Aufgaben

Gib jeweils an, ob der Zusammenhang direkt oder indirekt proportional ist und beantworte jede Frage mit einem Antwortsatz.

Ein Pkw verbraucht auf 100 km 9,6 Liter Benzin.      
Welche Strecke kann er mit einer Tankfüllung von 60 Litern zurücklegen?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Liter, desto mehr km.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

 

%%9,6\;Liter%% reichen für %%100\;km%%.

Damit reicht %%1\;Liter%% für %%\frac{100}{9,6}\;km%%.

Folglich reichen %%60\;Liter%% für %%60\cdot\frac{100}{9,6}\;km=\frac{60000}{96}\;km=\frac{10000}{16}\;km=625\;km%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Im Baumarkt kosten 40 Linsenkopf-Stahlstifte 0,68 €. Wie viel € würden 250 Stahlstifte gleichen Typs kosten?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Stahlstifte, desto mehr €.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

 

%%40\;Stahlstifte%% kosten %%0,68\;€%%.

%%1\;Stahlstift%% kostet damit %%\frac{0,68}{40}€%%.

%%250\;Stahlstifte%% kosten folglich %%250\cdot\frac{0,68}{40}\;€=\frac{25\cdot68}{400}\;€=\frac{68}{16}\;€=4,25\;€%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Eine Straße steigt auf 2,4 km Länge um 8,4 m.      
Wie viel m würde sie bei gleichbleibender Steigung auf 5 km steigen?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr km, desto größer der Höhenunterschied.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

Auf %%2,4\;km%% steigt die Straße um %%8,4\;m%%.

Damit steigt die Straße auf %%1\;km%% um %%\frac{8,4}{2,4}\;m%%.

Folglich steigt die Straße auf %%5\;km%% um %%5\cdot\frac{8,4}{2,4}\;m=5\cdot\frac{84}{24}\;m=5\cdot\frac72\;m=17,5\;m%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Zur Herstellung einer Garageneinfahrt benötigen drei Pflasterer 7,5 Stunden.      
Wie lange würde die Arbeit dauern, wenn 5 Pflasterer eingesetzt werden können?

Für diese Aufgabe musst du die indirekte Proportionalität kennen.

Je mehr Pflasterer, desto weniger Stunden.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

 

%%3\;Pflasterer%% benötigen %%7,5\;h%%.

Damit benötigt %%1\;Pflasterer%% dreimal solange, also %%3\cdot7,5\;h=22,5\;h%%.

%%5\;Pflasterer%% benötigen folglich %%\dfrac{22,5}5\;h=4,5\;h.%%


Quelle: Rudolf Brinkmann

Ein 6 m² großes Kupferblech, 4 mm dick, wiegt 213,6 kg.      
Wie viel wiegt ein 3 mm dickes Kupferblech, das eine Fläche von 4 m² hat?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je größer das Volumen, desto mehr kg.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

Ein %%6\;m^2%% großes und %%4\;mm%% dickes Kupferblech wiegt %%213,6\;kg%%.
Für das Volumen des Kupferblechs gilt: %%V= 6\cdot0,004\;m^3=0,024\;m^3%%

Ein Kupferblech mit %%0,001\;m^3%% Volumen wiegt damit %%\frac{213,6}{24}\;kg%%.

Für das Volumen eines %%3\;mm%% dickes Kupferblechs, das eine Fläche von %%4\;m^2%% Fläche hat, gilt:
%%V=4\cdot0,003\;m^3=0,012\;m^3%%

Das Kupferblech wiegt folglich %%12\cdot\frac{213,6}{24}\;kg=\frac{213,6}2\;kg=106,8\;kg%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Von einer Bank bekommt ein Tourist 432 Dollar für 400 €.

Wie viel Dollar hätte er bekommen, wenn er 2250 € umgetauscht hätte?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr %%€%%, desto mehr %%$%%.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

Für %%400\;€%% hat er %%432\;$%% bekommen.

