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$$F'(x)=\left(\frac14x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)'=f(x)$$

$$=\left(\frac14x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)'$$

Wende die Produktregel an und achte beim Logarithmus auf Nachdifferenzieren.

$$=\frac12x\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)+\frac14x^2\cdot\left(2\cdot\frac1x-0\right)$$

Vereinfache.

$$=\frac12x\cdot2\ln\left(x\right)-\frac12x+\frac12x$$

Vereinfache.

$$= x\cdot\ln\left(x\right)=f(x)$$

Die gesuchte Stammfunktion, die ihre Nullstelle bei %%x=1%% hat, soll hier mit %%F_1%% bezeichnet werden.

Da %%F%% und %%F_1%% beide Stammfunktionen von %%f%% sind, unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, das heißt, es gilt:

%%F_1(x)=F(x)+C%% für ein festes %%C\in \mathbb R%%.

Verwende nun die Bedingung, dass %%F_(1)=0%% ist, um %%C%% herauszufinden:

%%\begin{array}{rcl} 0 &=&F_1(x) \\ 0&=&F(1)+C \\ 0&=&\frac14\cdot(1)^2\cdot\left(2\ln\left(1\right)-1\right)+C\\ 0&=& -\frac{1}{4}+C\\ \frac{1}{4}&=&C \end{array}%%

Der Funktionterm lautet also:

%%F_1(x)=\left(\frac14x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)+\frac{1}{4}%%