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1Lösung 1c

Aufgabenstellung

11 In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A(633)A(6|3|3), B(363)B(3|6|3) und C(336)C(3|3|6) das gleichseitige Dreieck ABCABC fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABCABC liegt, in Normalform.

 

Spiegelt man die Punkte AA, BB und CC am Symmetriezentrum Z(333)Z(3|3|3), so erhält man die Punkte AA', BB' bzw. CC'.

 

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte AA, BB und ZZ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [CC][CC'] senkrecht auf diese Ebene steht.

c) Begründen Sie, dass das Viereck ABABABA' B' ein Quadrat mit der Seitenlänge

323\sqrt 2 ist.

Lösung

Bestimme AA' und BB'

A(633)A(6|3|3), B(363),Z(333)B(3|6|3), Z(3|3|3)

Bilde die Vektoren AZ\overrightarrow{AZ} und BZ\overrightarrow{BZ}.

AZ=(300)\overrightarrow{AZ}=\begin{pmatrix} -3\\0\\0\end{pmatrix}, BZ=(030)\overrightarrow{BZ}=\begin{pmatrix} 0\\-3\\0\end{pmatrix}

Um zu spiegeln, setze die Vektoren AZ\overrightarrow{AZ} und BZ\overrightarrow{BZ} an den Punkt ZZ.

A=Z+AZ=(333)+(300)=(033)\overrightarrow{A'}=\overrightarrow{Z} + \overrightarrow{AZ}= \begin{pmatrix} 3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\\3\end{pmatrix}

 

B=Z+BZ=(333)+(030)=(303)\overrightarrow{B'}=\overrightarrow{Z} + \overrightarrow{BZ}= \begin{pmatrix} 3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\-3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\0\\3\end{pmatrix}

Spiegeln an z

Berechne die Seitenlängen des Quadrats

A(633)A(6|3|3), B(363)B(3|6|3)

 

A(033)A'(0|3|3), B(303)B'(3|0|3)

Ein Quadrat ist festgelegt durch zwei benachbarte, gleich lange Seiten und einen rechten Winkel zwischen diesen. Verwende AB\overrightarrow{AB} und AB\overrightarrow{AB'}.

AB=(330)\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}

 

AB=(360333)=(330)\overrightarrow{AB'}=\begin{pmatrix} 3-6\\0-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\-3\\0\end{pmatrix}

Berechne die Längen der Vektoren.

AB=(3)2+32+02=18=32AB=(3)2+(3)2+02=18=32\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overline{AB} &= &\sqrt{(-3)^2+3^2+0^2} \\&= &\color{#CC0000}{\sqrt{18}} = \color{#CC0000}{3\sqrt{2}} \\\overline{AB'} &= &\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2} \\&= &\color{#CC0000}{\sqrt{18}}=\color{#CC0000}{3\sqrt{2}}\\\qquad\end{array}

 

Die Seiten sind gleich lang! Um auszuschließen, dass es sich nur um eine Raute aber nicht um ein Quadrat handelt, berechne den das Skalarprodukt zum Nachweis eines rechten Winkels.

 

ABAB=03(3)+3(3)+00=00=0ABAB\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AB'} &= &0 \\-3\cdot (-3)+3\cdot (-3)+0\cdot 0 &= &0 \\0 &= &0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'}\end{array}

 

Somit ist ABABABA'B' ein Quadrat.


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