Damit hätte er %%\frac{432}{400}\;$%% für %%1\;€%% bekommen.

Für %%2250\;€%% hätte er folglich %%2250\cdot\frac{432}{400}\;$=2250\cdot\frac{27}{25}\;$=90\cdot27\;$=2430\;$%% bekommen.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Ein Verkäufer erhält bei einem monatlichen Umsatz von 45200 € eine Provision von 3164 €. Im nächsten Monat erhöht sich seine Provision um 220,50 €.

Wie hoch war der Umsatz?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Provision, desto mehr Umsatz.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.  

Bei einer Provision von %%3164\;€%% hatte der Verkäufer einen Umsatz von %%45200\;€%%.

Damit hätte er bei einer Provision von %%1\;€%% einen Umsatz von %%\frac{45200}{3164}\;€%%.

Folglich ergibt sich bei einer Provision von %%3384,40\;€\;(3164\;€\;+\;220,50\;€\;=\;3384,40\,€)%% ein Umsatz von %%3384,4\cdot\frac{45200}{3164}€=48350\;€%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Von 5 Maurern werden 616 m² Mauerwerk in 154 h hergestellt.

Wie viel Mauerwerk können bei gleicher Leistung 6 Maurer in 160 h herstellen?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Maurer, desto mehr %%m²%%.
Je mehr Stunden, desto mehr %%m²%%.

Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.

Von %%5\;Maurern%% werden %%616\;m^2%% Mauerwerk in %%154\;h%% hergestellt.

Von %%1\;Maurer%% werden also %%\frac{616}5\;m^2%% Mauerwerk in %%154\;h%% hergestellt.

Von %%6\;Maurern%% werden damit %%6\cdot\frac{616}5\;m^2%% Mauerwerk in %%154\;h%% hergestellt.

Von %%6\;Maurern%% werden außerdem %%\frac1{154}\cdot6\cdot\frac{616}5\;m^2%% Mauerwerk in %%1\;h%% hergestellt.

Von %%6\;Maurern%% werden folglich %%160\cdot\frac1{154}\cdot6\cdot\frac{616}5\;m^2=4\cdot32\cdot6\;m^2=768\;m^2%% Mauerwerk in %%160\;h%% hergestellt.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Um 1800 m³ Wasser 12 m hoch zu fördern, wird eine Pumpe von 4 kW benötigt.

Welche Wassermenge könnte von einer 8 kW Pumpe 16 m hoch gefördert werden?

 

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.

Je mehr %%kW%%, desto mehr %%m³%%.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

Je mehr %%m%%, desto weniger %%m³%%.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

 

Mit einer Pumpe von %%4\;kW%% können %%1800\;m^3%% Wasser %%12\;m%% hoch gefördert werden.

Mit einer Pumpe von %%1\;kW%% können also %%\dfrac{1800}4\;m^3%% Wasser %%12\;m%% hoch gefördert werden.

Mit einer Pumpe von %%8\;kW%% können %%8\cdot\dfrac{1800}4\;m^3%% Wasser %%12\;m%% hoch gefödert werden.

Mit einer Pumpe von %%8\;kW%% können auch %%12\cdot8\cdot\dfrac{1800}4\;m^3%% Wasser %%1\;m%% hoch gefördert werden.

Mit einer Pumpe von %%8\;kW%% können folglich %%\dfrac1{16}\cdot12\cdot8\cdot\dfrac{1800}4\;m^3=2700\;m^3%% Wasser %%16\;m%% hoch gefördert werden.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Um 1280 Karosserieteile herzustellen, müssen 4 Stanzen 8 h lang eingesetzt werden.

Um wie viel Stunden muss die tägliche Arbeitszeit erhöht werden, wenn 2400 Karosserieteile täglich hergestellt werden sollen und zwei Stanzen zusätzlich eingesetzt werden können?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.

