Gegeben ist die Funktion %%f:x\mapsto\displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2}%% mit Definitionsmenge %%D_f=\mathrm{R}\setminus{\{-1\}}%%.

Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen %%G_f%% von %%f%% im I. Quadranten.

%%\quad\quad%%Graph

a)

(3 BE)

Begründen Sie, dass %%x=0%% die einzige Nullstelle von %%f%% ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von %%G_f%% an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von %%f%%, dass %%G_f%% die Gerade mit der Gleichung %%y=0%% als waagrechte Asymptote besitzt.

b)

(5 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunktes von %%G_f%%.

c)

(4 BE)

Begründen Sie, dass %%G_f%% für %%x<0%% nur im III. Quadranten verläuft, und zeichnen Sie in die Abbildung den darin fehlenden Teil von %%G_f%% ein. Berechnen Sie dazu %%f(-3)%% und drei weitere geeignete Funktionswerte von %%f%%.

d)

(3 BE)

Gegeben ist ferner die in %%]-1;+\infty[%% definierte Funktion $$F:x\mapsto4\cdot ln(x+1)+\displaystyle \frac{4}{x+1}$$

Zeigen Sie, dass %%F%% für %%x>-1%% eine Stammfunktion von %%f%% ist.

Ein Pharmaunternehmen führt eine Studie zur Wirksamkeit und Verträglichkeit eines neu entwickelten Medikaments durch. Wenn das Medikament einmalig in der Form einer Tablette eingenommen wird, kann die zeitliche Entwicklung des Wirkstoffes im Blut des Patienten modellhaft durch die betrachtete Funktion %%f%% für %%x\in[0;9]%% beschrieben werden. Dabei steht %%x%% für die Zeit in Stunden seit der Einnahme der Tablette und %%f(x)%% für die Konzentration des Wirkstoffes im Blut des Patienten (im Weiteren kurz als Wirkstoffkonzentration bezeichnet) in Milligramm pro Liter %%(\frac{mg}{l})%%.

Die folgenden Aufgaben e bis i sollen auf der Grundlage dieses Modells bearbeitet werden.

e)

(2 BE)

Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration 30 Minuten nach Einnahme der Tablette und geben Sie die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an.

f)

(3 BE)

An der Stelle %%x=2%% hat %%G_f%% einen Wendepunkt. Beschreiben Sie, wie man rechnerisch vorgehen könnte, um dies zu begründen. Geben Sie die Bedeutung der x-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang an.

In der Pharmakologie wird das in positive x-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen %%G_f%% und der x-Achse befindet, als AUC ("area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion %%f%% die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte %%x%% realistisch beschreiben.

g)

(4 BE)

Die x-Achse, %%G_f%% und die Gerade %%x=b%% mit %%b\in\mathrm{R}^+%% schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt %%A(b)%% ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe %%d%% angegebenen Stammfunktion %%F%% einen Term für %%A(b)%% und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion %%f%% auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.

Das Medikament zeigt die gewünschte Wirkung erst ab einer bestimmten Wirkstoffkonzentration. Daher soll der Patient nach der ersten Tablette des Medikaments eine zweite identisch wirkende Tablette einnehmen, noch bevor die Konzentration des Wirkstoffs im Blut unter %%0,75\frac{mg}{l}%% fällt. Nach der Einnahme der zweiten Tablette erhöht sich die Wirkstoffkonzentration um die durch diese Tablette verursachte Konzentration des Wirkstoffs im Blut.

h)

(4 BE)

Ermitteln Sie durch Rechnung den spätesten Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.

i)

(3 BE)

Wird die zweite Tablette zweieinhalb Stunden nach der ersten Tablette eingenommen, so kann die Wirkstoffkonzentration für %%x\in [2,5;9]%% mit einem der folgenden Terme beschrieben werden. Wählen Sie den passenden Term aus und begründen Sie Ihre Wahl.

%%\quad(A)\quad f(x)+f(x+2,5)%%

%%\quad(B) \quad f(x)+f(x-2,5)%%

%%\quad(C)\quad f(x-2,5)+f(2,5)%%

%%\quad (D) \quad f(x)-f(x-2,5)%%

Verabreicht man das Medikament nicht in der Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in %%\mathrm{R}%% definierte Funktion %%k:x\mapsto \displaystyle \frac{3\cdot e^{2x}}{e^{2x}+1}-1,5%% beschreibt für %%x\geq0%% modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist %%x%% die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und %%k(x)%% die Wirkstoffkonzentration in %%\frac{mg}{l}%%.

j)

(4 BE)

Begründen Sie, dass der Graph von %%k%% streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: %%\quad k'(x)=\frac{6 e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}%%)

k)

(5 BE)

Bei Dauerinfusion dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als %%0,75\frac{mg}{l}%% sein und stets mindestens 25% unter der gesundheitsschädlichen Grenze von %%2\frac{mg}{l}%% liegen. Ermitteln Sie %%\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}k(x)%% und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

In dieser Abituraufgabe wird die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments anhand einer gebrochen-rationalen Funktion und einer e-Funktion modelliert.

