Nun wird die in $\mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $F: x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f (t)dt$ betrachtet; ihr Graph wird mit $G_F$ bezeichnet.

a) Begründen Sie, dass $F$ in $x=0$ eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von $G_f$ plausibel, dass im Intervall $[1;3]$ eine weitere Nullstelle von $F$ liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft $G_F$ im Punkt $(-1|F(-1))$ hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

b) Die Gerade mit der Gleichung $y=x -1$ begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für $F (1)$ an.

c) Die Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ sowie den Graphen $G_g$ der in $\R$ definierten Funktion

$g:x\mapsto-\cos(\frac{\pi}{2}x)$.

Beschreiben Sie, wie $G_g$ aus dem Graphen der in $\R$ definierten Funktion $x\mapsto \cos x$ hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von $g$ einen weiteren Näherungswert für $F(1)$.

(zur Kontrolle: $F(1) \approx -\frac{2}{\pi}$)

d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von $F$ für $0\leq x \leq3$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 1.