Aufgaben

Berechne die periodischen Dezimalbrüche

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{1}{6}=1:6%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}1 :6 = 0{,}1666\ldots\\ \hphantom{-}10\\ \underline{-\hphantom{1}6}\\ \hphantom{-6}40\\ \hphantom{6}\underline{-36}\\ \hphantom{-36}40\\ \hphantom{36}\underline{-36}\\ \hphantom{-000}40\\ \hphantom{000}\underline{-36}\\ \hphantom{-0000}40\\ \hphantom{-00000}\vdots\\ \end{array}%%

Da der Rest der schriftlichen Division immer 4 ist, ist der Dezimalbruch periodisch und du kannst ihn als %%0{,}1\overline{6}%% schreiben.

%%\frac{1}{9}%%

%%\frac19=1:9%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}1 :9 = 0{,}111\ldots\\ \hphantom{-}10\\ \underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-6}10\\ \hphantom{6}\underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-36}10\\ \hphantom{36}\underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-000}10\\ \hphantom{-0000}\vdots\\ \end{array}%%

Da der Rest der schriftlichen Division immer 1 ist, ist der Dezimalbruch periodisch und du kannst ihn als %%0{,}\overline{1}%% schreiben.

%%\frac{13}{11}%%

%%\frac{13}{11}=13:11%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}13 :11 = 1{,}18\ldots\\ \underline{-11}\\ \hphantom{-1}20\\ \hphantom{1}\underline{-11}\\ \hphantom{-00}90\\ \hphantom{60}\underline{-88}\\ \hphantom{-000}20\\ \hphantom{-0000}\vdots\\ \end{array}%%

Da der Rest im dritten Schritt (2) schon im ersten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 18.

%%\frac{13}{11}=1{,}\overline{18}%%

%%\frac{5}{7}%%

%%\frac{5}{7}=5:7%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}5 :7 = 0{,}714285\ldots\\ \hphantom{-}50\\ \underline{-49}\\ \hphantom{-6}10\\ \hphantom{6}\underline{-\hphantom{1}7}\\ \hphantom{-36}30\\ \hphantom{36}\underline{-28}\\ \hphantom{-000}20\\ \hphantom{000}\underline{-14}\\ \hphantom{-0000}60\\ \hphantom{0000}\underline{-56}\\ \hphantom{-00000}40\\ \hphantom{00000}\underline{-35}\\ \hphantom{-000000}50\\ \hphantom{-0000000}\vdots\\ \end{array}%%

Da der Rest im sechsten Schritt (5) schon im ersten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 714285.

%%\frac{5}{7}=0{,}\overline{714285}%%

%%\frac{17}{12}%%

%%\frac{17}{12}=17:12%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}17 :12 = 1{,}416\ldots\\ \underline{-12}\\ \hphantom{-1}50\\ \hphantom{1}\underline{-48}\\ \hphantom{-00}20\\ \hphantom{60}\underline{-12}\\ \hphantom{-000}80\\ \hphantom{600}\underline{-72}\\ \hphantom{-0000}80\\ \hphantom{-00000}\vdots\\ \end{array}%%

Da der Rest im vierten Schritt (8) schon im dritten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 6.

%%\frac{17}{12}=1{,}41\overline{6}%%

Wandle durch Zählen der Periodenlänge in einen Bruch um!

Zu text-exercise-group 32573:
Renate 2017-08-22 21:44:25+0200
FORMULIERUNG DER AUFGABENSTELLUNG
Gibt es einen speziellen Grund, warum "durch Zählen der Periodenlänge" in der Aufgabenstellung steht?
Ich finde, wir sollten hier einfach schreiben: "Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um" oder eventuell "Wandle den periodischen Dezimalbruch in einen (gekürzten) Bruch um".

Denn ich zumindest wüsste ohnehin keine "alternative" Methode für die Umwandlung, und damit, finde ich, ist es dann eigentlich Teil der Aufgabe, dass man weiß, was für so eine Umwandlung zu tun ist. Zudem ist es nur mit "Zählen" der Periodenlänge ja nicht getan...

Was meint ihr?
Gruß
Renate
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%%3,\overline{478}%%

Schreibe die Dezimalzahl als Summe.