Lösung Teilaufgabe a)

a)

(3 BE)

Gegeben: $$f:\;f(x)=\displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2};\quad D_f=\mathrm{R}\setminus{\{-1\}}$$

%%x=0%% ist die einzige Nullstelle von f, da der Quotient %%\displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2}%% nur Null wird, wenn der Zähler %%0%% ist.

Formale Berechnung der Nullstelle(n):

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2}&=&0&\;|\cdot (x+1)^2\\ 4x&=&\color{red}{0}&\;:4\\ x&=&0\end{array}%%

Angabe der senkrechten Asymptote von %%G_f%%:

Die Funktion %%f%% hat (nur) für %%x=-1%% einen (geraden) Pol. Die Gleichung der senkrechten Asymptote des Graphen %%G_f%% lautet also %%x = -1.%%

Formaler Nachweis des Polverhaltens der Funktion %%f%%:

linksseitige Annäherung an %%x=-1%%:

%%\displaystyle \lim_{h\to 0}f(-1\color{red}{-}h)= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\overbrace{4(-1-h)}^\color{red}{\text{negativ}\to-4}}{\underbrace{(-h)^2}_\color{red}{\text{positiv}\to+0}}=\color{red}{-}\infty%%

rechtsseitge Annäherung an %%x=-1%%:

%%\displaystyle \lim_{h\to 0} f(-1 \color{red}{+}h)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\overbrace{4(-1+h)}^\color{red}{\text{negativ}\to-4}}{\underbrace{(+h)^2}_\color{red}{\text{positiv}\to+0}}=\color{red}{-}\infty%%

Das rechnerische Ergebnis der beidseitigen Annäherung an die Stelle %%x=-1%% bestätigt das Vorliegen einer geraden Polstelle mit %%f(x)\to -\infty%%.

Begründung der waagrechten Asymptote %%y=0%% für %%x\to \pm\infty%%:

Die Funktion %%f%% ist eine echt gebrochen rationale Funktion (der Grad des Zählers ist 1; der Grad des Nenners ist 2) und der Graph hat deshalb die x-Achse als waagrechte Asymptote.

Eine rechnerische Grenzwertüberlegung führst du folgendermaßen durch:

Es gilt:

%%f(x)=\displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2}=\frac{4x}{x^2+2x+1}%%

Du kannst jetzt beide Grenzwertbetrachtungen (für %%x\to +\infty%% und für %%x\to - \infty%%) "in einem Zug" durchführen:

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle \lim_{x\to \color{red}{\pm}\infty}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{4x}{x^2+2x+1}&|\text{kürzen durch x^2}\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}\\ &=&\displaystyle \frac{\color{red}{0}}{1+\color{red}{0}+\color{red}{0}}\\ &=&0\end{array}%%

Prüfungshinweis

Da die Teilaufgabe a lediglich 3 BE erbringt, wirst du davon ausgehen können, dass in der Abiturprüfung die ausführlichen rechnerischen Begründungen für die drei zu gebenden Antworten nicht erwartet werden.

Lösung Teilaufgabe b)

b)

(5 BE)

In der Teilaufgabe ist Lage und die Art des Extremums des Graphen %%G_f%% der gebrochenrationalen Funktion %%f%% zu bestimmen. Dazu verwendest du die Quotientenregel und die Kettenregel.

Lage des Extremums

Bilde die 1. Ableitung der Funktion %%f%%.

Zur Berechnung der Ableitung kannst du die Quotientenregel benutzen.

