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Teilaufgabe a)

Gegeben ist die Nullhypothese %%H_0: \mathrm{p\leq 0,5}%% bei einer Stichprobe von n=200. Entsprechend ist die Gegenhypothese %%H_1: p \geq 0,5%%. Die Nullhypothese wird somit bei allen Ergebnissen die kleiner gleich als der Wert k sind, den die Entscheidungsregel angibt angenommen und bei allen Werten die größer als k sind verworfen. Es wird auf einem Signifianzniveau von 5% getestet, dies bedeutet, dass der Fehler 1.Art kleiner gleich als 5% sein soll. Bezeichne mit %%\mathrm X%% die Anzahl der Befragten, die angeben für den Kandidat von Partei A zu stimmen. Die Angaben sind in der folgenden Tabelle nochmal in übersichtlicher Form dargestellt:

%%H_0%% wird angenommen

%%H_1%% wird angenommen(%%H_0%% wird verworfen)

%%0 \dots k%%

%%k+1 \dots 200%%

%%H_0: p\leq 0,5%%

%%Fehler \;1.Art \;\leq 0,05%%

%%H_1: p> 0,5%%

Bestimme nun die Entscheidungsregel. Schreibe dazu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.Art als Gleichung:

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm{X}> k)\leq 0,05%%

Schreibe die Wahrscheinlichkeit in Form des Gegenereignisses, sodass die Wahrscheinlichkeit aus dem Tafelwerk der Stochastik abgelesen werden kann.

%%1-\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq k) \leq 0,05%%

Stelle die Gleichung um.

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq k)\geq 0,95%%

Bestimme den kleinsten k-Wert, sodass die Wahrscheinlichkeit gerade noch über 0,95 liegt.

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq 111)= 0,94947%%

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq 112)= 0,96158%%

%%\Rightarrow k=112%%

Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt: Bei 112 oder weniger Befragten, die den Kandidat von Partei A wählen, wird die Nullhypothese angenommen, bei 113 oder mehr wird sie verworfen.

Teilaufgabe b)