%%3,\overline{478}=3+0,\overline{478}%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode und in den Nenner drei Neunen schreibst, da die Periode drei Stellen hat.

%%3+0,\overline{478}=3+\dfrac{478}{999}%%

Bringe den Bruch auf den Hauptnenner 999.

%%3+\dfrac{478}{999}=\dfrac{2997}{999}+\dfrac{478}{999}=\dfrac{3475}{999}%%

%%9,\overline{7}%%

Schreibe %%9,\overline7%% als Summe.

%%9,\overline7=9+0,\overline7%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode und in den Nenner eine 9 schreibst, da die Periode eine Stelle hat.

%%9+0,\overline7=9+\dfrac79%%

Bringe nun auf den Hauptnenner 9 und fasse zusammen.

%%9 \dfrac79= \dfrac{81}{9}+\dfrac79=\dfrac{88}9%%

Damit hast du das Ergebnis, denn der Bruch lässt sich nicht mehr kürzen.

Ergebnis: %%9 \dfrac79= \dfrac{88}9%%

%%4,\overline3%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%4,\overline3=4+0,\overline3%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du die Periode in den Zähler und eine Neun in den Nenner schreibst, weil die Periode nur eine Stelle hat.

%%4 +0,\overline3=4+\dfrac39%%

Bringe beide Summanden auf den Hauptnenner 36.

%%\dfrac{36}{9}+\dfrac39=\dfrac{39}9=\dfrac{13}{3}%%

Wandle die folgenden gemischte Brüche in Dezimalzahlen um:

%%4\frac{16}{256}%%

%%4\frac{16}{256}%%

Führe schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \;\;\;16:256= 0{,}0625 \\ \;\;\;1600\\ \underline{-\,1536}\\ \;\;\;\;\;\;\;640\\ \underline{-\;\;\;\;\,512}\\ \;\;\;\;\;\;\;1280\\ \underline{-\,\quad1280}\\ \qquad\quad 0 \end{array}%%

Mit 4 Einern ergibt sich %%4+0{,}0625=4{,}0625%%.

Wandle die folgenden Brüche in Dezimalzahlen um:

%%\frac2{10}%%

%%\frac2{10}%% sind 2 Zehntel, also %%0{,}2%%.

Alternativer Weg:

%%\frac2{10}%%

Der Bruchstrich bedeutet Division.

%%=2:10%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}2 :10 = 0{,}2\\ \hphantom{-}20\\ \underline{-20}\\ \hphantom{-2}0\\ \end{array}%%

%%\Rightarrow\;\frac2{10}=0{,}2%%

%%\frac54%%

%%\frac54%%

Erweitere den Bruch mit 25, damit der Nenner 100 wird.

%%=\frac{5\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{125}{100}%%

%%\frac54%% sind also 125 Hundertstel oder %%1{,}25%%.

Alternativer Weg:

%%\frac54=5:4%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}5 :4 = 1{,}25 \\ \underline{-4}\\ \hphantom{-}10\\ \underline{-\hphantom{1}8}\\ \hphantom{-1}20\\ \hphantom{1}\underline{-20}\\ \hphantom{-10}0 \end{array}%%

%%\Rightarrow\;\frac54=1{,}25%%

%%\frac{12}{25}%%

%%\frac{12}{25}%%

Erweitere den Bruch mit 4, damit der Nenner 100 wird.

%%=\frac{12\cdot4}{25\cdot4}=\frac{48}{100}%%

%%\frac{12}{25}%% sind also 48 Hundertstel oder %%0{,}48%%.

Alternativer Weg:

%%\frac{12}{25}=12:25%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}12 :25= 0{,}48 \\ \hphantom{-}120\\ \underline{-100}\\ \hphantom{-1}200\\ \hphantom{1}\underline{-200}\\ \hphantom{-100}0 \end{array}%%

%%\Rightarrow\;\frac{12}{25}=0{,}48%%

%%\frac23%%

%%\frac23=2:3%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}2 :3= 0,6666… \\ \hphantom{-}20\\ \underline{-18}\\ \hphantom{-1}20\\ \hphantom{1}\underline{-18}\\ \hphantom{-11}20\\ \hphantom{11}\underline{-18}\\ \hphantom{-111}20\\ \hphantom{111}\underline{-18}\\ \hphantom{-1111}20\\ \hphantom{-11111}\vdots \end{array}%%

%%\Rightarrow\;\frac23=0,6666…=0,\overline6%%

%%\frac89%%

%%\frac89=8:9%%

Führe die schriftliche Division durch.