Je mehr Stanzen, desto weniger Zeit.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

Je mehr Teile, desto mehr Zeit.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

 

%%4\;Stanzen%% müssen %%8\;h%% lang eingesetzt werden, um %%1280\; Karosserieteile%% herzustellen.

%%1\;Stanze%% muss also %%4\cdot8\;h%% eingesetzt werden, um %%1280\; Karosserieteile%% herzustellen.

%%6\;Stanzen%% müssen demnach %%\frac16\cdot4\cdot8\;h%% lang eingesetzt werden, um %%1280\; Karosserieteile%% herzustellen.

%%6\;Stanzen%% müssen %%\frac1{1280}\cdot\frac16\cdot4\cdot8\;h%% lang eingesetzt werden, um %%1\; Karosserieteil%% herzustellen.

%%6\;Stanzen%% müssen folglich %%2400\cdot\frac1{1280}\cdot\frac16\cdot4\cdot8\;h=10\;h%% lang eingesetzt werden, um %%2400\; Karosserieteile%% herzustellen.

Damit muss die tägliche Arbeitszeit um %%10-8\;h=2\;h%% erhöht werden.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Auf drei automatischen Werkzeugmaschinen lassen sich 150 Metallhülsen in 1 h 15 min herstellen.

Wie viele Hülsen könnten in 2 h 30 min hergestellt werden, wenn zwei Maschinen zusätzlich zum Einsatz kämen?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Maschinen, desto mehr Hülsen.
Je mehr Zeit, desto mehr Hülsen.
Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.

 

Auf %%3\;Maschinen%% lassen sich %%150\;Hülsen%% in %%75\;min%% herstellen.

Auf %%1\;Maschine%% lassen sich also %%\frac{150}3\;Hülsen%% in %%75\;min%% herstellen.

Auf %%5\;Maschinen%% lassen sich demnach %%5\cdot\frac{150}3\;Hülsen%% in %%75\;min%% herstellen.

Auf %%5\;Maschinen%% lassen sich auch %%\frac1{75}\cdot5\cdot\frac{150}3\;Hülsen%% in %%1\;min%% herstellen.

Auf %%5\;Maschinen%% lassen sich auch %%150\cdot\frac1{75}\cdot5\cdot\frac{150}3\;Hülsen=500\;Hülsen%% in %%150\;min=2\;h\;30\;min%% herstellen.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Um eine Decke von 96 m² Fläche einzuschalen, benötigen drei Einschaler 2 Tage bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 h.

Wie viele Tage würden 4 Einschaler benötigen, um eine Decke von 144 m² Fläche einzuschalen, wenn die tägliche Arbeitszeit um 1 h erhöht würde?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.

Je mehr Einschaler, desto weniger Zeit.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

Je mehr %%m²%%, desto mehr Zeit.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

Je mehr h/Tag, desto weniger Zeit.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

 

%%3\;Einschaler%% benötigen %%2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%8\;h/Tag%%, um %%96\;m^2%% auszuschälen.

%%1\;Einschaler%% benötigt also %%3\cdot2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%8\;h/Tag%%, um %%96\;m^2%% auszuschälen.

%%4\;Einschaler%% benötigen demnach %%\frac14\cdot3\cdot2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%8\;h/Tag%%, um %%96\;m^2%% auszuschälen.

%%4\;Einschaler%% benötigen auch %%\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%8\;h/Tag%%, um %%1\;m^2%% auszuschälen.

%%4\;Einschaler%% benötigen %%144\cdot\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%8\;h/Tag%%, um %%144\;m^2%% auszuschälen.

%%4\;Einschaler%% benötigen %%8\cdot144\cdot\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%1\;h/Tag%%, um %%144\;m^2%% auszuschälen.

%%4\;Einschaler%% benötigen folglich %%\frac19\cdot8\cdot144\cdot\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage=2\;Tage%% bei einer Arbeistzeit von %%9\;h/Tag%%, um %%144\;m^2%% auszuschälen.


