Aufgaben

Betrachte die Figur rechts, in der die Geraden durch %%DE%% und %%BC%% zueinander parallel sind.%%\;%%
Es gilt: %%\overline{AB} = 8 \;\text{cm}%%, %%\overline{BC}= 5 \;\text{cm}%% und %%\overline{DE} = 3\; \text{cm}%%.

Wie lang ist die Strecke %%\overline{EB}%% in %%\text{cm}%%?

$${\overline{EB}}=\overline{AB}-\overline{AE} \:(1)$$

Die Strecke %%\overline{EB}%% is die Differenz zwischen der Strecke %%\overline{AB}%% und %%\overline{AE}%%

%%\overline{AE}%% kann man mit Hilfe des Strahlensatzes aus %%\overline{AB}%%, %%\overline{BC}%% und %%\overline{DE}%% errechnen.

$$\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$$

$$|\cdot \overline{AB}$$

$$\overline{AE}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\cdot\overline{AB}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot8\:cm=\mathbf{4,8\:cm}$$

4.8 cm einsetzen in (1).

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE}=8\:cm-4.8\:cm=\mathbf{3,2\:cm}$$

Die Strecke %%\overline{EB}%% beträgt %%3,2\;\text{cm}%%

Wenn gilt %%\overline{CD} = 4 \;\text{cm}%%, wie lange ist dann %%\overline{AC}%% in %%\text{cm}%% ?

Es gibt zwei Moeglichkeiten AC aus den gegebenen Strecken zu berechnen.

Moeglichkeit A aus den urspruenglichen Angaben zu BC, DE und CD:

$$\overline{AC}=\mathbf{\overline{AD}}+\overline{DC}\:(1)$$

Die Strecke AC ist die Summe aus den Strecken AD (unbekannt) und CD (gegeben).

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}$$

Aus dem Strahlensatz kannst du ausserdem das Verhaeltnis zwischen AC und AD berechnen. $$|\cdot\overline{AC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}\cdot\overline{AC}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}$$

und fur AD in (1) einsetzen.

$$\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}+\overline{DC}$$

$$|-0.6\:\overline{AC}$$

$$0.4\:\overline{AC}=\overline{DC}$$

$$|:0.4 \:oder \cdot\:2.5$$

$$\overline{AC}=2.5\cdot\overline{DC}=2.5\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Alternativ kannst du AC auch aus AB, CD und EB aus der vorigen Aufgabe berechnen:

$$\frac{\overline{CD}}{\mathbf{\overline{AC}}}=\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}$$

Aus dem Strahlensatz ergibt sich das Verhaeltnis von CD und AC aus EB und AB.

Drehe den Bruch auf beiden Seiten um.

$$\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{CD}$$

$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}\cdot\overline{CD}=\frac{8\:cm}{3.2\:cm}\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Betrachte die Figur rechts.

Die Geraden %%AD%% und %%BC%% sind zueinander parallel. Außerdem gilt %%\overline{AB} = 6\;\text{cm}%%, %%\overline{AE} = 2 \;\text{cm}%% und %%\overline{BC} = 3 \;\text{cm}%%.

Strahlensatz1

Berechne die Länge der Strecke %%\overline{AD}%% in %%\text{cm}%%.

Gesucht ist die Länge der Strecke %%\overline{AD}%%. Diese Strecke ist Teil der Parallelen Geraden, daher weißt du, dass du den %%2.%% Strahlensatz benötigst:

$$\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

Mit dem %%2.%% Strahlensatz kannst du die Strecke %%\overline{AD}%% aus %%\overline{AE}%% (bekannt), %%\overline{EB}%% (unbekannt) und %%\overline{BC}%% (bekannt) errechnen.

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE} = 6\:cm -2\:cm=4\:cm$$

Die Strecke %%\overline{EB}%% ist die Differenz zwischen der Strecke %%\overline{AB}%% und %%\overline{AE}%%.

%%\;%%

Jetzt kennst du alle Streckenlängen, um den Strahlensatz anwenden zu können:

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{BC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}\cdot\overline{BC}=\frac{2\:cm}{4\:cm}\cdot 3 \:cm$$

$$=1,5 \:cm$$

Begründe, warum du die Länge der Strecke %%\overline{CE}%% nicht mit Hilfe des Strahlensatzes berechnen kannst.

Um die Länge der Strecke %%\overline{CE}%% zu berechnen hättest du prinzipiell zwei Möglichkeiten:

  • 1. Strahlensatz: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{EA}}%%, wenn du alle gegebenen Größen einsetzt, erhältst du: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{4}{2}=2.%%

    Dir fehlt jedoch die Länge der Strecke %%\overline{ED}%%, um %%\overline{CE}%% berechnen zu können.


  • 2. Strahlensatz: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}}%%, wenn du alle gegebenen Größen einsetzt erhältst du: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{3}{1,5}=2%%.

    Wieder fehlt dir die Länge der Strecke %%\overline{ED}%%, um %%\overline{CE}%% berechnen zu können.


Wie du siehst, benötigst du von einem Strahl immer eine der beiden Strecken, um die jeweils andere mit dem Strahlensatz berechnen zu können!

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