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Teilaufgabe a)

schnittpunkt zweier Graphen

Teilaufgabe b)

Diese Aufgabenstellung sieht zur Bestimmung des Schnittpunktes das Newton-Verfahren vor.

In der Aufgabenstellung ist die Funktion %%d(x)\;=\;g(x)\;-\;h(x)%% und der Startwert %%x_0=1\;%% gegeben.

%%d(x)\;=g(x)\;-\;h(x)=\;e^{-x}\;-\;x^3\;%%

mit der Ableitung %%\;d'(x)\;=\:-\;e^{-x}\;-\;3x^2%%

Nun beginnen wir mit der Interation, indem wir den Startwert einsetzen:

%%x_1\;=\;x_0\;-\frac{d(x_0)}{d'(x_0)}\;=%%

Im ersten Schritt setzt du den Startwert %%x_0%%, die Funktion %%d(x_0)%% und die Ableitung am Startwert %%d'(x_0)%% ein.

%%1\;-\;\frac{e^{-1}-\;1^3}{-e^{-1}-\;3\;\cdot\;1^2} =%%

Nun vereinfachst du alle Potenzen.

%%1\;-\;\frac{{\displaystyle e^{-1}}-\;1}{-{\displaystyle e^{-1}}-\;3\;}=%%

Ziehe %%(-1)\;%% aus dem Nenner heraus.

%%1+\frac{{\displaystyle e^{-1}}-1}{e^{-1}+3}%%

Runde das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners.

%%\Rightarrow x_1\approx\;0,8123%%

%%x_2=x_1-\frac{d(x_1)}{d'(x_1)}= 0,8123-\frac{e^{-0,8123}-(0,8123)^3}{-e^{-0,8123}-3\cdot0,8123^2}\approx0,7743%%

%%x_3\;=0,7743-\frac{e^{-0,7743}-(0,7743)^3}{-e^{-0,7743}-3\cdot0,7743^2}\;\approx0,7729%%

Wir haben nun die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt. Die Nullstelle hat näherungsweise die Koordinaten %%(0,77/0)%%.