Gegeben ist:

%%f(x)=\displaystyle \frac{4x}{(2x+1)^2}; \;D_f=\mathrm{R}\setminus{\{-1\}}\quad \Rightarrow%%

%%\begin{array}{rcll} f'(x)&=&\displaystyle \frac{4\cdot (x+1)^2-\overbrace{2(x+1)}^{\color{red}{\text{Kettenregel}}}\cdot 4x}{\underbrace{(x+1)^4}_{\color{red}{\text{Quotientenregel}}}}\\ &=&\displaystyle \frac{4(x^2+2x+1)-8x^2-8x}{(x+1)^4}\\ &=&\displaystyle \frac{4x^2+8x+4+4-8x^2-8x}{(x+1)^4}\\ &=&\displaystyle \frac{-4x^2+4}{(x+1)^4}\\ &=&4\displaystyle \cdot \frac{1-x^2}{(x+1)^4}|\;\text{binomische Formel}\\ &=&4\cdot \displaystyle \frac{(1-x)(1+x)}{(x+1)^4}\;|\text{kürzen}\\&=&4\cdot \displaystyle \frac{1-x}{(x+1)^3}\end{array}%%

Setze %%f'(x)%% gleich Null und löse die Gleichung:

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle 4\cdot \frac{1-x}{(x+1)^3}&=&0&|\;\cdot (x+1)^3\\ 4\cdot(1-x)&=&\color{red}{0}&|\;:4\\ 1-x&=&0\\ x&=&1\end{array}%%

Setze %%x=1%% in %%f(x)%% ein, um die 2. Koordinate des möglichen Extremums zu erhalten:

%%f(1)=\displaystyle \frac {4\cdot1}{(1+1)^2}=1%%

Der Punkt %%M(1|1)%% ist ein mögliches lokales Extremum von %%G_f%%.

Art des Extremums

%%M(1|1)%% ist ein lokales Maximum.

Begründung:

Es ist %%f(0)=0%% die einzige Nullstelle und für alle positiven %%x%% ist %%f(x)%% positiv mit %%\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=0%%. Dann ist die einzige Stelle mit waagrechter Tangente ein lokales Maximum des Graphen.

Alternative Begründung

Du kannst auch den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung heranziehen:

%%f'(x)=4\cdot\displaystyle \frac{1-x}{(x+1)^3}%%

Für ein %%x_0%% (etwas) kleiner als %%1%% gilt %%f'(x_0)>0%%, da dann Zähler und Nenner positiv.

Für ein %%x_0%% (etwas) größer als %%1%% gilt %%f(x_0)<0%%, da der Zähler dann negativ, der Nenner aber positiv ist.

Damit wechseln die Funktionswerte von %%f'%% beim Durchgang von links nach rechts bei %%x=1%% ihr Vorzeichen von plus nach minus.

Für %%x=1%% ergibt sich also ein lokales Maximum.

Prüfungshinweis

Für die gestellte Aufgabe sind die beiden aufgezeigten Lösungswege (Betrachtung von Funktionswerten oder Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung) die zweckmäßigsten Vorgehensweisen, um die Art des vorliegenden Extremums zu begründen.

Weniger empfehlenswert - weil zeitaufwendig und störanfällig - ist es, die 2. Ableitung heranzuziehen. Insbesondere deswegen, weil auch im weiteren Verlauf der Aufgabenstellung die 2. Ableitung nicht explizit nötig ist. Selbst in der Teilaufgabe %%f%% nicht.

Zur Ermittlung der Art des Punktes mit waagrechter Tangente kannst du - notfalls - auch die 2. Ableitung von %%f%% heranziehen.

%%f'(x)=\displaystyle 4\cdot\frac{1-x}{(x+1)^3}\quad\Rightarrow%%

%%\begin{array}{rcll} f''(x)&=& 4\cdot \underbrace{\frac{-1 \cdot (x+1)^3-(1-x) \cdot \overbrace{3(x+1)^2}^{\color{red}{Kettenregel}}}{(x+1)^6}}_{\color{red}{\text{Quotientenregel}}}\\ &=&4\cdot\displaystyle \frac{(x+1)^2[-x-1-3+3x]}{(x+1)^6}\\ &=&4 \cdot \displaystyle \frac{(x+1)^2(2x-4)}{(x+1)^6}\\ &=&8\cdot \displaystyle \frac{x-2}{(x+1)^4}\end{array}%%

Setze die x-Koordinate des Punktes %%M(1|1)%% in %%f''(x)%% ein:

%%f''(1)=8\cdot \displaystyle \frac{1-2}{(1+1)^4}\color{red}{<}0\;\Rightarrow\;%%

%%M(1|1)%% ist ein lokales Maximum.

Lösung Teilaufgabe c)

c)

(4 BE)

Mit %%\;f(x)=\displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2}%% ist für negative %%x%% der Funktionsterm negativ, da der Zähler dann negativ, der Nenner aber positiv ist.

Der Graph %%G_f%% verläuft also für negative x-Werte im III. Quadranten.

