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Aufgaben

Jeder sechste Besucher eines Volksfestes trägt ein Lebkuchenherz um den Hals. Während der Dauer des Volksfests wird 25-mal ein Besucher zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße %%X%% beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.

a)

(2 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz trägt.

b)

(2 BE)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term %%\displaystyle \sum_{i=5}^{8}B(25;\frac 16 ; i)%% berechnet werden kann.

c)

(4 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße %%X%% höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

In der Aufgabe ist eine binomialverteilte Zufallsgröße %%X%% gegeben. Für ein bestimmtes Ereignis, das durch %%X%% beschrieben wird, ist in Teilaufgabe a) dessen Wahrscheinlichkeit zu berechnen. In Teilaufgabe b) soll - gewissermaßen umgekehrt - zu einem vorgegebenen Berechnungsterm ein passendes Ereignis im Sachzusammenhang angegeben werden. Für Teilaufgabe c) benötigst du Kenntnisse über den Erwartungswert und die Standardabweichung von %%X%%.

Lösung Teilaufgabe a)

a)

(2 BE)

%%X%% beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher mit einem Lebkuchenherz.

%%X%% ist binomialverteilt mit der Länge %%n=25%% und der Trefferwahrscheinlichkeit %%\,p=\frac 16%%.

Das Ereignis "höchstens ein Treffer" erfasst du mit folgender Summenwahrscheinlichkeit:

%%\displaystyle P_{\frac16}^{25}(X\leq 1)=\sum_{i=0}^{1}B(25;\frac 16;i)%%,

die du in der entsprechenden Spalte des Tafelwerks mit

%%0,06290%%

abliest.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens einer ein Lebkuchenherz trägt, ist rund %%6,29\,% %%%.

b)

(2 BE)

Es gilt:

%%\displaystyle \sum_{i=5}^{8}B(25;\frac16;i)=P_{\frac 16}^{25}(5\leq X\leq 8)%%.

Dazu passt folgendes Ereignis:

"Unter den 25 ausgewählten Besuchern tragen mindestens 5 und höchstens 8 ein Lebkuchenherz."

c)

(4 BE)

Die Aufgabenstellung verlangt, dass die Trefferzahl höchstens um die Standardabweichung %%\sigma%% vom Erwartungswert %%\mu%% abweicht.

Diese Bedingung erfasst du durch eine Ungleichung der folgenden Art:

%%|X-\mu|\leq\sigma%%.

Oder besser durch die Doppelungleichung

%%\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma%%

Intervall

Berechne zuerst den Erwartungswert %%\mu%% und die Standardabweichung %%\sigma%% für die nach %%B(25;\frac16)%% verteilte Zufallsgröße %%X%%.

Du erhältst:

%%\mu=n\cdot p=25\cdot \frac16 \approx 4,17%%,

und

%%\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt {25\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx 1,86.%%

Jetzt stellst du das Intervall auf, dessen Wahrscheinlichkeit du angeben sollst.

Es ergibt sich:

%%\mu-\sigma=4,17-1,86=2,31%% und

%%\mu+\sigma=4,17+1,86=6,03%%.

Da die Intervallgrenzen ganzzahlig sein müssen (für %%X%% gilt %%k\in \mathbb{N}!)%%, musst du für die linke Grenze auf %%3%% aufrunden und die rechte Grenze auf %%6%% abrunden.

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle P_\frac16 ^{25} (\color{red}{3} \leq X \leq \color{red}{6})&=&P_\frac 16 ^{25}(X \leq 6)- P_ \frac 16 ^{25}(X \leq \color{red}{2})\\ &=&0,89077-0,18869\\ &=&0,70208\end{array}%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße %%X%% höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, ist rund 70,2%%\,% %%%.

Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Die Lose und die zugehörigen Sachpreise können drei Kategorien zugeordnet werden, die mit "Donau", "Main" und "Lech" bezeichnet werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie "Main" wie Lose der Kategorie "Donau". Ein Los kostet 1 Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie "Donau" 8 Euro, in der Kategorie "Main" 2 Euro und in der Kategorie "Lech" 20 Cent. Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der Lose Kategorie "Donau" sein muss, wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent pro Los erzielen will.

Über die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße und ihrem Erwartungswert ist ein Gewinn für eine Losbude zu realisieren.

Die Zufallsgröße %%X%% sei der Reingewinn der Inhaberin pro Los in Euro.

Die Trefferwahrscheinlichkeiten für die drei Loskategorien seien:

%%p%% für das Los "Donau",

%%4p%% für das Los "Main" (viermal so viele Lose!)