Quelle: Rudolf Brinkmann

In 3 Tagen verbrauchen 6 Dieselmotoren 2016 Liter Dieselkraftstoff bei einer täglichen Laufzeit von 16 h. Durch Ausweitung der Produktion sollen in Zukunft 8 Motoren eingesetzt werden und die tägliche Laufzeit um 2 h erhöht werden.

Mit welchem Kraftstoffverbrauch pro Tag muss gerechnet werden?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Motoren, desto mehr Liter.
Je mehr Stunden pro Tag, desto mehr Liter.
Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.

 

%%6\;Motoren%% verbrauchen %%\frac{2016}3\;l=672\,l%% pro Tag bei einer täglichen Laufzeit von %%16\;h%%.

%%1\;Motor%% verbraucht also %%\frac16\cdot672\;l%% pro Tag bei einer täglichen Laufzeit von %%16\;h%%.

%%8\;Motoren%% verbrauchen %%8\cdot\frac16\cdot672\;l%% pro Tag bei einer täglichen Laufzeit von %%16\;h%%.

%%8\;Motoren%% verbrauchen auch %%\frac1{16}\cdot8\cdot\frac16\cdot672\;l%% pro Tag bei einer täglichen Laufzeit von %%1\;h%%.

%%8\;Motoren%% verbrauchen folglich %%18\cdot\frac1{16}\cdot8\cdot\frac16\cdot672\;l=1008\;l%% pro Tag bei einer täglichen Laufzeit von %%18\;h%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Die monatliche Stromrechnung für 8 Lampen beträgt bei täglich 8-stündiger Brenndauer 18 €.

Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn 12 Lampen mit gleicher Leistung täglich 6 Stunden brennen?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.

Je mehr Lampen, desto mehr €.
Je weniger Stunden pro Tag, desto weniger €.
Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.

 

Die Rechnung für %%8\;Lampen%% beträgt bei %%8\;h%% täglicher Brenndauer %%18\;€%%.

Die Rechnung für %%1\;Lampe%% beträgt bei %%8\;h%% täglicher Brenndauer %%\frac{18}{8}\;€%%.

Die Rechnung für %%12\;Lampen%% beträgt bei %%8\;h%% täglicher Brenndauer also %%12\cdot\frac{18}8\;€%%.

Die Rechnung für %%12\;Lampen%% beträgt bei %%1\;h%% täglicher Brenndauer %%\frac18\cdot12\cdot\frac{18}8\;€%%.

Die Rechnung für %%12\;Lampen%% beträgt bei %%6\;h%% täglicher Brenndauer folglich %%6\cdot\frac18\cdot12\cdot\frac{18}8\;€=20,25€%%.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Zwölf Einschaler haben bei 9 - stündiger Arbeitszeit 390 m² Betonschalung in 7 Tagen hergestellt.

Wie viele Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen 2340 m² Betonschalung hergestellt werden müssen, um den Terminplan einzuhalten, und die tägliche Arbeitszeit nur 8 Stunden beträgt?

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.

Je mehr m², desto mehr Einschaler.
Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.

Je mehr Tage, desto weniger Einschaler.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

Je weniger h/Tag, desto mehr Einschaler.
Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.

 

%%12\;Einschaler%% stellen bei %%9\;h%% Arbeitszeit %%390\;m^2%% Betonschalung in %%7\;Tagen%% her.

%%\frac{12}{390}\;Einschaler%% stellen bei %%9\;h%% Arbeitszeit %%1\;m^2%% Betonschalung in %%7\;Tagen%% her.

%%2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler%% stellen bei %%9\;h%% Arbeitszeit %%2340\;m^2%% Betonschalung in %%7\;Tagen%% her.

%%7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler%% stellen bei %%9\;h%% Arbeitszeit %%2340\;m^2%% Betonschalung an %%1\;Tag%% her.

%%\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler%% stellen bei %%9\;h%% Arbeitszeit %%2340\;m^2%% Betonschalung an %%21\;Tagen%% her.