Für die gewählten Punkte mit %%x=-0,5%%, %%x=-3%%, %%x=-4%% und %%x=-6%% erhältst du:

%%f(-0,5)=-8,\;%% %%f(-3)=-3%% %%f(-4)\approx-1,78\,,%% %%f(-6)=-0,96%%

Der Graph %%G_f%% mit den Punkten %%A,B,C,D%%

Graph

Lösung Teilaufgabe d)

d)

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion$$F:x\mapsto4\cdot ln(x+1)+\frac{4}{x+1}$$

mit %%D_F=]-1;+\infty[%%

%%F%% ist dann für %%x>-1%% eine Stammfunktion, wenn für dieses Intervall gilt: %%F'(x)=f(x)%%.

%%\begin{array}{rcll} F'(x)&=&4\cdot \displaystyle \frac{1}{x+1}\cdot 1+\frac{0\cdot (x+1)-4\cdot 1}{(x+1)^2}\\ &=&\displaystyle \frac{4}{x+1}-\frac{4}{(x+1)^2}\;|\text{Hauptnenner}\\ &=&\displaystyle\frac{4(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{4}{(x+1)^2}\\ &=&\displaystyle\frac{4x}{(x+1)^2}\;=f(x)\end{array}%%

Damit ist gezeigt, dass %%F%% für %%x>-1%% eine Stammfunktion von %%f%% ist.

Lösungen der Teilaufgaben e) - i)

In diesen Teilaufgaben modelliert die Funktion %%f(x);\,D_f=[0;9]%% mit ihren Funktionswerten Wirkstoffkonzentrationen einer Tablette in Abhängigkeit vom Zeitverlauf %%x%% in Stunden.

e)

(2 BE)

Zu berechnen ist %%\,f(x)%% für %%x=0,5%% und anzugeben ist das Maximum von %%f%% in der Einheit %%\frac{mg}{l}%%.

%%f(0,5)=\displaystyle \frac{4\cdot 0,5}{(0,5+1)^2}\approx0,89%%.

Ergebnis:

30 Minuten nach Einnahme einer Tablette beträgt die Wirkstoffkonzentration des Medikaments rund %%0,89\,\frac{mg}{l}%%.

Die maximale Wirkstoffkonzentration wird im Extremum des Graphen von %%f%%, also nach einer Stunde mit einer Konzentration von %%1\,\frac{mg}{l}%% erreicht.

f)

(3 BE)

Den Nachweis, dass für %%x=2%% der Graph %%G_f%% einen Wendepunkt hat, führst du rechnerisch indem du die 2. Ableitung von %%f%% berechnest und feststellst, dass diese für %%x=2%% Null wird. Zusätzlich zeigst du, dass die 2. Ableitung für %%x=2%% ihr Vorzeichen wechselt oder du überprüfst, ob die 3. Ableitung von %%f%% für %%x_2%% von Null verschieden ist.

Im Sachzusammenhang der Aufgabe gibt die x-Koordinate des Wendepunkts die größte lokale Änderungsrate an. Also ist nach 2 Stunden der Zeitpunkt der maximalen Abnahme der Wirkstoffkonzentration erreicht.

g)

(4 BE)

Fläche

Die Aufgabe zielt auf die Untersuchung, ob der Grenzwert %%\displaystyle \lim_{b\to\infty}A(b)%% endlich ist.

%%\begin{array}{rcll} A(b)&=&\displaystyle \int_0^bf\left(x\right)\mathrm{dx}\\ &=&\big[4\cdot ln(x+1)+\displaystyle \frac{4}{x+1}\big]_0^b\\ &=&4\cdot ln(b+1)+ \displaystyle \frac{4}{b+1}-\big(4\cdot ln(0+1)+\frac{4}{0+1}\big)\\ &=&4\cdot ln(b+1)+\displaystyle \frac{4}{b+1}-4\end{array}%%

Berechne jetzt den Grenzwert für %%b\to+\infty%%:

%%\begin{align} \displaystyle\lim_{b\to +\infty}A(b)&=\displaystyle \lim_{b\to + \infty}(4\cdot \underbrace{ln(b+1)}_{\to + \infty}+\displaystyle \frac{4}{\underbrace{b+1}_{\to 0}}-4)\\ &=+\infty\end{align}%%

Ergebnis:

Da der Flächeninhalt %%A(b)%% bei %%b\to +\infty%% nicht endlich ist, eignet sich die Funktion %%f%% nicht als Modellierung für große Zeitwerte.

h)

(4 BE)

Du musst feststellen, ab welchem x-Wert die Funktion %%f%% in ihrem monoton fallenden Bereich kleiner als %%0,75%% wird.

Schneide dazu den Graphen von %%f%% mit der Geraden %%y=0,75%%.

