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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:  xxln  xf:\;x\mapsto\frac x{\ln\;x} mit Definitionsmenge R+\{1}\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von ff.

  2. 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=ex(2x+x2)f\left(x\right)=e^x\cdot(2x+x^2).

    1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion ff.

    2. Zeigen Sie, dass die in R\mathbb{R} definierte Funktion FF mit F(x)=x2exF(x)=x^2\cdot e^x eine Stammfunktion von ff ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion GG von ff an, für die G(1)=2eG\left(1\right)=2\cdot e gilt.

  3. 3

    Gegeben sind die in R\mathbb{R} definierten Funktionen ga,c:x  sin(ax)+cg_{a,c}:x\;\mapsto\sin\left(ax\right)+c mit a,cR0+a,c\in\mathbb{R}_0^+.

    1. Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für aa und einen möglichen Wert für cc so an, dass die zugehörige Funktion ga,cg_{a,c} diese Eigenschaft besitzt.

      α)\alpha) Die Funktion ga,cg_{a,c} hat die Wertemenge [0;2][0;2].

      β)\beta) Die Funktion ga,cg_{a,c} hat im Intervall [0;π]\left[0;\mathrm{\pi}\right] genau drei Nullstellen.

    2. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von aa, welche Werte die Ableitung von ga,cg_{a,c} annehmen kann.

  4. 4

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion ff.

    Bild
    1. Beschreiben Sie für axba\leq x\leq b den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von ff.

    2. Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von ff im gesamten dargestellten Bereich.


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