%%\begin{array}{l} \;\;\;8 :9= 0,8888… \\ \;\;\;80\\ \underline{-\,72}\\ \;\;\;\;\;80\\ \;\;\underline{-\,72}\\ \;\;\;\;\;\;\;80\\ \;\;\;\underline{-\,72}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;80\\ \;\;\;\;\;\underline{-\,72}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;80\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \end{array}%%

%%\Rightarrow\;\frac89=0,888888…=0,\overline8%%

Wandle die folgenden Dezimalbrüche in Brüche um:

Gib dabei den Bruchstrich als "/" ein. Ein gemischter Bruch wird bei der Eingabe durch ein Leerzeichen getrennt.

Beispiel: %%1\frac23%% müsste als %%1%% %%2/3%% eingegeben werden.

%%0{,}240%%

%%0{,}240%%

Das sind 2 Zehntel 4 Hundertstel 0 Tausendstel.

%%=\frac2{10}+\frac4{100}+\frac0{1000}%%

%%=\frac2{10}+\frac4{100}%%

Addiere die Brüche.

%%=\frac{24}{100}%%

Kürze mit 4.

%%=\frac6{25}%%

Alternativer Weg

%%0{,}240%% sind 240 Tausendstel bzw. 24 Hundertstel.

%%0{,}240=\frac{24}{100}%%

Kürze mit 4.

%%=\frac6{25}%%

Wandel folgende Brüche in Dezimalzahlen um.

Wandle folgende Dezimalbrüche in Brüche um und kürze so weit wie möglich.

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um.

Wandle den Bruch durch Kürzen oder Erweitern in eine Dezimalzahl um!

Wandle den Bruch durch Division in eine Dezimalzahl um!

%%\frac{19}{32}%%

%%\frac{19}{16}=19:16%%

%%\hphantom{-}19:16=1{,}1875%%
%%\underline{-16}%%
%%\hphantom{-1}30%%
%%\hphantom{1}\underline{-16}%%
%%\hphantom{-1}140%%
%%\hphantom{1}\underline{-128}%%
%%\hphantom{-11}120%%
%%\hphantom{11}\underline{-112}%%
%%\hphantom{-111}80%%
%%\hphantom{111}\underline{-80}%%
%%\hphantom{-1111}0%%

Es wird die folgende Summe gebildet: %%1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+…%%

Bedenke dabei: %%0{,}\overline2=\frac29,\;0{,}\overline3=\frac39=\frac13,\;0{,}\overline7=\frac79%% usw.

  1. Schreibe die drei Nachfolger des Summanden 0,001 hin. Beschreibe, wie sich die Summe aufbaut.

  2. Berechne den Wert der obigen Summe.

  3. Berechne den Wert der Differenz %%3-0{,}2-0{,}02-0{,}002-…%%

Teilaufgabe 1

… 0,0001; 0,00001; 0,000001;

Jeder weitere Summand ist ein Zehntel seines Vorgängers.

Teilaufgabe 2

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Summand ein Zehntel seines Vorgänger ist, muss das Ergebnis %%1{,}\overline1%% sein.

%%1,\;\;\;\underset{\text{Zehntel}}{\overset{+0,1}1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underset{\text{Hundertstel}}{\overset{+0,01}1\;}\;\;\;\;\;\underset{\text{Tausendstel}}{\overset{+0,001}1}\;\;\text{usw.}%%

%%\frac{10}9%% ist hierbei der Bruch für %%1{,}\overline1%%.

Teilaufgabe 3

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Subtrahend ein Zehntel seines Vorgängers ist, muss das Ergebnis %%3-0{,}\overline2%% sein.

%%\frac{25}9%% ist hierbei der Bruch für %%3-0{,}\overline2%% .

