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Teilaufgabe a)

Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (da nur die Farbe der Kugeln entscheidend ist). Insgesamt befinden sich in der Urne 9 Kugeln, wobei 3 gezogen werden und der Gewinnfall eintritt, falls alle 3 Kugeln die gleiche Farbe haben. Berechne die Wahrscheinlichkeit durch Teilen der günstigen Fälle durch alle Fälle (Laplace-Wahrscheinlichkeit).

%%\mathrm{P(Gewinn)}=\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"rot"}}+\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"grün"}}+\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"blau"}}=%%

Rechne aus.

%%=\frac{1}{84}+\frac{1}{84}+\frac{1}{84}=\frac{3}{84}=\frac{1}{28}%%

Teilaufgabe b)

Aus Teilaufgabe a) ist bekannt, dass der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von %%\frac{1}{28}%% gewinnt, d.h. er verliert mit Wahrscheinlichkeit %%\frac{27}{28}%%. Falls er verliert, gewinnt das Krankenhaus 2€ (den Einsatz des Spielers) für die Ausstattung des Spielbereichs. Falls er gewinnt, muss das Krankenhaus einen Betrag (den Gewinn) an den Spieler zahlen, bezeichne diesen Betrag mit %%G%%. Stelle nun die Gleichung für den Erwartungswert (EW) auf.

%%EW= 2\cdot \frac{27}{28} - G \cdot \frac{1}{28}%%

Setze den Erwartungswert gleich 1,25.

%%1,25= 2\cdot \frac{27}{28} - G \cdot \frac{1}{28}%%

%%\mid + G \cdot \frac{1}{28}-1,25%%

Schreibe 1,25 als Bruch (%%\frac54%%).

%%G\cdot \frac{1}{28}=\frac{54}{28}-\frac54%%

Erweitere den Bruch %%\frac54%%.

%%G\cdot \frac{1}{28}=\frac{54}{28}-\frac{35}{28}%%

%%G\cdot \frac{1}{28}=\frac{19}{28}%%

%%\Rightarrow G=19%%

Im Falle eines Gewinns müssen also 19 € ausbezahlt werden um im Mittel 1,25 € für die Ausstattung des Spielbereichs zu erhalten.