%%\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler%% stellen bei %%9\;h%% Arbeitszeit %%2340\;m^2%% Betonschalung an %%21\;Tagen%% her.

%%9\cdot\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler%% stellen bei %%1\;h%% Arbeitszeit %%2340\;m^2%% Betonschalung an %%21\;Tagen%% her.

%%\frac18\cdot9\cdot\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler=27\;Einschaler%% stellen bei %%8\;h%% Arbeitszeit %%2340\;m^2%% Betonschalung an %%21\;Tagen%% her.


Quelle: Rudolf Brinkmann

Handelt es sich bei den folgenden Größen um eine direkte oder indirekte Proportionalität:

Die Menge Wasser in einer Mineralwasserflasche und die Zahl der Flaschen, die benötigt werden, um 600 Schulkindern je einen halben Liter Mineralwasser zu bieten.

Indirekte Propotionalität

Berechne, welche Menge Wasser benötigt wird.

%%600\cdot0,5l=300l%%

Überlege, wie man diese Menge in Flaschen aufteilen kann.

%%600l:0,5l=300%%

Rechne aus, wie viele Flaschen benötigt werden, wenn die Flaschen doppelt so viel Wasser fassen können.

%%300l:1l=300%%

Die Flaschenanzahl halbiert sich, während sich die Menge an Wasser, die eine Flasche fassen kann, verdoppelt. Somit sind die beiden Größen zueinander indirekt proportional.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es handelt sich um indirekte Proportionalität.

Die Menge Wasser in einer Mineralwasserflasche und die Zahl der Schulkinder, die mit 400 Flaschen versorgt werden können, dass jeder einen halben Liter erhält.

Direkte Proportionalität

400 Flaschen mit je 0,5l  %%\rightarrow%% Versorgung aller Kinder

Überlege, was passiert, wenn sich die Menge an Wasser, die eine Flasche fassen kann, verdoppelt.

400 Flaschen mit je 1l %%\rightarrow%% Versorgung von doppelt so vielen Kindern (möglich).

Wenn sich die Größe einer Flasche verdoppelt, verdoppelt sich auch die Anzahl an Kindern, die damit versorgt werden können. Also sind die zwei Größen direkt zueinander proportional.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es handelt sich um direkte Proportionalität.

Eine Spiralfeder gehorcht dem Hooke’schen Gesetz. Peter hat in einer Schülerübung mit einer Spiralfeder folgende Messwerte notiert.

 

F/N

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

s/cm

4,0

8,1

11,9

16,1

19,9

 

a) Überlege dir einen geeigneten Maßstab und stelle die Messwerte graphisch dar.

b) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen Kraft F und Dehnung s der verwendeten Feder beschreibt.

c) „Wenn wir an die Feder ein Massestück von 2 kg hängen, verlängert sie sich um ca. 1,6 m“, behauptet Peter. Beschreibe, wie er den Wert für die Verlängerung ermittelt haben könnte. Stimmst du seiner Aussage zu?

Bei einem Hilfsprojekt in Afrika wird Milchpulver, das in Säcken zu je 24 kg verpackt ist, in Tüten mit  %%1\frac45%% kg Inhalt abgefüllt.

a) Wie viele ganze Tüten können aus zwei Säcken insgesamt abgefüllt werden?

b) In einer Verteilerstelle für Hilfsgüter befinden sich 22 dieser Säcke. Durch einen Wasserschaden werden 176 kg davon unbrauchbar. Welcher Bruchteil der ursprünglichen Menge kann jetzt noch verwendet werden?

c) Bei einem der Säcke ist durch ein Loch  %%\frac2{15}%% des Inhalts verloren gegangen. Wie viele ganze Tüten kann man von dem Rest des Sackinhalts noch füllen?

d) Der LKW der Hilfsorganisation, der die Säcke brachte, war um 04:40 Uhr gestartet, hatte um 07:25 Uhr eine Pause von  %%1\frac25%% Stunden eingelegt, musste wegen einer Reifenpanne um 09:40 Uhr nochmals die Fahrt für  %%1\frac{11}{12}%% Stunden unterbrechen und kam schließlich um 12:25 Uhr bei der Verteilerstelle an. Wie lang war die reine Fahrzeit des LKWs?

