Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von $12$ bis $19$ Jahren mit Information und Medien untersucht. In der folgenden Tabelle werden ausgewählte Ergebnisse dieser Studie anhand einer repräsentativen Auswahl von $200$ Jugendlichen wiedergegeben, von denen $102$ Jungen sind. Dabei werden für vier Geräteklassen jeweils die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jungen unter den $200$ ausgewählten Jugendlichen angegeben, die ein entsprechendes Gerät besitzen.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den $200$ Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.(2BE)

b) Aus den $200$ Jugedlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.(2BE)

c) Begründen Sie, dass die Ereignisse "Eine aus den $200$ Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." und "Eine aus den $200$ Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." abhängig sind.(2BE)

d) Der Studie zufolge besitzen $55\%$ der Mädchen im Alter von $12$ bis $19$ ein Fernsehgerät. Geben Sie den Wert der Summe $\sum_{i=0}^{12}B(25;0{,}55;i)\;$ in Prozent an. Begründen Sie, dass dieser Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den $25$ Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzt.(3BE)

Der JIM-Studie zufolge besitzen deutliche weniger als $90\%$ der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als $90\%$ der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.

a) Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten $12$- bis $19$-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens $5\%$ betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.(4BE)

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $100$ befragten Jugendlichen genau $85$ einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.(3BE)

Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten $200$ Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.