%%\begin{align} \displaystyle \frac{4x}{(1+x)^2}&=\frac34\quad|\,\cdot 4(1+x)^2\\ 16x&=3\cdot(1+x)^2\quad|\,\mathrm {ordnen}\\ \end{align}%%

%%\begin{align} 3x^2-10x+3&=0\quad|\,\mathrm{Mitternachtsformel}\\ x_{1/2}&=\displaystyle \frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6}\\ x_{1/2}&=\displaystyle\frac{10\pm8}{6}\\ x_1&=3\\ x_2&=\displaystyle \frac13\end{align}%%

%%x_2=\frac13%% scheidet aus, da hierfür %%f%% steigend ist.

Ergebnis:

Die zweite Tablette muss nach spätestens drei Stunden eingenommen werden.

Siehe die nachfolgende Zeichnung.

Graphik

i)

(3 BE)

Der passende Term ist der Term %%f(x)+f(x-2,5)%%.

Begründung:

Im Intervall%%\;x\in[2,5;9]\,%% wird die gemeinsame Wirkstoffkonzentration beider Tabletten durch die Summe der Funktion %%f%% und der um 2,5-Längeneinheiten nach rechts verschobenen Funktion von %%f%% erfasst.

Graph

Lösungen Teilaufgaben j) - k)

In diesen Teilaufgaben modelliert die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%k:x\mapsto\displaystyle \frac{3\cdot e^{2x}}{e^{2x}+1}-1,5%% für %%x\geq0%% die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration einer Dauerinfusion.

j)

(4 BE)

Du zeigst, dass der Graph von %%k%% streng monoton steigend ist, indem du nachweist, dass %%k'(x)>0%% für alle %%x\in\mathbb{R}%%.

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel die 1. Ableitung von %%k%%.

%%\displaystyle k(x)=\frac{3\cdot e^{2x}}{e^{2x}+1}-1,5\quad\Rightarrow%%

%%\begin{align} k'(x)&=\displaystyle \frac{3e^{2x}\cdot 2 \cdot (e^{2x}+1)-3e^{2x}\cdot (e^{2x}\cdot 2 + 0)}{(e^{2x}+1)^2}\\ &=\displaystyle \frac{6e^{2x}\cdot (e^{2x}+1)-6e^{2x}\cdot e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\end{align}\\ % %%

%%\begin{align} k'(x)&=\displaystyle \frac{6e^{2x}\cdot (e^{2x}+1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}\\ &=\displaystyle\frac{6e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\color{red}{>0}\end{align}%%

Begründung:

%%k'(x)%% ist für alle %%x\in \mathbb{R}\;%%positiv, da - unter Beachtung des positiven Verlaufs von %%e^{2x}%% Zähler und Nenner des Quotienten positiv sind.

Folglich ist der Graph von %%k%% in %%\mathbb{R}%% streng monoton steigend.

k)

(5 BE)

Darum geht es:

Wirkstoffkonzentration "spätestens nach 1 Stunde dauerhaft größer als %%0,75\,\frac{mg}{l}%%" bedeutet, du musst zeigen, dass %%k(x)%% größer als %%0,75 \,\frac{mg}{l}%% für alle %%x>1%% ist.

Wirkstoffkonzentration "stets mindestens 25% unter der schädlichen Grenze von %%2\,\frac{mg}{l}%%" bedeutet, zu keiner Zeit %%x%% darf eine Konzentration von %%0,75\cdot 2\,\frac{mg}{l}=1,5\frac{mg}{l}%% erreicht werden.

Zusammenfassend ist zu zeigen, dass für %%1<x<+\infty%% gilt %%0,75<k(x)<1,5%%.

Zunächst gilt:

%%k(1)=\displaystyle \frac{3\cdot e^{2\cdot 1}}{e^{2\cdot 1}+1}-1,5\;\approx\;1,14\;\color{red}{>}\;0,75%%

Da %%k%% monoton steigend ist, musst du noch den Grenzwert %%\displaystyle \lim_{x\to+\infty}k(x)%% berechnen.

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle \lim_{x\to+\infty}k(x)&=&\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to + \infty}\frac{\overbrace{3\cdot e^{2x}}^{\to + \infty}}{\underbrace{e^{2x}+1}_{\to + \infty}}-1,5&\,|\;e^{2x}\,\text{kürzen}\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\frac{3}{1+\underbrace{\frac{1}{e^{2x}}_{\to 0}}}- 1,5\\ &=&3-1,5\\ &=&1,5\end{array}%%

Bild

Ergebnis:

Die Rechenergebnisse bestätigen und die Graphik unterstreicht, dass die Modellierung der Dauerinfusion durch die gegebene Funktion %%k%% die gestellten Bedingungen erfüllt.