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Aufgaben

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit "0" beschriftet, einer mit "1" und einer mit "2"; die beiden anderen Sektoren sind mit "9" beschriftet.

a)

(2 BE)

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen %%2%%,%%0%%, %%1%% und %%9%% in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

b)

(3 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens %%11%% beträgt.

In dieser Aufgabe musst du Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten am Beispiel eines Glückrades berechnen.

Da die Sektoren gleich groß sind, kannst du davon ausgehen, dass beim einmaligen Drehen jeder Sektor mit der gleichen Wahrscheinlichkeit "gezogen" wird.

Glücksrad

Wie die Zahlen den Sektoren zugeordnet sind, ist unerheblich.

Der Ergebnisraum des einmaligen Dreens des Glückrads ist %%\Omega=\{0;1;2;9\}%%.

Die obenstehende Graphik ist ein Beispiel, bei dem gerade das Ergebnis %%0%% eingetreten ist.

Für die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse beim einmaligen Drehen erhältst du dann:

%%P(0)=P(1)=P(2)=\displaystyle \frac15 \,\text{und}\,P(9)=\frac25%%.

Lösung der Teilaufgabe a)

a)

(2 BE)

Dass die Reihenfolge der Ergebnisse beim viermaligen Drehen mit %%2\to0\to1\to 9%% vorgegeben ist, macht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis leicht.

Es gilt: %%\quad P(2,0,1,9)=\displaystyle \frac15 \cdot \frac15 \cdot \frac15 \cdot \cdot \frac25%%

%%\quad \quad \quad \; P(2,0,1,9)=\displaystyle \frac{2}{625}%%

Begründung:

Von einer Drehung zur anschließenden ist das Ergebnis vorgeschrieben und die 1. Pfadregel bei Baumdiagrammen erklärt das Ergebnis.

Du ersparst dir bei dieser Aufgabenstellung allerdings die aufwendige Zeichnung eines vierstufigen Baumdiagramms, da lediglich die Wahrscheinlichkeit eines einzigen (Pfads) zu berechnen ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim viermaligen Drehen des Glücksrads die Zahlen in der angegebenen Reihenfolge erscheinen, beträgt 0,32 Prozent.

Lösung der Teilaufgabe b)

b)

(3 BE)

Der Ergebnisraum beim zweimaligen Drehen des Glücksrads besteht aus allen geordneten Zahlenpaaren der Zahlen %%0,1,2,9%%.

Das Ereignis "Summe mindestens 11"" erfasst die Paare %%(2,9),(9,2),(9,9)%%.

Mit der Produktregel und der Summenregel für mehrstufige Experimente erhältst du:

%%\begin{array}{rcl} P(\text{"S. mind. 11"})&=&P(2,9)+P(9,2)+P(9,9)\\ &=&\displaystyle \frac15 \cdot \frac25 + \frac25 \cdot \frac15 + \frac25 \cdot \frac25\\ &=&\displaystyle \frac{8}{25}\end{array}%%

Das nachfolgende verkürzt gezeichnete zweistufige Baumdiagramm verdeutlicht die Berechnung.

Baumdiagramm

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erzielten Zahlen beim zweimaligen Drehen mindestens %%11%% beträgt, ist 32 Prozent.

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße %%X%% mit dem Parameterwert %%n=5%%. Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte %%P(X\leq k)%% mit %%k\in \{0;1;2;3;4\}%% entnehmen.

Diagramm

Ergänzen Sie den zu %%k=5%% gehörenden Wahrscheinlichkeitswert %%P(X\leq k)%% gehörenden Wahrscheinlichkeitswert im Diagramm. Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit %%P(X=2)%%.

(2 BE)

In dieser Aufgabe musst du für eine binomialverteilte Zufallsgröße %%X%% Summenwahrscheinlichkeiten von lokalen Wahrscheinlichkeiten unterscheiden.

Beachte:

Das gegebene Diagramm zeigt die Summenwahrscheinlichkeiten

%%P(X\color{red}{\leq}k)= \displaystyle\sum_{i=0}^{n=k}B(5;p;i)%%

an und nicht die lokalen Wahrscheinlichkeiten %%P(X=k)%%.

Diagramm 1

In das gegebene Diagramm ist der Wert für %%P(X\color{red}{\leq}5)%% einzuzeichnen.

Es gilt:

%%P(X\leq 5)=1%%.

Diagramm

Die lokale Wahrscheinlichkeit %%P(X=2)%% berechnest du so:

%%P(X=2)=P(X\leq 2)-P(X\leq1) %%

%%P(X=2)\approx 0,42-0,13%%

%%P(X=2)\approx0,29%%

Diagramm

Das Baumdiagramm in Abbildung 2 gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen %%A%% und %%B%%.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses %%B%%.

(3 BE)

Baumdiagramm

Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit stochastisch unabhängigen Ereignissen wird durch ein Baumdiagramm beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit eines der beiden Ereignisse ist zu berechnen

Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten

%%P(\overline{A}) = \displaystyle \frac 23\quad \text{und}%%

%%P(\overline{A}\cap B)=\displaystyle \frac{2}{15}%%

Baum 1

Die Ereignisse %%A%% und %%B%% sind unabhängige Ereignisse.

Daher sind alle bedingten Wahrscheinlichkeiten der 2. Stufe des Baumdiagramms totale Wahrscheinlichkeiten, d.h. es gilt:

%%P(B|A)=P(B)\quad%% und %%\quad P(\overline{B}|A)=P(\overline {B})\quad%% und

%%P(B|\overline {A})=P(B)\quad%% und %%\quad P(\overline{B}|\overline {A})=P(\overline{B}).%%

Aus dem rechten Ast des Diagramms erhältst du dann über die 1. Pfadregel sofort die gesuchte Wahrscheinlichkeit %%P(B)%%:

%%\begin {array}{rcll} \displaystyle \frac23 \cdot P(B)&=&\displaystyle \frac{2}{15}&|:\frac23\\P(B)&=&\displaystyle \frac 15\end{array}%%

Baum 2

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit des vom Ereignis %%A%% unabhängigen Ereignisses %%B%% beträgt %%20%% Prozent.

Hinweis zur Aufgabenstellung

Zur Lösung der Aufgabe benötigst du aufgrund der Unabhängigkeit der beiden Ereignisse %%A%% und %%B%% nur den rechten Pfadverlauf des Baumdiagramms.

Wenn du das Baumdiagramm vollständig ergänzt, kannst du schließlich das Ergebnis auch nochmals mit der 2. Pfadregel bestätigen, indem du abliest:

%%\begin{align}P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\ &=\displaystyle \frac{1}{15}+\frac{2}{15}\\ &=\displaystyle \frac15\end{align}%%

Baum 3

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