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- Berechnen von Produkt- und Quotientenwerten, Rechenregeln, Überschlagen von Ergebnissen - Berechnen der Werte einfacher Terme, die mehrere Rechenarten enthalten

Aufgaben

Multipliziere die beiden Zahlen schriftlich.

%%1337\cdot137%%

%%1337\cdot137=%%

Multipliziere schriftlich.

%%\begin{array}{l}\underline{1337\cdot137}\;=\;183169\\\;\;\;\;\;\;9359\\\;\;\;\;\;40110\\\underline{\;\;{13}_13_1700\;}\\\;\;\;\;183169\end{array}%%

Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Gleichung aufstellen

Note 3: %%x€%%

 

Note 2: %%2\cdot x€%%

 

Note 1: %%3\cdot x€%%

 

Note 4: %%0€%%

 

Note 5: %%-2\cdot2\cdot x€%%

 

Note 6: %%-4\cdot3\cdot x€%%

Ansatz für das Zeugnis aufstellen.

%%1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x-1\cdot2\cdot2x-1\cdot4\cdot3x=-42%%

 

                 %%3x+2x+4x-4x-12x=-42%%

 

                                                  %%-7x=-42%%

%%\left|{:(-7)}\right.%%

                                                       %%x=6%%

 

Note 1: %%3\cdot6€=18€%%

 

Note 2: %%2\cdot6€=12€%%

 

 Note 3: %%6€%%

 

Note 4: %%0€%%

 

Note 5: %%-2\cdot2\cdot6€=-24€%%

 

Note 6: %%-4\cdot3\cdot6€=-72€%%

 

Erika möchte ihre Superstarsammlung erweitern. Dazu kauft sie einige Poster, 3CDs, 48 Aufkleber und eine DVD. Insgesamt bezahlt sie 94,13€. Folgende Preise sind bekannt: Ein Aufkleber kostet 39ct, die drei CDs kosten 19,99€ und die DVD 44,50€.

Wie viele Poster kauft sie, wenn eines 91ct kostet?

Subtraktion

Gesamtausgaben: %%94,13€%%

 

Kosten pro Aufkleber: 39ct (48 Stück)

 

Kosten für die Aufkleber: %%0,39€\cdot48=18,72€%%

 

Kosten für die CDs: %%19,99€%%

 

Kosten für die DVD: %%44,50€%%

 

Kosten pro Poster: 91ct (x Stück)

Gesamtkosten für die Poster berechnen.

%%94,13€-18,72€-19,99€-44,50€=10,92€%%

Durch die Kosten pro Poster dividieren umd die Anzahl zu erhalten.

%%10,92€:0,91€=12%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie kauft 12 Poster.

  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]%% .

  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, jeweils eine weitere Klammer so zu setzen, dass der Termwertwert kleiner wird?

Teilaufgabe 1

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=-42+2\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=-42+2\cdot9=%%

%%=-42+18=%%

%%=-24%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

1. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13+22\right]\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot9\right]=%%

Multipliziere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+18\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot24=%%

%%=-168%%

 

 

 

2. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot8\cdot9=%%

%%=-504%%

 

3. Möglichkeit

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13-\left(-22\right))\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13+22)\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot(-35)=%%

%%=-42-70%%

%%=-112%%

%%\Rightarrow%% Es gibt also drei Möglichkeiten durch das Einsetzen einer weiteren Klammer ein noch kleineres Ergebnis als das in der ersten Teilaufgabe bestimmte zu erhalten.

Fülle die Lücken.

Zu text-exercise-group 7285:
Judith 2019-04-03 15:20:02
Leerzeichen nach 14
Nish 2019-04-04 15:10:11
Danke, Judith! Habe ich eben verbessert!

LG,
Nish
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%%-2005-\left(\;\right)=2006%%

%%-2005-\left(\right)=2006%%

Überlegung: Welche Zahl muss von %%-2005%% subtrahiert werden, um %%2006%% zu erhalten?

