Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%, eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70%. Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, 65% aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.

%%a)%% In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimmen Sie mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms

%%\alpha)%% die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;

%%\beta)%% die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.

(5 BE)

%%b)%% Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

E: "Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

F: "Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150." (3 BE)

%%c)%% Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms %%1-P(X\geq275)%%, wobei X eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern %%n=300%% und %%p=0,95%% bezeichnet. (2 BE)

%%d)%% Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Pflanze heran, die aufgrund schädlicher Einflüsse jedoch in manchen Fällen keine Gurken trägt. Bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität A entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% eine fruchttragende Pflanze, bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von 75%. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass - unabhängig von der Qualität der Samenkörner - von jeder fruchttragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können.

Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität B zu beschränken, wenn er alle Gurken zum selben Preis verkauft. (5 BE)

%%e)%% Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als 70% erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70%" auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Erstelle ein beschriftetes Baumdiagramm.

%%\alpha )%%

Um %%P(K)%% zu berechnen, musst du die beiden Pfade der Wahrscheinlichkeiten %%P(A\cap K)%% und %%P(B\cap K)%% addieren (beachte die Pfadregeln).

%%P(K)=P(A\cap K)+P(B\cap K)=0,65\cdot 0,95+0,35\cdot 0,7=0,8625%%

%%\beta)%%

Die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_K(B)%% lässt sich berechnen mit der Formel %%P_K(B)=\frac{P(K\cap B)}{P(K)}%%.

%%P(K)%% hast du in %%\alpha )%% berechnet, %%P(K\cap B)%% kannst du dem Baumdiagramm entnehmen.

%%P_K(B)=\frac{0,35\cdot 0,7}{0,8625}=\frac{98}{345}%%

Lösung zur Teilaufgabe b)

%%P(E)%%

Bei dem Experiment handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, da nur zwei Ergebnisse möglich sind (keimt und keimt nicht) und es 200 Wiederholungen des "Versuchs" gibt. Du kannst die Wahrscheinlichkeit im Tafelwerk der Stochastik nachschlagen (%%n=200%%, %%p=0,7%%, %%k=140%% bzw. %%n=200%%, %%p=0,3%%, %%k=60%%).

%%P(X=140)=B(200;0,7;140)\approx 0,0615%%

%%P(F)%%

Auch hier kannst du im Tafelwerk der Stochastik nachschlagen.

%%P(130< X\le 149)=P(X\le149)-P(X\le 130)=0,9305-0,0728=0,8577%%

Lösung zur Teilaufgabe c)

%%n=300%% bedeutet, dass du es mit einer Bernoulli-Kette der Länge 300 zu tun hast; im Sachzusammenhang heißt das, dass 300 Samenkörner untersucht werden.

Durch die Angabe der Wahrscheinlichkeit %%p=0,95%% weißt du, dass es um die Wahrscheinlichkeit dafür geht, dass ein Samenkorn der Qualität A keimt.

%%1-P(X\ge 275)=P(X < 275)=P(X \le 274)%% ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 274 von 300 Samenkörnern der Qualität A keimen.

Lösung zur Teilaufgabe d)

In Arbeit

Lösung zur Teilaufgabe e)

Führe einen Hypothesentest durch.

Stelle zunächst die Testparameter auf: %%n=100%%, %%p=0,7%%.

Die Nullhypothese %%H_0%% kannst du der Angabe entnehmen. Die Gegenhypothese %%H_1%% lautet: "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist über 70%."

%%H_0%% soll auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (unrechtmäßige Ablehnung der Nullhypothese) soll höchstens 5% sein.

%%\Rightarrow P^{100}_{0,7}(X\ge k)\le 0,05%%

Betrachte die Gegenwahrscheinlichkeit und forme um, um die Formel im Tafelwerk zu finden.

%%\Leftrightarrow 1- P^{100}_{0,7}(X< k)\le 0,05%%

%%\Leftrightarrow P^{100}_{0,7}(X\le k-1)\ge 1-0,05%%

%%\Leftrightarrow P^{100}_{0,7}(X\le k-1)\ge 0,95%%

Jetzt kannst du im Tafelwerk nachschlagen.

%%\Longrightarrow\;\; k-1=77\;\;\; \Longrightarrow\;\; k=78%%

Die Entscheidungsregel ist also:

%%A=\{0, 1, …, 77\}%%

%%\bar{A}=\{78, 79, …, 100\}%%