Aufgaben

Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.

Zu text-exercise-group 15383: Zu kompliziert? g? h?
CutterSlade 2015-03-26 16:54:35
Lösung zu Aufgabe a) : Ich glaube die erste Übungsaufgabe sollte keine abstrakt abzuleitenden Therme (sin, cos) enthalten, sondern nur wie im Artikel zur Kettenregel (x-1)² oder so zur Wiederholung und Verinnerlichung des Konzepts. Außerdem enthält die Aufgabe gleich eine doppelt verschachtelte/verkettete innere und äußere Ableitung, wenn ich das richtig verstanden habe. Diese Aufgabe sollte daher eine der letzten in dieser Liste sein. Wo kommen plötzlich g und h her? Dienen die der Verdeutlichung der doppelten Verkettung? Beziehen sich u(x)=cos(x) und v(x)=sin(x) (Zeilen 6,7 der Lösung) auf die Originalfunktion oder auf g(x), h(x) oder g'(x) aus Zeile 2,3 und 5 der Lösung? Vielleicht sollten hier noch einmal Pfeile zur Verdeutlichung genutzt werden? Ich bin jetzt ziemlich verwirrt, zu viele Klammern :D!
Nish 2015-03-31 13:52:36
Hallo ClutterSlade,
danke dir erstmal für deine Mitarbeit. Ich gebe dir recht, dass die Aufgabe eher weiter unten sein sollte. Ich kümmere mich darum. Ich werde auch die Lösung umschreiben, dass es hoffentlich verständlicher wird. u und v beziehen sich auf h(x). Was der Ersteller dieser Lösung macht, ist, dass er h(x) mit u(x) und v(x) in h(x)=u(v(x)) umzuschreibt, um erneut die Kettenregel anzuwenden. Also definiert er zunächst g und h um f in f(x)= g(h(x)) darzustellen und Kettenregel anzuwenden. Dann u und v um h darzustellen und Kettenregel zu verwenden. Also führt er die Funktionen g, h, u und v ein, um aufzuzeigen, dass f bzw. h eine verkettete Funktion ist und die Kettenregel verwendet werden kann.
Viele Grüße,
Nish
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%%f\left(x\right)=\sqrt{x^3}%%

Ableitung mit der Kettenregel

Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.

%%f\left(x\right)=\sqrt{x^3}%%

Finde die einzelnen Funktionen

Hinweis

%%\sqrt{x^3}%% kannst du auch als %%x^{\frac32}%% schreiben. Dann kannst du die Formel für die Ableitung von %%x^n%%, die auch für rationale Exponenten gilt, verwenden. Du erhälst natürlich das gleiche Ergebnis und es geht schneller. Daher solltest du die Kettenregel als Alternativlösung im Hinterkopf behalten, falls du mal die Formel für die Ableitung von %%x^n%% vergessen solltest ;)

%%\begin{align} g\left(x\right)&=\sqrt x\\ h\left(x\right)&=x^3 \end{align}%%

%%\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Finde die einzelnen Ableitungen

%%g'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}\\ h'\left(x\right)=3x^2%%

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&\frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot3x^2\\ &=&\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}%%

Am Ende könntest du noch vereinfachen

%%f'\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x^4}{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}%%

%%f(x) = \sqrt{2x^{-3}}%%

Ableitung mit der Kettenregel

Informationen zur Anwednung der Regel findest Du im Artikel Kettenregel.

%%f(x) = \sqrt{2x^{-3}}%%

Finde die einzelnen Funktionen

Hinweis

%%x^{-3}%% kann auch als %%\frac{1}{x^3}%% geschrieben werden.

%%g(x) = \sqrt{x}%%

%%h(x) = \frac{2}{x^3}%%

%%\Rightarrow f(x) = g(h(x))%%

Finde die einzelnen Ableitungen

%%g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}%%

%%h'(x) = -\frac{6}{x^4}%%

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein

%% \begin{equation} f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{h(x)}} \cdot \frac{-6}{x^4} = \frac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}} = \frac{-3}{\sqrt{2x^5}} \end{equation}%%

Am Ende könntest Du noch vereinfachen

%%f(x) = e^{x^3}%%

Ableitung mit der Kettenregel

Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.

%%f \left( x \right) = e^{x^3}%%

Finde die einzelnen Funktionen

%%g \left( x \right) = e^x%% %%h \left( x \right) = x^3%% %%\Rightarrow f \left( x \right) = g \left( h \left( x \right) \right)%%

Bestimme die einzelnen Ableitungen

%%g'\left( x\right) = e^x%% %%h' \left( x \right) = 3 x^2%%

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&e^{x^3} \cdot 3x^2\end{array}%%

%%f(x)=\ln(x^2+4)%%

Ableitung mit der Kettenregel

Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.

$$f(x)=ln\left(x^2+4\right)$$

Finde die einzelnen Funktionen

$$g\left(x\right)=ln\left(x\right)$$ $$h\left(x\right)=x^2+4$$ $$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$$

Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen

$$g'\left(x\right) = \frac{1}{x}$$ $$h'\left(x\right) = 2x$$

Setze nun alles benötigte in die Formel ein

%%\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&\frac{1}{h\left(x\right)}\cdot2x\\ &=&\frac{2x}{x^2+4}\end{array}%%

Bestimme die Ableitung der Funktion %%f%% :

Zu text-exercise-group 91916:
Nish 2018-07-18 21:15:05
Feedback
Alle Teilaufgaben sollten nochmals nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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%%f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)%%

Ableitung mit der Kettenregel

Thema dieser Aufgabe ist die Verwendung der Kettenregel.