Teilaufgabe a

  %%\begin{array}{l}1\;Sack\;\rightarrow\;24Kg\\2\;Säcke\;\rightarrow48\;Kg\end{array}%%

  %%\begin{array}{l}1\;Tüte\;(T)\;\rightarrow\;1,8Kg\\\frac59T\;\rightarrow\;1Kg\end{array}%%

%%\begin{array}{l}1Kg\;\rightarrow\;\frac59T\\48Kg\;\rightarrow\;\;\frac59\cdot48\;T\;=26,\overline6\;\end{array}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Es lassen sich 26 ganze Tüten aus 2 Säcken füllen.

 

Teilaufgabe b

%%22\;Säcke\;\rightarrow\;528\;kg%%

Davon bleiben übrig: %%528-176=352%%

 

 352 kg von 528 kg sind %%\frac{352}{528}=\frac23%% von den 22 Säcken

%%\Rightarrow\;\;%% Noch %%\frac23%% können verwendet werden.

 

Teilaufgabe c

%%\begin{array}{l}1\;Sack\;(S)\;\rightarrow24\;kg\\\frac2{15}S\;\rightarrow3,2\;kg\end{array}%%

 

24 kg sind in einem Sack. Davon gehen 3,2 kg verloren.

%%\Rightarrow\;24\;kg-3,2\;kg=20,8\;kg%% bleiben übrig

%%1\;kg\;\rightarrow\;\frac59T%%

%%20,8\;kg\;\;\rightarrow\;\;11,\overline5%%

%%\Rightarrow\;\;%% 11 Tüten lassen sich noch füllen.

 

Teilaufgabe d

Geg:

Startzeit: 4:40 Uhr

Ankunft: 12:25 Uhr

%%\rightarrow\;\;%% 7h 45min

Pausen: %%1\frac25\mathrm h\;\mathrm{und}\;1\frac{11}{12}\mathrm h%%

Was ist gegeben?

von 4:40 Uhr bis 12:25 Uhr sind es 7h 45min.

Pausen: %%1\frac25\mathrm h+1\frac{11}{12}\mathrm h=3\frac{19}{60}%%

%%\rightarrow\;\;%% 3h 19min

Wie lange war er insgesamt unterwegs und wie lang waren seine Unterbrechungen?

7h 45min - 3h 19min = 4h 26min

Ziehe die Unterbrechungen von der Insgesammten Zeit ab und man erhält die reine Fahrzeit.

%%\Rightarrow\;%% Die reine Fahrzeit beträgt 4 Stunden und 26 Minuten.

Die in den Tabellen dargestellten Größen sind in beiden Fällen proportional. Entscheide, welche Art von Proportionalität jeweils vorliegt und vervollständige die Tabellen. Gib jeweils auch eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen x und y beschreibt.

 

x

1

1,8

2

4

y

3,1

5,58

6,2

17,05

x

0,1

0,2

0,5

1

1,4

y

10,5

5,25

2,1

0,75

0,42

Zeichne jeweils rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse c = 5 cm und den Katheten a = 1,0 cm; 1,5 cm; 2,5 cm bzw. 3,0 cm. Miss in jedem Dreieck den zugehörigen Winkel %%\alpha%% und trage ihn in unten stehende Tabelle ein. Sind Seitenlänge a und Winkel %%\alpha%% zueinander proportional?