%%1-5p%% für das Los "Lech" (%%\displaystyle \sum_{i=1}^{3}P(X=x_i)=1%%).

Mit dem Lospreis von %%1\,€%% und den Einkaufspreisen von %%8\,€%% für den Sachpreis "Donau", %%2\,€%% für den Sachpreis "Main" und %%0,20\,€%% für den Sachpreis "Lech" erhältst du folgende Verteilungstafel:

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{Sachpreis}&\text{"Donau"}&\text{"Main"}&\text{"Lech"}\\ \hline \mathrm X=x_i&1-8=-7&1-2=-1&1-0,2=0,8\\ \hline \mathrm P(X=x_i)& \mathrm p&\mathrm 4p&\mathrm 1-5p\\ \hline\end{array}$$

Mit dem gegebenen Erwartungswert %%E(x)=0,35%% ist jetzt folgende Gleichung nach %%p%% aufzulösen:

%%\begin{array}{rcll} (-7) \cdot p+(-1)\cdot 4p+0,8\cdot (1-5p)&=&0,35\\ -15p+0,8&=&0,35&|-0,8\\ -15p&=&-0,45&|\,:(-15)\\ p&=&0,03\end{array}%%

Ergebnis:

Der Anteil der Lose der Kategorie "Donau" muss %%3\,\% %% betragen, damit die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent erzielt.

Die Inhaberin der Losbude beschäftigt einen Angestellten, der Besucher des Volksfests anspricht, um diese zum Kauf von Losen zu animieren. Sie ist mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden.

a)

(5 BE)

Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als %%15\,\% %% der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf der Grundlage von 100 angesprochenen Besuchern getroffen werden. Dabei soll möglichst vermieden werden, dem Angestellten das Gehalt zu Unrecht zu kürzen. Geben Sie die entsprechende Nullhypothese an und ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von %%10\,\% %%.

b)

(2 BE)

Der Angestellte konnte bei der Durchführung des Tests zehn von 100 erwachsenen Besuchern dazu animieren, Lose zu kaufen. Er behauptet, dass er zumindest bei Personen mit Kind eine Erfolgsquote größer als %%10\,\% %% habe. Unter den 100 angesprochenen Besuchern befanden sich 40 Personen mit Kind. Von den Personen ohne Kind zogen 54 kein Los. Überprüfen Sie, ob das Ergebnis der Stichprobe die Behauptung des Angestellten stützt.

Ein Signifikanztest ist im Sachzusammenhang zu erstellen.

a)

(5 BE)

Die Bestimmung der Nullhypothese im Sachzusammenhang, dass dem Angestellten nicht zu unrecht gekündigt wird, ergibt: %%\mathrm{H_0}\geq 0,15%%.

Die Zufallsgröße %%X%% sei die Anzahl der angesprochenen Besucher, die ein Los kaufen.

Es gilt %%n=100%% und für das Signifikanzniveau %%\alpha=0,1%%.

%%\mathrm{A}=\{k+1; . . .;100\}%% sei der Annahmebereich und

%%\mathrm{\overline A}=\{0;1;… ;k\}%% der Ablehnungsbereich.

Dann ist

%%\displaystyle P_{\color{red}{0,15}}^{100}(X\in \mathrm{\overline A})\leq 0,1%%

Im Tafelwerk zur Stochastik liest du bei %%n=100%% und %%p=0,15%% in der Spalte der Summenwahrscheinlichkeiten ab:

%%k=10%%.

Ergebnis für die Entscheidungsregel:

Wenn höchstens %%10%% von den angesprochenen Besuchern ein Los kaufen, wird die Inhaberin dem Angestellten das Gehalt kürzen.

Wenn mindestens %%11%% ein Los kaufen, wird sie das Gehalt nicht kürzen.

b)

(2 BE)

Die Erfolgsquote des Angestellten bei den %%100%% angesprochenen erwachsenen Besuchern ist %%10\,\% %%. Also wurden %%10%% Lose gekauft.

%%40%% Personen von allen %%100%% davon haben ein Kind. Damit haben %%60%% kein Kind.

Von diesen zogen %%54%% kein Los. Also nur %%6%% ein Los.

Die verbleibenden %%4%% Lose wurden also von den %%40%% Persoen mit Kind gekauft.

Damit ist der Anteil der von Besuchern mit Kind gekauften Lose ebenfalls (nur) %%10\,\% %%.

Ergebnis:

Das Ergebnis der Stichprobe stützt die Behauptung des Angestellten nicht.

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