Ergänze in der Tabelle die Brüche, Dezimalbrüche und Prozentsätze:

Bruch

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac56%%

Dezimalbruch

%%0{,}\overline6%%

0,999

9,99

Prozentsatz

%%0{,}5\,\%%%

%%28{,}2\,\%%%

%%107\,\%%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Bruchrechnen und Dezimalzahlen

Bruch

%%\frac13%%

%%\frac23%%

%%\frac16%%

%%\frac56%%

%%\frac1{200}%%

%%\frac{141}{500}%%

%%\frac{999}{1000}%%

%%\frac{107}{100}%%

%%\frac{999}{100}%%

Dezimalbruch

%%0{,}\overline3%%

%%0{,}\overline6%%

%%0{,}1\overline6%%

%%0{,}8\overline3%%

0,005

0,282

0,999

1,07

9,99

Prozentsatz

%%33{,}\overline3\,\%%%

%%66{,}\overline6\,\%%%

%%16{,}\overline6\,\%%%

%%83{,}\overline3\,\%%%

%%0{,}5\,\%%%

%%28{,}2\,\%%%

%%99{,}9\,\%%%

%%107\,\%%%

%%999\,\%%%

Von den ersten drei Brüchen sollte man die Umwandlung in Dezimalbrüche und zurück auswendig können!

Subtraktion von Brüchen und Dezimalbrüchen

%%1{,}04-\frac12%%

%%1{,}04-\frac12\\%%

Wandle zuerst %%\frac{1}{2}%% in einen Dezimalbruch um.

%%1{,}04-0{,}5\\%%

Subtrahiere die beiden Dezimalbrüche schriftlich.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}{\not1}{,}04\\ \underline{-\;0{,}50}\\ \hphantom{-\;}0{,}54 \end{array} \\ %%

Alternative Lösung

%%1{,}04-\frac12=\\%%

Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.

%%=\frac{104}{100}-\frac12\\%%

Berechne den Hauptnenner (100).

%%=\frac{104}{100}-\frac{50}{100}\\%%

%%=\frac{54}{100}=\frac{27}{50}=0{,}54%%

%%\frac63-0{,}23%%

%%\frac63-0{,}23\\%%

Kürze zuerst %%\frac63%% und subtrahiere dann die beiden Dezimalbrüche. Schreibe hierbei die %%2%% als %%2{,}00%%.

%%\begin{array}{l} \hphantom-2{,}00\\ \underline{-0{,}23}\\ \hphantom-1{,}77 \end{array} %%

Alternative Lösung

%%\frac63-0{,}23=%%

Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.

%%=\frac63-\frac{23}{100}%%

Bilde den Hauptnenner (300).

%%=\frac{600}{300}-\frac{69}{300}%%

%%=\frac{531}{300}=\frac{177}{100}=1{,}77%%

Addition von Brüchen mit Dezimalbrüchen

%%0{,}4+\frac{2}{7}%%

Addition von Dezimalbrüchen mit Brüchen

%%0{,}4+\frac27=%%

Da %%\frac{2}{7}%% einem periodischen Dezimalbruch entspricht, ist die Rechnung wesentlich leichter, wenn du hier den Dezimalbruch in einen Bruch umwandelst.

%%=\frac25+\frac27%%

Bilde den Hauptnenner (35).

%%=\frac{14}{35}+\frac{10}{35}%%

%%=\frac{24}{35}%%

Schreibe als Dezimalbruch.

Wandle durch Zählen der Periodenlänge in einen Bruch um!

%%4{,}2\overline{13}%%

Multipliziere die Zahl mit 10, um eine reinperiodische Zahl zu erhalten.

%%4{,}2\overline{13}\cdot10=42{,}\overline{13}%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%=42+0{,}\overline{13}%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du die Periode in den Zähler und zwei Neunen in den Nenner schreibst, da die Periode zwei Stellen hat.

%%=42+\dfrac{13}{99}%%

Nun muss der erste Schritt wieder rückgängig gemacht werden, bringe dazu die Zahlen auf den Hauptnenner (hier 99).

%%=\dfrac{4158}{99}+\dfrac{13}{99}=\dfrac{4171}{99}%%

Dividiere nun durch 10.