 

Seitenlänge a

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Winkel %%\alpha%%

Bei Wandverkleidungen werden häufig Profilbretter verwendet. Der im Handel angebotene Preis pro Quadratmeter bezieht sich aber auf die Fläche der Bretter und nicht auf die zusammengesteckten Bretter der zu bedeckenden Wandfläche. Es ist davon auszugehen, dass 1 Quadratmeter Bretter nur 0,9 Quadratmeter Wandfläche bedeckt.

a) Es sollen 12,4 Quadratmeter Wand verkleidet werden. Wie viel im Handel angebotene Quadratmeter Profilbretter müssen mindestens erworben werden?

b) Ein Brett ist 3,40 m lang und 121 mm breit. Wie viele Quadratmeter können mit diesem Brett tatsächlich bedeckt werden? Wie viele solcher Bretter braucht man mindestens für 1 Quadratmeter Wandfläche?

c) Im Prospekt wird der Quadratmeter Profilbretter zu 4, 55 € angeboten. Wie hoch ist der Preis pro Quadratmeter Wandfläche? Reichen 75 € für eine Wandfläche von 13,5 Quadratmeter?

Teilaufgabe a

%%\frac{12,4}{0,9}\;m^2\approx14\;m^2%% im Handel angebotene Profilbretter müssen mindestens erworben werden.

 

Teilaufgabe b

%%{\textstyle0}{\textstyle,}{\textstyle9}{\textstyle\cdot}{\textstyle(}{\textstyle3}{\textstyle,}{\textstyle40}{\textstyle\;}{\textstyle m}{\textstyle\cdot}{\textstyle121}{\textstyle\;}{\textstyle m}{\textstyle m}{\textstyle)}=0,9\cdot(3,40\;m\cdot0,121\;m)\approx0,37\;m^2%% können mit diesem Brett tatsächlich bedeckt werden. Man braucht mindestens %%3%% Bretter.

 

Teilaufgabe c

Der Preis pro Quadratmeter Wandfläche beträgt %%\frac{4,55}{0,9}€\approx5,06\,€%%.

%%13,5\cdot5,06€=68,31€<75€%%. Also reichen %%75\;€%%.

Ein Grundstück wird vermessen und die Länge auf 83,5 m und die Breite auf 42 m festgelegt.

a) Welchen Flächeninhalt besitzt das Grundstück?

b) Ein Käufer bietet für das Grundstück 250000 €. Von welchem Preis pro Quadratmeter geht der Käufer aus? (auf Euro genau).

c) Der Käufer will auf dem Grundstück ein Hotel einrichten. Die örtlichen Bauvorschriften besagen, dass höchstens ein Drittel des Grundstücks bebaut werden darf. Welche Grundfläche hat das Hotel, wenn der Käufer das Höchstmaß dafür sogar um 200 Quadratmeter unterschreitet.

Wie viele Quadrate zu je 2,5 cm Seitenlänge ergeben einen Quadratmeter?

Flächenberechnung am Quadrat

40 dieser Quadrate müssen aneinander gelegt werden, um ein Rechteck der Fläche 2,5 cm x 100 cm zu erhalten.

Erneutes Zusammenlegen von 40 Rechtecken der Fläche 2,5 cm x 100 cm ergibt einen Quadratmeter.

Insgesamt werden also %%40\cdot40=1600%% Quadrate der Seitenlänge 2,5 cm benötigt.

Es gibt viele Zahlenpaare, deren Produktwert 0,64 beträgt.

  1. Gib 10 solche Zahlenpaare an.

  2. Ermittle dasjenige Zahlenpaar, das den kleinsten Summenwert besitzt.

Teilaufgabe a

Beispiele: (0,1|6,4), (0,8|0,8), (1|0,64), (2|0,32), (4|0,16), (8|0,08), (10|0,064), (16|0,04), (32|0,02), (64|0,01)

Teilaufgabe b

Das Paar (0,8|0,8) scheint den kleinsten Summenwert zu liefern. Es besteht aus gleichen Zahlen.

Hinweis: Dass das Paar (0,8|0,8) den kleinsten Summenwert liefert, lässt sich auch systematischer zeigen.