Zur Einführung beginnen wir mit einem Beispiel mit kleineren Zahlen:

%%3-\left(\right)=1%%

Stelle nach der unbekannten Zahl um.

%%\left(\right)=3-1%%

%%\left(\right)=2%%

Setze 2 in die Anfangsgleichung ein.

%%3-\left(2\right)=1%%

Das Ergebnis ist richtig.

Genauso soll auch bei der eigentlichen Gleichung verfahren werden.

%%-2005-\left(\right)=2006%%

Stelle nach der unbekannten Zahl um.

%%\left(\right)=-2005-2006%%

%%\left(\right)=-4011%%

Setze %%-4011%% in die Anfangsgleichung ein.

%%-2005-\left(-4011\right)=2006%%

Das Ergebnis ist richtig.

Gib alle berechenbaren Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) an, die sich aus den Zahlen -7, -4, -1, 0, 12, 35 bilden lassen und berechne ihre Werte.

Bestimme alle möglichen Quotienten mit einem festen Dividenden. Gehe alle möglichen Dividenden durch.

Die Reihenfolge ist hier von den großen zu den kleinen Zahlen absteigend geordnet.

35 als Dividend

 

%%35:\left(-7\right)=-5%%

%%35:\left(-1\right)=-35%%

%%35:35=1%%

 

%%\Rightarrow\;%% Dies sind alle möglichen Quotienten, die sich mit Zahlen aus der betrachteten Menge von Zahlen und Dividend 35 bestimmen lassen.

Denn durch 0 darf nie geteilt werden und bei der Division einer ungeraden Zahl durch eine gerade Zahl gibt es einen Rest ungleich 0.

 

 

12 als Dividend

 

%%12:\left(-4\right)=-3%%

%%12:\left(-1\right)=-12%%

%%12:12=1%%

 

 

 

0 als Dividend

 

%%0:35=0%%

%%0:12=0%%

%%0:\left(-1\right)=0%%

%%0:\left(-4\right)=0%%

%%0:\left(-7\right)=0%%

 

 

 

-1 als Dividend

 

%%-1:(-1)=1%%

 

 

-4 als Dividend

 

%%\left(-4\right):\left(-1\right)=4%%

%%(-4):(-4)=1%%

 

 

 

-7 als Dividend

 

%%\left(-7\right):\left(-1\right)=7%%

%%(-7):(-7)=1%%

 

Zusammenfassung

Alle möglichen Quotientenwerte sind:

%%-35,\;-12,\;-5,\;-3,\;0,\;1%% und %%7%%.

Gib alle Teiler der Zahl -30 an.

Positive Teiler von -30

 

%%30%%

%%-30:30=-1%%

%%15%%

%%-30:15=-2%%

%%10%%

%%-30:10=-3%%

%%6%%

%%-30:6=-5%%

%%5%%

%%-30:5=-6%%

%%3%%

%%-30:3=-10%%

%%2%%

%%-30:2=-15%%

%%1%%

%%-30:1=-30%%

 

 

Negative Teiler von -30

 

%%-30%%

%%-30:\left(-30\right)=1%%

%%-15%%

%%-30:\left(-15\right)=2%%

%%-10%%

%%-30:\left(-10\right)=3%%

%%-6%%

%%-30:\left(-6\right)=5%%

%%-5%%

%%-30:\left(-5\right)=6%%

%%-3%%

%%-30:\left(-3\right)=10%%

%%-2%%

%%-30:\left(-2\right)=15%%

%%-1%%

%%-30:\left(-1\right)=30%%

Abschließende Übersicht:

Die Teiler der ganzen Zahl %%-30%% sind:

%%\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm5\;\pm6,\;\pm10,\;\pm15,\;\pm30%%

Berechne den Quotienten.

Gegeben sind Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen -12, -11…, -1, 0, 1,…, 11, 12.

Dabei zählen z. B. %%11\cdot12%% und %%12\cdot11%% als nur ein Produkt.

