Aufgaben

Folgende Tabelle gibt den Zusammenhang zwischen Länge %%l%% und Breite %%b%% von Rechtecken wieder, die den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Länge %%l%%

40

10

7,5

Breite %%b%%

25

200

250

  1. Vervollständige die Tabelle und stelle den Zusammenhang graphisch dar.

  2. Gib einen Term für die Abhängigkeit der Breite %%b%% von der Länge %%l%% an.

Teilaufgabe 1

Bestimme zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks. Diesen kann man als Flächeninhalt des Rechtecks mit Länge 10 und Breite 200 bestimmen. Dieser Flächeninhalt beträgt also 2.000 Einheiten.

Länge %%l%%

80

40

10

8

7,5

Breite %%b%%

25

50

200

250

266,67

Image Title

Teilaufgabe 2

-- Die Abhängigkeit der Breite von der Länge lässt sich folgendermaßen darstellen: %%b=2000:l%%.

Die Aufräumarbeiten nach einem Fest können von 14 Leuten in %%3\frac12%% Stunden erledigt werden.

Wie viele müssen zusätzlich helfen, um die Arbeit in 2 h zu schaffen?

14 Leute benötigen 3,5 Stunden.

Multipliziere die Anzahl der Leute mit 3,5, um auszurechnen, wieviele Leute die Aufräumarbeiten in einer Stunde bewältigen würden.

%%14\cdot3,5%% Personen benötigen %%1h%%.

%%49%% Personen benötigen %%1h%%.

Dividere die Anzahl der Arbeiter durch 2, um auszurechnen, wieviele Arbeiter benötigt würden, um die Arbeit in zwei Stunden zu bewältigen.

%%49:2%% Arbeiter benötigen %%2h%%.

Das sind %%24,5%% Arbeiter.

Bestimme nun die Anzahl der mehr benötigten Arbeiter als Differenz der beiden Arbeiteranzahlen.

%%24,5-14=10,5\approx11%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es wären ca. 11 Leute mehr nötig, um die Arbeit in zwei Stunden zu erledigen.

Die Aufräumarbeiten werden zunächst von 14 Leuten begonnen. Nach 3 Stunden gehen 12 Helfer (um den letzten Zug zu erreichen). Wie lange müssen die verbleibenden 2 Leute insgesamt arbeiten?

14 Leute benötigen für die Arbeit ingesamt 3,5h.

Nach 3 Stunden gehen 12 der 14 Leute. Die 14 Personen würden zusammen noch 30 Minuten benötigen. Überlege, wie lange die 2 für die Restarbeit noch benötigen.

Wenn 14 Personen für die Restarbeit noch 30 Minuten benötigen, beträgt die Dauer der Restarbeit noch 7 Arbeitsstunden.

Auf zwei Personen aufgeteilt, bedeutet dies eine weitere Arbeitszeit von %%7\,h:2=3,5h%% für jeden der beiden.

Da nach der Gesamtarbeitszeit für jeden dieser beiden Arbeiter gefragt ist, addiere diese %%3,5h%% zu den %%3h%%, die sie schon vorher gearbeitet haben.

%%3,5h+3h=6,5h%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die 2 Leute müssen also ingesamt jeweils 6,5h arbeiten.

Ein Schwimmbecken wird von drei Leitungen befüllt, die jeweils dieselbe Menge Wasser pro Stunde in das Becken leiten. Sie benötigen zusammen 3 Stunden und 15 Minuten, um das Becken zu füllen.

Wie lange dauert es bis das Becken voll ist wenn doppelt so viele Leitungen vorhanden sind?

3 Leitungen benötigen 3 Stunden und 15 Minuten

Dividiere die benötigte Zeit durch 2, da sich die Anzahl der Leitungen verdoppelt hat.

%%3 ⋅ 2%% Leitungen benötigen %%\frac{3 \text{h} + 15 \text{min}}{2}= \frac{3 \text{h}}{2}+\frac{15 \text{min}}{2}%%

%%6%% Leitungen benötigen %%1,5 \text{h} + 7,5 \text{min}%%

Rechne die benötigten Minuten und Stunden zusammen.

$$1,5 \text{h} + 7,5 \text{min} = 1 \text{h} 30 \text{min} + 7,5 \text{min} = 1 \text{h} 37,5 \text{min}$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%%Bei der doppelten Anzahl an Leitungen, wird die halbe Zeit benötigt, das sind 1 Stunde und 37 Minuten.

Wie lange dauert es bis das Becken gefüllt ist, wenn 2 Leitungen dazukommen durch die aber das Wasser nur halb so schnell fließt wie durch die, die schon vorhanden sind?

Die zwei neuen, langsamen Leitungen arbeiten genauso schnell wie eine normale. Dies bedeutet, dass jetzt 4 Leitungen anstatt drei Wasser pumpen.

Drei Leitungen brauchen 3 Stunden und 15 Minuten. Dann würde eine Leitung dreimal soviel Zeit brauchen (also Zeit mal 3 nehmen). Vier Leitungen schaffen es viermal so schnell wie eine Leitung (also anschließend durch vier teilen).

$$3,25\cdot\frac34=\frac{13}4\cdot\frac34=\frac{39}{16}=2\frac7{16}$$

Das Ergebnis muss nur noch in Minuten und Sekunden ausgedrückt werden. Dafür multiplizierst du den Bruch mit 60.

$$\frac7{16}\cdot60=\frac{420}{16}=\frac{105}4=26,25$$

0,25 Minuten entsprechen 15 Sekunden, weil 0,25 ein Viertel von eins und 15 Sekunden ein Viertel von einer Minute (60 Sekunden) ist.

Antwort: Das Becken ist nach 2 Stunden, 26 Minuten und 15 Sekunden befüllt.

Wie lange dauert die Befüllung wenn nach einer Stunde zwei der Leitungen verriegelt werden?

Normalerweise würden die Pumpen jetzt noch 2 Stunden und 15 Minuten benötigen, um das Becken vollzumachen. Es arbeitet aber in diesem Zeitraum nur eine statt 3 Pumpen. Diese benötigt die dreifache Zeit.

Rechne die verbliebene Zeit mal 3.

$$2,25 \cdot3 =6.75$$

Das Ergebnis muss nur noch in Sekunden und Minuten ausgedrückt werden:

0,75 Stunden entsprechen 45 Minuten, weil 0,75 drei Viertel von eins und 45 drei Viertel von 60 ist.

Die Pumpen haben bereits eine Stunde gearbeitet. Diese muss dem Ergebnis von 6 Stunden und 45 Minuten noch hinzugefügt werden.

Antwort: Die Pumpen benötigen 7 Stunden und 45 Minuten, wenn zwei nach einer Stunde abgeschaltet werden.

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