Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung). Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die Zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit p erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.

a) Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10% erhält. (3 BE) $$(Ergebnis: 2p-2p^2)$$

b) Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X gilt: (3 BE) %%E(X)=9p^2+12p+4%%.

c) Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16% gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit %%p%%. (3 BE)

d) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt %%\frac{1}{9}%%. Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält. (4 BE)

Teilaufgabe a)

Bestandsaufnahme: Es gibt ein Glücksrad mit zwei Sektoren. Das Glücksrad wird zweimal gedreht und die jeweiligen Ergebnisse für den Gesamtrabatt multipliziert.

  • Der Sektor %%5\% %% wird mit Wahrscheinlichkeit %%p%% angenommen
  • Der Sektor %%2\% %% wird mit Wahrscheinlichkeit %%1-p%% angenommen (als Gegenwahrscheinlichkeit).

Zeichne zunächst das Baumdiagramm:

Baum

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Rabatt von %%10\% %%.

Um diesen Rabatt zu erhalten, muss beim Glücksrad einmal eine %%5%% und einmal eine %%2%% „gedreht” werden. Damit gibt es zwei Pfade in obigem Baumdiagramm, die günstig sind. Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich:

%%P(„ 10 \% \; \text{Rabatt}”)=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p%%

Multipliziere die Klammern aus und du erhältst:

%%P(„ 10 \% \; \text{Rabatt}”)=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p=p-p^2+p-p^2=2p-2p^2%%.

Der Vergleich mit dem Kontrollergebnis sagt dir, dass du richtig gerechnest hast.

Teilaufgabe b)

Mögliche Resultate für Kunden sind

  • %%4\% %% Rabatt; die zu %%(1-p)^2%%
  • %%10\% %% Rabatt mit Wahrscheinlichkeit %%2p-2p^2%%
  • %%25\% %% Rabatt mit Wahrscheinlichkeit %%p^2%%

Die Wahrscheinlichkeiten hierfür berechnest du mithilfe des obigen Baumdiagramms und der Pfadregeln.

Berechne den Erwartungswert:

%%4\cdot (1-p)^2+10\cdot (2p-2p^2) + 25\cdot p^2%%

Multipliziere nun die Ausdrücke aus.

%%= 4\cdot (1-2p+p^2) + 10\cdot (2p-2p^2)+25p^2%%

Vereinfache.

%%=4-8p+4p^2 +20p-20p^2 + 25p^2 \\ =4+12p+9p^2%%

Der Erwartungswert beträgt also %%E(X)=4+12p+9p^2%%. Der Vergleich mit dem Kontrollergebnis sagt dir, dass du richtig gerechnet hast.

Teilaufgabe c)

Da sich der Durchschnitt der Rabatte an den Erwartungswert annähert, soll der Erwartungswert gemäß Aufgabenstellung gleich %%16%% sein:

%%E(X)=4+12p+9p^2\overset{!}{=}16%%

Siehe hierzu auch das Gesetz der großen Zahlen.

Löse nun nach %%p%%.

%%4+12p+9p^2=16%%

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung %%16%% ab, damit auf einer Seite Null steht.

%%9p^2+12p-12=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%p_{1/2}=\frac{-12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot9\cdot(-12)}}{2\cdot 9}%%

Berechne davon nur die positive Lösung. Eine negative Lösung würde eine negative Wahrscheinlichkeit bedeuten, was bekanntermaßen keinen Sinn macht.

%%\begin{array} p &=\frac{-12+\sqrt{144+432}}{18}\\ &=\frac{-12+\sqrt{576}}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\end{array}%%

Wenn die Geschäftsführung im Mittel einen Rabatt von %%16\% %% geben möchte, muss die Wahrscheinlichkeit, dass eine %%5%% gedreht wird, %%p=\frac{2}{3}%% betragen.

Teilaufgabe d)

Du kennst diesen Aufgabentyp vielleicht unter dem Begriff „ Drei - Mal - mindestens - Aufgabe”.

Gesucht ist hierbei die Mindest-Anzahl der Kunden, sodass

  • mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens %%99\%%%
  • mindestens ein Kunde

den niedrigsten Rabatt von %%4\%%% erhält. Die Wahrscheinlichkeit, dass man %%4\% %% Rabatt erhält, beträgt nach Aufgabenstellung %%\frac{1}{9}%%.

%%\left[ \text{formal: }P(\text{mindestens ein Kunde bekommt einen 4% Rabatt})\geq0,99 \right]%%

%%P(\text{mindestens ein Kunde bekommt einen 4% Rabatt})\geq0,99%%

Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit.

%%P(\text{kein Kunde bekommt einen 4% Rabatt})\leq0,01%%

Es handelt sich um eine Bernoulliverteilung. Setze ein.

%%B(n,0,p_{4\%}=\frac{1}{9})=\binom{n}{0}\cdot p_{4\%}^0 \cdot p_{\text{nicht 4%}}^n=\left( \frac{8}{9} \right)^n \leq 0,01%%

Wende den natürlichen Logarithmus an. Da der natürliche Logarithmus bei Zahlen zwischen %%0%% und %%1%% negativ ist, musst du „%%\leq%%” zu „%%\geq%%” verändern.

%%\ln\left( \frac{8}{9} \right)^n \geq \ln(0,01)%%

Verwende die Rechenregeln für den Logarithmus.

%%n\cdot\ln\left( \frac{8}{9} \right) \geq \ln(0,01)%%

Löse nach %%n%% auf.

%%n\geq\frac{\ln(0,01)}{\ln\left( \frac{8}{9} \right)}\approx 39,099%%

Es müssen also %%40%% Kunden einkaufen, damit mit einer Wahrscheinlickeit von mehr als %%99\% %% mindestens ein Kunde den niedrigsten Rabatt bekommt.