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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in [0;16][0;16] definierten Funktion V:tV(t)V:t\mapsto V(t). Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen tt die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und V(t)V(t) das Volumen in Kubikmetern.

    Bild
    1. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 450 m3450\ m^3 beträgt. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion VV näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. (3 BE)

    3. Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein t[0;10]t \in [0;10] die Beziehung V(t+6)=V(t)350V(t+6)=V(t)-350 gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für t=5t=5 diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

      In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0t120\le t\le 12 modellhaft durch die in R\mathbb{R} definierte Funktion g:t0,4(2t339t2+180t)g:t\mapsto 0{,}4\cdot(2t^3-39t^2+180t) beschrieben. Dabei ist tt die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t)g(t) die momentane Änderungsrate des Volumens in m3h\frac{m^3}{h}.

    4. Begründen Sie, dass die Funktionswerte von gg für 0<t<7,50<t<7{,}5 positiv und für 7,5<t<127{,}5<t<12 negativ sind. (4 BE)

    5. Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals abg(t)dt  fu¨r  0a<b12\int _a ^b g(t)\, dt \text{~ für ~} 0\le a<b\le12 im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150 m3150\ m^3 Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt. (6 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die in R+\mathbb{R^{+ }} definierte Funktion h:x3x(1+ln(x))h: x\mapsto 3x\cdot (-1+ln (x) ). Abbildung 1 zeigt den Graphen GhG_h von hh im Bereich 0,75x40{,}75 \leq x \leq 4.

    Bild
    1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an GhG_h im Punkt (e0)(e|0) und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die xx-Achse schneidet. (4 BE)

      (zur Kontrolle: h(x)=3lnxh'(x)=3\cdot lnx)

    2. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von GhG_h. Geben Sie den Grenzwert von hh für x+x \to + \infty an und begründen Sie, dass [3;+[[-3;+\infty[ die Wertemenge von hh ist. (4 BE)

    3. Geben Sie für die Funktion hh und deren Ableitungsfunktion hh' jeweils das Verhalten für x0x \to 0 an und zeichnen Sie GhG_h im Bereich 0<x<0,750 < x < 0{,}75 in Abbildung 1 ein. (3 BE)

      Die Funktion h:xh(x)h^{*} : x \mapsto h(x) mit Definitionsmenge [1;+[[1;+\infty[ unterscheidet sich von der Funktion hh nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu hh ist die Funktion hh^* umkehrbar.

    4. Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von hh^* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts SS des Graphen von hh^* und der Geraden mit der Gleichung y=xy=x. (4 BE)

      (Teilergebnis: xx-Koordinate des Schnittpunkts: e43e^{\frac{4}{3}})

    5. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von hh^* unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt SS, in Abbildung 1 ein. (3 BE)

    6. Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt A0A_0 dem Wert des Integrals exS(xh(x))dx\int _e ^{x_S} ({x-h^*(x))}dx entspricht, wobei xSx_S die xx-Koordinate von Punkt SS ist. Der Graph von hh^*, der Graph der Umkehrfunktion von hh^* sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt AA ein. Geben Sie unter Verwendung von A0A_0 einen Term zur Berechnung vonAA an. (4 BE)


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