Zwei Quadrate liegen so ineinander, dass jede Seite des inneren Quadrats von der entsprechenden Seite des äußeren Quadrats den Abstand 3 cm hat. Die Seiten der beiden Quadrate begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt 360 cm², die in der nicht maßstabsgetreuen Abbildung schraffiert dargestellt ist.

Jakob und Lukas sollen die Seitenlänge des inneren Quadrats bestimmen. Sie verwenden dazu unterschiedliche Ansätze:

Ansatz von Jakob: %%(x+6)^2-x^2=360%%

Ansatz von Lukas: %%4\cdot[3\cdot(x+3)]=360%%

%%a)%% Erkläre den Ansatz von Jakob in Worten. (1 BE)

%%b)%% Veranschauliche den Ansatz von Lukas durch geeignete Eintragungen in die obige Abbildung. (1 BE)

%%c)%% Bestimme die Lösung der Gleichung %%4\cdot[3\cdot(x+3)]=360%% über der Grundmenge %%\mathbb{Q}%%. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Um herauszufinden, was Jakob gedacht hat, überlegst du dir am besten zuerst, was die einzelnen Teile der Gleichung für eine Bedeutung haben.

%%360%%

Das ist die Größe des Flächeninhalts.

%%x^2%%

Das ist die Flächeninhalt des kleinen Quadrats, weil du für den Flächeninhalt eines Quadrats immer die Seitenlänge mit sich selbst multiplizieren musst.

%%(x+6)^2%%

Das ist der Flächeninhalt des großen Quadrats, da die Seitenlänge davon %%x+3+3=x+6%% ist. Du addierst zu der Länge %%x%% zweimal die kleinen Seitenstücke und für den Flächeninhalt quadrierst du dein Ergebnis.

Jakob hat %%(x+6)^2-x^2=360%% gerechnet, wie du jetzt weißt entspricht das:

großes Quadrat - kleines Quadrat = Flächeninhalt der grauen Fläche

Jakob zieht also den Flächeninhalt des kleinen Quadrats von dem des großen Quadrats ab und erhält damit den grauen Flächeninhalt.

Teilaufgabe b)

Lukas Term ist %%4\cdot [3\cdot (x+3)]%%. Es geht um die Berechnung des Flächeninhalts des grauen Gebildes. Er nimmt hier %%4%% mal %%[3\cdot(x+3)]%%. Also könntest du dir überlegen, ob es eine Möglichkeit gibt, die Fläche in vier gleich große Stücke zu zerteilen.

%%3%% ist die kurze Seitenlänge eines Seitenstreifens.

%%x+3%% ist die Seitenlänge des kleinen Quadrats und die Länge eines kleiner Seitenstreifen zusammen.

%%3\cdot (x+3)%% entspricht damit dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit diesen beiden Seiten, weil man dafür die Seitenlängen multipliziert.

Und %%4\cdot [3\cdot (x+3)]%% entspricht dann %%4%% solchen Rechtecken.

Deswegen zeichnest du wie in dem Bild, vier solche Rechtecke in die Abbildung.

Teilaufgabe c)

In dieser Teilaufgabe löst du nun eine lineare Gleichung:

$$4\cdot\lbrack3\cdot(x+3)\rbrack=360$$

Multipliziere den Term in der eckigen Klammer aus.

$$4\cdot(3x+9)=360$$

Löse wieder durch Ausmultiplizieren die Klammern auf.

%%12x+36=360%%

%%\displaystyle|-36%%

%%12x=324%%

%%|:12%%

$$x=27$$

Lösungsmenge: %%\mathbb{L}%% %%=\left\{27\right\}%%

Die Zahl 27 ist ein Element von %%\mathbb{Q}%% (27 %%\in%% %%\mathbb{Q}%%)