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Die zweite Ableitung

Für die Lösung dieser Aufgabe, solltest du die Produktregel beherrschen und die Krümmung eines Funktionsgraphen bestimmen können.

Zunächst bestimmen wir die 1. Ableitung der Funktion f. Wobei f gegeben ist durch %%f:\;x\;\mapsto x\;\cdot\;\sin x%%.

%%f'(x)\;=\;\lbrack x\;\cdot\;\sin x\rbrack'\;=%%

Im ersten Schritt wendest du die Produktregel an.

%%=\;1\;\cdot\;\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x=%%

Nun vereinfachst du.

%%=\;\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x\;%%

Folglich lautet die erste Ableitung von f: %%\;f'(x)\;=\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x%%

Nun bestimmst du die 2. Ableitung.

%%f''(x)\;=\;\lbrack\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x\rbrack'\;=%%

Wende die Produktregel an.

%%=\;\cos x\;+\;1\;\cdot\;(\cos x)\;+\;x\;\cdot\;(-\sin x)\;=%%

Vereinfache.

%%\;=\cos x\;+\;\cos x\;-\;x\;\cdot\;\sin x\;=%%

Fasse die beiden cos(x) zusammen.

%%\;=2\;\cdot\;cosx\;-\;x\;\cdot\;\sin x\;%%

Somit lautet die zweite Ableitung %%\;f''(x)\;=\:2\;\cdot\;\cos x\;-\;x\;\cdot\;\sin x%%

Nun bestimmst du noch %%f''(0)%%, indem du %%0%% in die zweite Ableitung einsetzt.

%%f''(0)\;=\;2\;\cdot\;\cos(0)\;-\;0\;\cdot\;\sin(0)\;=%%

Rechne den Sinus und den Cosinus um.

%%=\;2\;\cdot\;1\;-\;0\;=%%

Berechne.

%%=\;2%%

Im letzten Schritt gibst du das Krümmungsverhalten des Graphen von f in der Nähe des Koordinatenursprungs an.

Da %%f''(0)\;=\;2\;%% und %%f''(x)\;=\:2\;>\;0%% ist f in der unmittelbaren Umgebung von %%0%% linksgekrümmt.