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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.

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    Der zeitliche Verlauf des Bi211-Anteils, des Tl207-Anteils und des Pb207-Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in R\mathbb{R} definierten Funktionen BB, FF bzw. PP beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen sind. Dabei ist FF die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.

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    Für jede der drei Funktionen bezeichnet x0x\ge 0 die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten. Beispielsweise bedeutet P(1)0,400P(1)\approx 0{,}400, dass sechs Minuten nach Beginn der Beobachtung etwa 40,0 %40{,}0\ \% aller Kerne im Gefäß Pb207-Kerne sind.

    1. Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn. (4 BE)

    2. Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl207-Kernen im Gefäß am größten ist. (2 BE)

    3. Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind. (3 BE)

    4. Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion PP nach, dass limx+P(x)=1\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=1 gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang. (2 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=2ex(2ex1)f(x)=2e^{-x}\cdot(2e^{-x}-1) und xRx \in \mathbb{R}. Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff sowie die einzige Nullstelle x=ln(2)x=ln(2) von ff.

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    1. Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion ff' von ff gilt: f(x)=2ex(14ex)f'(x)=2e^{-x}\cdot(1-4e^{-x}). (3 BE)

    2. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (4 BE)

      (Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: ln(4)ln(4))

      Zusätzlich ist die Funktion FF mit F(x)=2ex2e2xF(x)=2e^{-x}-2e^{-2x} und xRx \in \mathbb{R} gegeben.

    3. Zeigen Sie, dass FF eine Stammfunktion von ff ist, und begründen Sie anhand des Terms von FF, dass limx+F(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} F(x)=0 gilt. (3 BE)

    4. Der Graph von FF verläuft durch den Punkt (ln(2)0,5)(ln(2)|0{,}5). Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass FF keine größeren Werte als 0,50{,}5 annehmen kann und bei x=ln(4)x=ln(4) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die y-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts. (5 BE)

    5. Zeichnen Sie den Graphen von FF unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts F(0)F(0) im Bereich 0,3x3,5-0{,}3\le x \le 3{,}5 in Abbildung 1 ein. (4 BE)

    6. Der Graph von ff schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit Eckpunkten O(00)O(0|0), P(ln20)P(ln2|0) und Q(02)Q(0|2) angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks OPQOPQ vom Inhalt des Flächenstücks abweicht. (4 BE)

      Betrachtet wird nun die Integralfunktion F0F_0 mit F0(x)=0xf(t)dtF_0(x)=\int_0^x f(t)dt und xRx \in \mathbb{R}.

    7. Begründen Sie, dass F0F_0 mit der betrachteten Stammfunktion FF von ff übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert F0(2)0,234F_0(2)\approx 0{,}234 mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken. (4 BE)

    8. Geben Sie den Term einer in R\mathbb{R} definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von ff ist. (2 BE)


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