Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|1)$, $B(2|6|1)$, $C(-4|8|5)$ und $D(-6|2|5)$ gegeben. Sie liegen in einer Ebene $E$ und bilden ein Viereck $ABCD$, dessen Diagonalen sich im Punkt $M$ schneiden.

$a)$ Begründen Sie, dass die Gerade $AB$ parallel zur $x_1x_2$-Ebene verläuft. (1 BE)

$b)$ Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von $M$. (4 BE)

$c)$ Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform. (3 BE)

$d)$ Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen, sollte die Größe des Neigungswinkels $\varphi$ des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen zwischen $30°$ und $36°$ liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. (3 BE)

$e)$ Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene $E$ verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechtwinkligen Schatten.

Zeigen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms $|\vec{AB}|\cdot\frac{|\vec{AD}|}{\cos{\varphi}}\cdot(0{,}8m)^2$ berechnet werden kann. (5 BE)

$f)$ Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels $\varphi$ gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert. Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den Punkt $A$ dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau. (4 BE)