%%f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)%%

Zerlege %%f%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

%%g\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\ h\left(x\right)=x^2%%

%%\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Berechne die einzelnen Ableitungen.

%%g'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\\ h'\left(x\right)=2x%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

%%\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&-\sin\left(x^2\right)\cdot 2x\\ &=&-2x\sin\left(x^2\right) \end{array}%%

%%f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2%%

Ableitung mit der Kettenregel

Thema dieser Aufgabe ist die Verwendung der Kettenregel.

%%f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2%%

Zerlege %%f%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

%%g\left(x\right)=x^2\\ h\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\ %%

%%\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Berechne die einzelnen Ableitungen.

%%g'\left(x\right)={\textstyle2}\cdot{\textstyle x}\\ h'\left(x\right)=\cos\left(x\right)%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

%%f'\left(x\right)=g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)%%

Setze zunächst %%g'%% und %%h'%% ein.

%%=2\cdot(h{\left(x\right)})\cdot\cos\left(x\right)%%

Nun setze %%h(x)=\sin(x)%% ein.

%%=2\cdot\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)%%

%%f\left(x\right)=\sin\left(\frac1x\right)%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f\left(x\right)=\sin\left(\frac1x\right)%%

Zerlege %%f%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann

%%g\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\ h\left(x\right)=\frac1x\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Berechne die einzelnen Ableitungen

%%g'\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\ h'\left(x\right)=-\frac1{x^2}%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&\cos \left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)\\ &=&-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\end{array}%%

%%f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))%%

Zerlege %%f%% so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen %%g%% und %%h%% mit

%%g(x)=\sin(x)\\ h(x)=\cos(\sin(x))\\ %%

%%\Rightarrow f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)))=\sin(\cos(\sin(x))) %%

gerade %%f%% ergibt.

Du siehst, dass %%h%% wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung %%h'%% zu bestimmen.

Nach der Kettenregel gilt dann

%%f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)%%.

%%g'(h(x))%% kannst du direkt bestimmen.

%%g'(x)=\cos(x)%%

%%\Rightarrow g'(h(x)) = \cos(\cos(\sin(x)))%%

Bestimme Ableitung von %%g%% und setze %%h%% ein.

Um %%h%% abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also %%h%% entsprechend in %%u%% und %%v%%.

%%u(x)=\cos(x)\\ v(x)=\sin(x)\\ %%

%%\Rightarrow h(x)= u \circ v = u(v(x))=\cos(\sin(x))\\ % %%

Beachte

Die Bezeichnung der zu verkettenden Funktionen ist natürlich willkürlich gewählt. Man kann statt %%u%% und %%v%%, auch %%m%% und %%n%% wählen, sodass dann %%h%% als %%h(x) = n \circ m = n(m(x)%% geschrieben werden kann.

Berechne die Ableitungen von %%u%% und %%v%%, um die Kettenregel

%%h'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)%%

zu verwenden.

%%u'(x)=-\sin(x)\\ v'(x)=\cos(x)%%

Berechne %%h'%%.

%%\begin{array}{rcl}h'(x)&=&u'(v(x))\cdot v'(x)\\ &=&-\sin(\sin(x))\cdot\cos(x) \end{array}%%

Jetzt benutze die Kettenregel, um die Abletung von %%f%% zu berechnen

%%\begin{array}{rcl} f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &=&\cos(h(x))\cdot h'(x)\\ &=&\cos(\cos(\sin(x))) \cdot (-\sin(\sin(x)))\cdot \cos(x)\\ &=&-\cos(x)\cdot \sin(\sin(x)) \cdot \cos(\cos(\sin(x))) \end{array}%%

Gegeben ist die Funktion $$f(x) = x +sin(x)$$
Das ist keine Standard-Aufgabe. Sie eignet sich für alle die schon ein wenig Übung haben und die Herausforderung suchen.
a) Leite die Funktion zweimal ab
b) Finde die Nullstellen der Funktion.
c) Untersuche die Funktion auf Symmetrie zum Koordinatensystem.
d) Finde die Nullstellen der Ableitung.
e) Untersuche die Extrema der Funktion. (Min oder Max oder Terrasse?)
f) Skizziere den Graphen allein anhand deiner bisherigen Ergebnisse.
Die Lösung gibt es im Moment nur als Video: [https://youtu.be/FwaKpug4N6k]()

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