Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Geben Sie für die Funktionen f$_1$ und f$_2$ jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

$\displaystyle\quad f_1:x \mapsto \frac{2x+3}{x^2-4}$ $\quad\quad f_2:x\mapsto\ln(x+2)$

(4 BE)

Geben Sie den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, deren Graph im Punkt $(2|1)$ eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

(3 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+9x^2-15x-25$.

Weisen Sie nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:

(1) Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle x =0 die Steigung -15.

(2) Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A(5|f(5))$ die x-Achse als Tangente.

(3) Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B(-1|f(-1))$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.

(5 BE)

Für jeden Wert $a$ mit $a\in\mathbb{R^+}$ ist eine Funktion $f_a$ durch $f_a(x)=\frac1 a \cdot x^3-x$ mit $x\in\mathbb{R}$ gegeben.