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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=1x+11x+3f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} und Definitionsbereich Df=R{3;1}\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus \left\{-3;-1\right\}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Zeigen Sie, dass f(x)f(x) zu jedem der drei Terme äquivalent ist: (4 BE)

      2(x+1)(x+3);2x2+4x+3;10,5  (x+2)20,5\frac{2}{(x+1)(x+3)}; \frac{2}{x^2+4x+3}; \frac{1}{0{,}5 \;\cdot (x+2)^2 -0{,}5}

    2. Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von GfG_fist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von GfG_f an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der y-Achse. (3 BE)

      Abbildung 1 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion

      p:x0,5(x+2)20,5p:x \mapsto 0{,}5 \cdot (x+2)^2 -0{,}5, die die Nullstellen x=3  x=-3\; und x=1x=-1 hat.

      Für xDfx \in \mathbb{D}_f gilt f(x)=1p(x)f(x)=\frac{1}{p(x)}.

      Bild
    3. Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen ff' und pp' die Beziehung f(x)=p(x)(p(x))2f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2} für xDfx \in \mathbb{D}_f.

      Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f(x)f'(x) und p(x)p'(x), dass x=2x=-2 einzige Nullstelle von ff' ist und dass GfG_f in ]3;2[\left]-3;-2 \right[ streng monoton steigend sowie in ]2;1[\left]-2;-1 \right[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f an. (5 BE)

    4. Berechnen Sie f(5)f(-5) und f(1,5)f(-1{,}5) und skizzieren Sie GfG_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1. (4 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion h:x3ex+11h:x \mapsto \frac{3}{e^{x+1}-1} mit Definitionsbereich Dh=]1;+[\mathbb{D}_h= \left]-1;+ \infty \right[. Abbildung 2 zeigt den Graphen GhG_h von hh.

    Bild
    1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass limx+h(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x)=0 gilt.

      Zeigen Sie rechnerisch für xDhx \in \mathbb{D}_h, dass für die Ableitung hh' von hh gilt: (4 BE)

      h(x)<0h'(x) \lt 0

      Gegeben ist ferner die in Dh\mathbb{D}_h definierte Integralfunktion H0:x0xh(t)dtH_0 : x \mapsto \int_{0}^{x} h(t) \mathrm{d}t.

    2. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind: (4 BE)

      α)\hspace{5mm}\alpha) Der Graph von H0H_0 ist streng monoton steigend.

      β)\hspace{5mm}\beta) Der Graph von H0H_0 ist rechtsgekrümmt.

    3. Geben Sie die Nullstelle von H0H_0 an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H0(0,5)H_0(-0{,}5) sowie H0(3)H_0(3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H0H_0 im Bereich 0,5x3-0{,}5\leq x\leq3. (6 BE)

  3. 3

    In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für x0x\geq0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x)h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und xx die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

    1. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt xx, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. (3 BE)

      Die in R{3;1}\mathbb{R} \setminus \left\{-3;-1\right\} definierte Funktion k:x3(1x+11x+3)0,2k:x \mapsto 3 \cdot (\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3})-0{,}2 stellt im Bereich 0,5x2-0{,}5 \leq x \leq 2 eine gute Näherung für die Funktion hh dar.

    2. Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion kk aus dem Graphen der Funktion ff aus Aufgabe 1 hervorgeht. (2 BE)

    3. Berechnen Sie einen Näherungswert für 01h(x)dx\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d}x, indem Sie den Zusammenhang 01h(x)dx01k(x)dx  \int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d}x \approx \int_{0}^{1} k(x) \mathrm{d}x \; verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (5 BE)


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