Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.

Der zeitliche Verlauf des Bi211-Anteils, des Tl207-Anteils und des Pb207-Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in %%\mathbb{R}%% definierten Funktionen %%B%%, %%F%% bzw. %%P%% beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen sind. Dabei ist %%F%% die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.

Für jede der drei Funktionen bezeichnet %%x\ge 0%% die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten. Beispielsweise bedeutet %%P(1)\approx 0,400%%, dass sechs Minuten nach Beginn der Beobachtung etwa 40,0% aller Kerne im Gefäß Pb207-Kerne sind.

%%a)%% Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn. (4 BE)

%%b)%% Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl207-Kernen im Gefäß am größten ist. (2 BE)

%%c)%% Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind. (3 BE)

%%d)%% Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion %%P%% nach, dass %%\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=1%% gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang. (2 BE)

Lösung Teilaufgabe a)

Als erstes musst du beachten, dass in der Aufgabe steht, dass eine Einheit %%6%% Minuten sind. %%12%% Minuten entspricht also genau %%12:6=2%% Einheiten. Wenn du nun die Anteile nach %%12%% Minuten berechnen willst, musst du die Werte an der Stelle %%x=2%% berechnen.

%%B(2)=e^{-2\cdot 2}\approx 0,01831…%%

Du sollst die Werte auf ein Zehntel Prozent genau angeben. Nachdem du für Prozent das Komma um zwei Stellen verschieben musst, musst du hier auf die dritte Nachkommastelle runden. Das Ergebnis für Bi211 ist also %%1,8%% %.

Nun dasselbe für Tl207:

%%F(2)=2e^{-2}-2e^{-2\cdot2}\approx 0,2340…\approx 23,4%% %

oder du erkennst, dass der Wert %%F(2)\approx 0,234%% bereits in der Aufgabe 1 gegeben ist. In diesem Fall kannst du direkt in Prozent umwandeln: %%23,4%% %.

Und als Letztes für Pb207:

%%P(2)=1-B(2)-F(2)\approx 1-0,018-0,234=0,748=74,8%% %

Lösung Teilaufgabe b)

Du suchst in dieser Aufgabe den Zeitpunkt, an dem die meisten Tl207 Kerne vorhanden sind. Mit anderen Worten suchst du den %%x%%-Wert, an dem die Funktion, die den Verlauf der Kernanzahl der Tl207 angibt, ihr Maximum hat. Das ist die Funktion %%F%% und wie du aus Aufgabe 1d) weißt, ist ihr Maximum bei %%x=ln(2)%%. Jetzt musst du diesen Wert noch in Sekunden umwandeln.

Aktuell ist die Einheit %%6%% Minuten, das heißt, wenn du den Wert mit %%6%% multiplizierst, weißt du, um wie viele Minuten es sich handelt: %%x=ln(2)\cdot 6%%.

Um Minuten in Sekunden umzuwandeln, musst du noch mit %%60%% multiplizieren:

%%x=ln(2)\cdot 6\cdot 60\approx 249,5%%

Gefragt ist nach der Anzahl der Sekunden, also rundest du noch auf eine ganze Zahl und die Antwort ist: Nach %%250%% Sekunden sind die meisten Tl207 Kerne vorhanden.

Lösung Teilaufgabe c)

Wenn zu einem Zeitpunkt alle drei Kernsorten gleich häufig vorkommen sollen, müssen zu diesem Zeitpunkt auch die beiden ersten gleich häufig vorkommen. Also könntest du damit beginnen, auszurechen, wann die ersten beiden gleich häufig vorkommen, indem du sie gleichsetzt:

%%\begin{array}{rrl}B(x)&=&F(x) \\ e^{-2x}&=&2e^{-x}-2e^{-2x} &|-e^{-2x}\\ 0&=&2e^{-x}-3e^{-2x} \\ 0&=&e^{-x}(2-3e^{-x})\end{array}%%

Hier kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die Faktoren einzeln gleich %%0%% setzen:

%%e^{-x}=0%% oder %%2-3e^{-x}=0%%

Der erste kann nie %%0%% werden, weil die %%e%%-Funktion nie %%0%% ist, egal, was man einsetzt. Du kannst diese Gleichung also ignorieren.