  1. Wie viele haben einen Wert größer als 100?

  2. Wie viele haben einen Betrag größer als 100?

  3. Wie viele haben einen Betrag kleiner als 4?

Teilaufgabe 1

Es gibt acht Produkte mit einem Wert größer als 100: %%12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right)%%

Teilaufgabe 2

Es gibt 16 Produkte, deren Betrag größer als 100 ist:

%%\begin{array}{l}12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right),\\-12\cdot11,\;-12\cdot10,\;-12\cdot9,\;-11\cdot10,\;12\cdot\left(-11\right),\;12\cdot\left(-10\right),\;12\cdot\left(-9\right),\;11\cdot\left(-10\right)\end{array}%%

Das sind die acht Produkte, deren Wert größer als 100 ist, und die achte Produkte, deren Wert kleiner als -100 ist.

Teilaufgabe 3

Es gibt 33 Produkte, deren Betrag kleiner als 4 ist. Diese teilen sich folgendermaßen auf:

  • 9 Produkte: %%(\pm3)\cdot(\pm1),\;\;(\pm2)\cdot(\pm1),\;\;1\cdot(-1)%%

  • 24 Produkte, in denen ein Faktor 0 ist. Dabei wird der Faktor 0 mit einer beliebigen ganzen Zahl zwischen -12 und 12, die nicht Null sein darf, multipliziert.

Bestimme jeweils mehrere Produkte aus zwei Faktoren mit dem Wert …

Gegeben ist der Term %%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man die Zahl 13 durch 1 ersetzt?

Teilaufgabe 1

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%

Multipliziere %%13%% mit %%(-6)%%.

%%=78+9-78=%%

 

%%=9%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

Ersetze 13 durch 1.

%%78-153:\left(-17\right)+1\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%.

%%=78+9-6=%%

 

%%=81%%

Um die gesuchte Differenz zu ermitteln, subtrahiere vom Ergebnis das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe.

%%81-9=72%%

 

%%\Rightarrow%% Der Wert steigt durch die Ersetzung um 72.

Aus den Zahlen -48, -32, -24, -3, 2, 6, 15, 30 lassen sich sehr viele berechenbare Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) bilden. Dividend und Divisor müssen dabei jeweils verschiedene Zahlen sein. Suche den Quotienten mit dem …

  1. kleinesten Wert,

  2. größten Wert,

  3. betragskleinsten Wert.

Stelle alle möglichen Kombinationen auf.

Kombinationen mit …

30 als Dividend

%%30:15=2%%

 

%%30:6=5%%

 

%%30:2=15%%

 

%%30:\left(-3\right)=-10%%

 

 

 

15 als Dividend

 

%%15:\left(-3\right)=-5%%

 

 

 

6 als Dividend

 

%%6:2=3%%

 

%%6:\left(-3\right)=-2%%

 

 

 

2 als Dividend

 

 

 

-3 als Dividend

 

 

 

-24 als Dividend

 

%%-24:6=-4%%

 

%%-24:2=-12%%

 

%%-24:\left(-3\right)=8%%

 

 

 

-32 als Dividend

 

%%-32:2=-16%%

 

 

 

-48 als Dividend

 

%%-48:6=-8%%

 

%%-48:2=-24%%

 

%%-48:\left(-3\right)=16%%

 

%%-48:\left(-24\right)=2%%

 

Teilaufgabe a)

Bestimmung des kleinsten Quotienten.

%%-48:2=-24%% ist der gesuchte kleinste Quotient.

Teilaufgabe b)

Bestimmung des größten Quotienten.

%%-48:\left(-3\right)=16%% ist der gesuchte größte Quotient.

Teilaufgabe c)

Bestimmung des betragsmäßig kleinsten Quotienten.

%%\left|6:\left(-3\right)\right|=30:15=2%% ist der gesuchte Quotient.