%%\dfrac{4171}{99}:10=\dfrac{4171}{99}\cdot\dfrac{1}{10}=\dfrac{4171}{990}%%

%%7{,}13\overline{56}%%

Multipliziere die Zahl mit 100, um eine reinperiodische Dezimalzahl zu erhalten.

%%7{,}13\overline{56} \cdot 100 = 713{,}\overline{56}%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%= 713 + 0{,}\overline{56}%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du die Periode in den Zähler und in den Nenner zwei Neunen schreibst, da die Periode zwei Stellen hat.

%%= 713+\dfrac{56}{99}%%

Nun muss der erste Schritt rückgängig gemacht werden, bringe die Zahlen dazu auf einen Hauptnenner (hier 99).

%%= \dfrac{70587}{99}+\dfrac{56}{99}=\dfrac{70643}{99}%%

Dividiere durch 100.

%%\dfrac{70643}{99} :100 = \dfrac{70643}{99} \cdot \dfrac{1}{100}=\dfrac{70643}{9900}%%

%%23{,}7\overline{38}%%

Multipliziere die Zahl mit 10, damit du einen reinperiodischen Bruch erhältst.

%%23{,}7\overline{38}\cdot 10=237{,}\overline{38}%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%=237 + 0{,}\overline{38}%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode und in den Nenner zwei Neunen schreibst, da die Periode zwei Stellen hat.

%%= 237+ \dfrac{38}{99}%%

Nun muss der erste Schritt wieder rückgängig gemacht werden, bringe dazu die Zahlen auf den Hauptnenner (99).

%%=237+\dfrac{38}{99}=\dfrac{237}{99}+\dfrac{38}{99}=\dfrac{275}{99}%%

Dividiere nun durch 10.

%%\dfrac{275}{99}:10=\dfrac{275}{99}\cdot \dfrac {1}{10}=\dfrac {275}{990}%%

%%5{,}72\overline{9765}%%

Multipliziere die Zahl mit 100, damit du einen reinperiodischen Bruch erhältst.

%%5{,}72\overline{9765} \cdot 100 = 572{,}\overline{9765}%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%=572+0{,}\overline{9765}%%

Wandle nun den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du die Periode in den Zähler und in den Nenner vier Neunen schreibst, da die Periode vier Stellen hat.

%%=572+\dfrac{9765}{9999}%%

Nun muss der erste Schritt wieder rückgängig gemacht werden, bringe dazu die Zahlen auf den Hauptnenner (9999).

%%= \dfrac{5719428}{9999}+\dfrac{9765}{9999}= \dfrac{5729193}{9999}%%

Dividiere nun durch 100.

%%\dfrac{5729193}{999900} :100 = \dfrac{5729193}{9999} \cdot \dfrac{1}{100}=\dfrac{5729193}{999900}%%

%%6{,}7\overline{789}%%

Multipliziere die Zahl mit 10, damit du einen reinperiodischen Bruch erhältst.

%%6,7\overline{789}\cdot 10= 67,\overline{789}%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%=67+0,\overline{789}%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode und in den Nenner drei Neunen schreibst, da die Periode drei Stellen hat.

%%=67+\dfrac{789}{999}%%

Nun muss der erste Schritt rückgängig gemacht werden. Bringe dazu die Zahlen auf den Hauptnenner 999.

%%=\dfrac{66933}{999}+\dfrac{789}{999}=\dfrac{67722}{999}%%

Dividiere nun durch 10.

%%=\dfrac{67722}{999}:10 = \dfrac{67722}{999} \cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{67722}{9990}%%

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NadineSamy2110 2017-06-06 09:14:00+0200
Es kommt vor das die Aufgaben zuerst in komischer Form auftreten (mit Klammern, Protzentzeichen usw.) hinterher aber in normaler Form erscheinen
peterjaumann 2017-06-06 09:40:06+0200
Hallo NadineSamy2110,

dass die Formeln in den Aufgaben manchmal anfangs so komisch aussehen, liegt daran, dass sie noch nicht ganz geladen haben. Ich hoffe du verzeihst uns, dass dies manchmal ein bisschen dauert.
Falls es lange so bleibt, hilft es manchmal die Seite einfach neu zu laden.

Viele Grüße
Peter