Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto\sqrt{3x-5}$ mit maximalem Definitionsbereich $\mathbb{D}$. Geben Sie $\mathbb{D}$ an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(3|f(3))$.

(6 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+9x^2-15x-25$.

Weisen Sie nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:

(1) Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x = 0$ die Steigung $-15$.

(2) Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A(5|f(5))$ die x-Achse als Tangente.

(3) Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B(-1|f(-1))$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.

(5 BE)

Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R^+}$ ist eine Funktion $f_a$ durch $\displaystyle f_a(x)=\frac1a \cdot x^3-x$ mit $x\in\mathbb{R}$ gegeben.