Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl $1$ und der kleinere mit der Zahl $3$ beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glückrads die Zahl $1$ zu erzielen, wird mit $p$ bezeichnet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

a) Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erzielten Zahlen $4$ ist, durch den Term $2p\cdot (1-p)$ angegeben wird.

b) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von $p$ die Zufallsgröße X den Erwartungswert $3$ hat.