Um Bakterien einer Zellkultur abzutöten, werden Antibiotika eingesetzt. In der ersten Stunde wird die Hälfte der Bakterien getötet, in der zweiten Stunde von den noch vorhandenen ein Drittel und in der dritten Stunde von den noch vorhandenen ein Viertel.

Berechne den Bruchteil der Bakterien, die dann noch vorhanden sind.

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Nach dieser Abbildung der Nationalflagge von Benin in Afrika soll eine Fahne aus Tuch gefertigt werden, die 5m breit und 3m hoch ist.

a) In einer Fabrik wird sie so genäht, dass das Rechteck AEGD  %%\frac25%% der Fahnenfläche einnimmt. Die beiden anderen Rechtecke sind gleich groß. Berechne die Stoffmenge für jedes Rechteck in Quadratmetern.

b) Eine andere Fabrik näht die Fahne so, dass alle drei inneren Rechtecke gleich groß sind.
Berechne Breite und Höhe jedes dieser Rechtecke in Metern. Runde auf Zentimeter genau.

c) In einer dritten Fabrik wird die Fahne so genäht, dass die Rechtecke AEGD und EBFH zusammen genau so groß sind wie das Rechteck HFCG. Ordne den Flächeninhalt dieser drei Rechtecke der Größe nach. Übrigens: Diese Fahne wäre in Benin wahrscheinlich unverkäuflich. Warum?

Teilaufgabe a

Rechteck AEGD:  %%6m^2%%

Rechtecke EBFH und HFCG: %%4,5m^2%%

 

 

 

Teilaufgabe b

Jedes Rechteck hat eine Fläche von %%5m^2%%.

 

Rechteck

Höhe in m

Brete in m

AEGD

1,67

3,00

EBFH

3,33

1,50

HFCG

3,33

1,50

Teilaufgabe c

Es sind drei Fälle möglich:
A(HFCG) > A(AEGD) > A(EBFH) oder
A(HFCG) > A(EBFH) > A(AEGD) oder
A(HFCG) > A(EBFH) = A(AEGD).
Dadurch können die beiden Rechtecke HFCG und EBFH nie gleich groß sein.

 

Diese Fahne ist nur ein entstelltes Bild der Nationalflagge.

 

In ein Schwimmbecken gelangen durch 6 gleiche Zuleitungen in fünf Stunden insgesamt 600 %%m^3%% Wasser. Berechne, wie lange es dauert, das ganze Becken (1000 %%m^3%%) über nur 4 Zuleitungen zu füllen.

6 Zuleitungen benötigen für 600 %%m^3%% ingesamt 5 Stunden.

Dividiere durch 5, um auszurechnen, wieviel Kubikmeter Wasser die 6 Zuleitungen in einer Stunde in das Becken befördern.

%%\frac{600}5=120%%

6 Zuleitungen benötigen für 120 %%m^3%% ingesamt 1 Stunde.

Dividere die Anzahl an Kubikmetern Wasser durch 6, um auszurechnen, wieviel Wasser eine Zuleitung in einer Stunde in das Becken befördert.

%%\frac{120}6=20%%

1 Zuleitung benötigt für 20 %%m^3%% insgesamt 1 Stunde.

Multipliziere mit 4, um die Leistung von 4 Zuleitungen in 1 Stunde auszurechnen.

%%4\cdot20m^3=80m^3%%

4 Zuleitungen brauchen für 80 %%m^3%% insgesamt eine Stunde.

Dividiere nun die 1000 %%m^3%% durch die 80 %%m^3:h%%, um auszurechnen, wieviele Stunden die 4 Zuleitungen brauchen, um diese Menge Wasser ins Becken zu befördern.

%%\frac{1000m^3}{80m^3:h}=12,5h%%

%%\Rightarrow\;\;%% Die 4 Zuleitungen benötigen 12,5 Stunden, um 1000 %%m^3%% Wasser in das Becken zu befördern.

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