Es lassen sich auch magische Quadrate bilden, bei denen das Produkt aller Zahlen einer Zeile, Spalte und Diagonale gleich ist:

 

-4

128

-64

512

-32

-2

-16

-8

256

 

  1. Überprüfe alle Produkte.

  2. Konstruiere aus der Vorlage ein magisches %%3\times3-Quadrat%%. Nutze die Beträge der Einträge.

Teilaufgabe a)

Zeilenprodukte:

 

%%(-4)\cdot128\cdot\left(-64\right)=32.768%%

 

%%512\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-2\right)=32.768%%

 

%%(-16)\cdot\left(-8\right)\cdot256=32.768%%

 

Spaltenprodukte:

 

%%(-4)\cdot512\cdot\left(-16\right)=32.768%%

 

%%128\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-8\right)=32.768%%

 

%%(-64)\cdot\left(-2\right)\cdot256=32.768%%

 

Diagonalenprodukte:

 

%%(-4)\cdot\left(-32\right)\cdot256=32.768%%

 

%%(-64)\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-16\right)=-32.768%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Quadrat ist nicht magisch. Denn es enthält einen Fehler: Das Produkt der Einträge einer Diagonale ist im Gegensatz zu allen anderen Produkten negativ.

Teilaufgabe b)

Folgendes Quadrat ist z. B. magisch:

4

512

16

128

32

8

64

2

256

In den folgenden Multiplikationspyramiden beinhaltet jeder Baustein das Produkt der Zahlen der beiden Bausteine, auf denen er ruht.

  1. Fülle die Pyramiden aus.

  2. Wie ändert sich die Zahl an der Spitze, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -1 multipliziert bzw. mit -2 multipliziert?

  3. In der untersten Reihe einer solchen (vierschichtigen) Pyramide stehen nacheinander die Zahlen 2, 3, 5, und 7.
    Gib die Primfaktorzerlegung der Zahl an der Spitze an!

  4. In der untersten Reihe einer derartigen Pyramide mit 8 Schichten stehen abwechselnd Zahlen größer und kleiner 0. Welches Vorzeichen hat die Zahl an der Spitze?

Teilaufgabe a)

--

Teilaufgabe b)

-- Das Ergebnis bleibt gleich, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -1 multipliziert.

Das Ergebnis wird mit 256 multipliziert, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -2 multipliziert.

Teilaufgabe c)

-- Das Ergebnis lautet dann: %%2\cdot3^3\cdot5^3\cdot7%%

Teilaufgabe d)

-- Behauptung: Das Vorzeichen der Zahl an der Spitze ist positiv.

Nachweis: In der achten Schicht wechseln sich die Vorzeichen immer ab. Somit sind die Vorzeichen der Einträge in der siebten Schicht als Produkte einer positiven und einer negativen Zahl alle negativ. Die Einträge der sechsten Schicht sind dann jedoch alle positiv, da sie Produkte zweier negativer Zahlen sind. Da die Produkte positiver Zahlen wieder positiv sind, sind alle Einträge auf den höheren Ebenen wieder positiv. Somit auch das Vorzeichen der Zahl an der Spitze.

Konrad hat insgesamt 40 € Schulden. Jeden Donnerstag kauft er sich für 2 € eine Pizza. Im Monat bekommt er 15€ Taschengeld. Wie lange braucht er, um seine Schulden zurückzuzahlen?

Berechne den Term

 

40€ Schulden

 

15€ Taschengeld im Monat

 

2€ jeden Donnerstag

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;2€\cdot4(\mathrm{Donnerstage}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Monat})=8€%%

 

 

Ausrechnen des Geldes welches jeden Monat übrig bleibt, um die Schulden zu tilgen

%%15€-8€=%%

 

%%=7%%

 

 

Anzahl der Monate ausrechnen, die benötigt werden um die Schulden komplett zu tilgen

%%40€:7€=%%

 

%%=5,71…\approx6%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Er braucht um die 6 Monate, um das Geld zurück zu zahlen

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