Die zweite kannst du weiter auflösen:

%%\begin{array}{rrl} 2-3e^{-x}&=&0 &|+3e^{-x}\\ 2&=&3e^{-x} &|:3\\ \frac23&=&e^{-x} &|ln()\\ ln\left(\frac23\right)&=&-x &|\cdot (-1)\\ x&=&-ln\left(\frac23\right)=ln\left(\frac32\right)\end{array}%%

Für %%x=ln\left(\frac32\right)%% sind die ersten beiden Anteile gleich groß. Nun musst du rausfinden, wie hoch die Anteile zu diesem Zeitpunkt sind, um herauszufinden, ob es möglich ist, dass der dritte Anteil zu dem Zeitpunkt genauso hoch ist. Die Höhe des Anteils findest du, in dem du den %%x%%-Wert in eine der beiden Funktionen %%B%% und %%F%% einsetzt (Logarithmusrechenregeln):

%%B(ln\left(\frac32\right))=e^{-2ln\left(\frac32\right)}=e^{ln\left({\frac32}\right)^{-2}}=e^{ln\left(\frac49\right)}=\frac49%%

Wenn die ersten beiden Anteile allerdings gleichzeitig die Größe %%\frac49%% haben, kannst du leicht nachrechnen, dass der dritte Anteil zu diesem Zeipunkt nicht diese Größe haben kann. Dazu kannst du zum Beispiel %%1-2\cdot\frac49=1-\frac89=\frac19%% rechnen.

Damit hast du nachgewiesen, dass an dem einzigen Zeitpunkt, an dem die ersten beiden Kerne den gleichen Anteil haben, der dritte Anteil kleiner ist. Somit gibt es keinen Zeitpunkt, an dem alle drei gleich groß sind.

Alternativ könntest du dir auch überlegen, dass sich die drei Anteile zu %%1%% ergänzen müssen. Wenn sie also gleich groß sein sollen, muss jeder Anteil die Größe %%1:3=\frac13%% haben. Du kannst nun auch nacheinander die Funktionen gleich %%\frac13%% setzen und jeweils nach %%x%% auflösen. Sobald du zwei unterschiedliche %%x%%-Werte gefunden hast, haben die drei Funktionen nie gleichzeitig den Wert %%\frac13%% und du bist fertig.

Lösung Teilaufgabe d)

Nachweis %%\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=1%%

Als erstes kannst du den Term von %%P(x)%% einsetzen und mit Hilfe der Summenregel des Limes umformen:

%%\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} 1-F(x)-B(x)= \lim\limits_{x \to +\infty} 1 - \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) -\lim\limits_{x \to +\infty} B(x)%%

Nun überlegst du dir die Ergebnisse für die einzelnen Limes-Werte:

%%\lim\limits_{x \to +\infty} 1=1%%

In Aufgabe 1 hast du bereits nachgewiesen, dass %%\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)=0%%.

Wenn du in die %%e%%-Funktion sehr kleine Werte einsetzt, dann ist die Funktion fast %%0%%:

%%\lim\limits_{x \to +\infty} B(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x}=0%%

Nun setzt du alle drei Werte oben ein und erhältst das gewünschte Ergebnis:

%%\lim\limits_{x \to +\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} 1 - \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) -\lim\limits_{x \to +\infty} B(x) = 1-0-0=1%%

Interpretation im Sachzusammenhang

%%P(x)%% entspricht dem Anteil der Blei-Kerne. Wenn %%x%% sehr groß ist, also wenn man sehr lange wartet, dann geht der Anteil %%P(x)%% gegen %%1%%, also %%100%% %. Das heißt, nach einiger Zeit sind praktisch nur noch Blei-Kerne vorhanden und keine Kerne der beiden anderen Sorten.