von EE mit der x1x_1-Achse und mit der x3x_3-Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene EE sowie den Verlauf der Geraden gg in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung). (6 BE)

      Bild

      Die x1x2x_1x_2-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt AA und verläuft entlang der Geraden gg. Der Vektor v=(121)\vec{v}=\begin{pmatrix} -1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix} beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

    2. Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt. (3 BE)

      An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene EE verläuft und den Mittelpunkt M(0322)M (0|3\sqrt{2}|2) hat.

    3. Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt BB den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von B und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell. (5 BE)

      Teilergebnis:B(1223)B (-1|2\sqrt{2}|3)

    4. Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt CC beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts CC gilt: (2 BE)

      C=M+v\vec{C}=\vec{M}+\vec{v}

    5. Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke [AB][AB] und den Viertelkreis von BB nach CC dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15ms15 \frac{m}{s}. Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10  m10 \;\mathbb{m} in der Realität entspricht. (4 BE)


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