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Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

1

Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an. (Das Bild kann mit einem Rechtsklick vergrößert angezeigt werden.)

Satz des Pythagoras
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Benutze den Satz des Pythagoras.

  • a) t2=s2+r2t^2=s^2+r^2

  • b) u2=v2+w2u^2=v^2+w^2

  • c) a2=b2+c2a^2=b^2+c^2

  • d) y2=x2+z2y^2=x^2+z^2

  • e) b2=a2+c2b^2=a^2+c^2

2

Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen.

Satz des Pythagoras

Das Bild kann mit Rechtsklick vergrößert angezeigt werden.

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Teilaufgabe a)

x2=(8cm)2+(5cm)2\displaystyle x^2=(8\,\mathrm{cm})^2+(5\,\mathrm{cm})^2

\displaystyle x^2=64\,\mathrm{cm}^2+25\mathrm\,{cm}^2

x2=89cm2\displaystyle x^2=89\,\mathrm{cm}^2

Wurzel ziehen

x9,43cm\displaystyle x\approx9,43\,\mathrm{cm}

Teilaufgabe b)

y2=(9cm)2+(2cm)2\displaystyle y^2=(9\,\mathrm{cm})^2+(2\,\mathrm{cm})^2

y2=81cm2+4cm2\displaystyle y^2=81\,\mathrm{cm}^2+4\,\mathrm{cm}^2

y2=85cm2\displaystyle y^2=85\,\mathrm{cm}^2

Wurzel ziehen.

y9,22cm\displaystyle y\approx9,22\,\mathrm{cm}

Teilaufgabe c)

(15cm)2=z2+(10cm)2\displaystyle (15\,\mathrm{cm})^2=z^2+(10\,\mathrm{cm})^2

225cm2=z2+100cm2\displaystyle 225\,\mathrm{cm}^2=z^2+100\,\mathrm{cm}^2
100cm2\displaystyle \mid-100\,\mathrm{cm}^2
125cm2=z2\displaystyle 125\,\mathrm{cm}^2=z^2

Wurzel ziehen

z=11,18cm\displaystyle z=11,18\,\mathrm{cm}

Teilaufgabe d)

(45cm)2=u2+(28cm)2\displaystyle (45\,\mathrm{cm})^2=u^2+(28\,\mathrm{cm})^2

2025cm2=u2+784cm2\displaystyle 2025\,\mathrm{cm}^2=u^2+784\,\mathrm{cm}^2
784cm2\displaystyle \mid -784\,\mathrm{cm}^2
1241cm2=u2\displaystyle 1241\,\mathrm{cm}^2=u^2

Wurzel ziehen

u=35,23cm\displaystyle u=35,23\,\mathrm{cm}

Teilaufgabe e)

(12cm)2=v2+(8cm)2\displaystyle (12\,\mathrm{cm})^2=v^2+(8\,\mathrm{cm})^2

144cm2=v2+64cm2\displaystyle 144\,\mathrm{cm}^2=v^2+64\,\mathrm{cm}^2
64cm2\displaystyle \mid -64\,\mathrm{cm}^2
80cm2=v2\displaystyle 80\,\mathrm{cm}^2=v^2

Wurzel ziehen

v=8,94cm\displaystyle v=8,94\,\mathrm{cm}

3

Berechne die fehlenden Längen! (alle Maße in mm)

  1. 02a_des
  2. 02b_des
    **
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Teilaufgabe 1

Gesucht ist nicht die Diagonale, sondern eine der Seiten!

x=(781mm)2(500mm)2\displaystyle x =\sqrt{\left(781\,\mathrm{mm}\right)^2 - \left(500\,\mathrm{mm}\right)^2}

Berechnung der Gleichung

x=599,967mm\displaystyle x = 599,967\,\mathrm{mm}

Runden auf gültige Ziffern

x0,6m\displaystyle \phantom{x}\approx 0,6\,\mathrm{m}

Teilaufgabe 2

x=(800mm)2+(700mm)2\displaystyle x = \sqrt{\left(800\,\mathrm{mm}\right)^2 + \left(700\,\mathrm{mm}\right)^2}

Berechnung der Gleichung

x=1063,015mm\displaystyle x = 1063,015\,\mathrm{mm}

Runden auf gültige Ziffern

x1,06m\displaystyle \phantom{x} \approx 1,06\,\mathrm{m}

4

Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks ABCDABCD.

Satz des Pythagoras
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

d2=(12cm)2+(5cm)2d^2=(12\,\mathrm{cm})^2+(5\,\mathrm{cm})^2

d2=144cm2+25cm2d^2=144\,\mathrm{cm}^2+25\,\mathrm{cm}^2

d2=169cm2d^2=169\,\mathrm{cm}^2

Ziehe die Wurzel aus 169

d=13cmd=13\,\mathrm{cm}

Die Diagonale dd ist 13cm13\,\mathrm{cm}.

5

Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Doppeltor gebaut werden. Die Maße sind hier jeweils in mm\text{mm} angegeben. Der Querschnitt der Stäbe ist ein Quadrat mit Kantenlänge 50mm50\text{mm}.

Berechne die Gesamtlänge an Stäben, die mindestens benötigt wird.

Beachte, wie die Profile zusammengebaut werden.

03_des
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Anwendung des Satz des Pythagoras

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Textaufgabe, bei der der Satz des Pythagoras verwendet wird.

Die benötigte Gesamtlänge der Stabe ergibt sich aus der Stablänge der beiden Diagonalen, der Stablänge des Umfangs des Doppeltors und der Länge der beiden mittleren Stäbe.

Gesamtlänge der mittleren Stäbe

Beide Stäbe sind laut Skizze 2570mm2570\text{mm} lang. Somit ist die Gesamtlänge:

%%\begin{array}{lcl}L_1 & = & 2\cdot 2570\text{mm} \\& = & 5140\text{mm} \\\end{array}%%

Umfang des Doppeltors

Beim Doppeltor handelt es sich um ein Rechteck. Dessen Umfang kannst du wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lclcl}L_2 & = & 2\cdot 3100\text{mm} & + & 2 \cdot 2570\text{mm} \\& = & 6200\text{mm} & + & 5140\text{mm} \\& = & 11340 \text{mm} \\\end{array}%%

Stablänge der Diagonalen

Beide Stäbe sind die Diagonalen der inneren, rechteckigen Flächen. Um die Stäblänge auszurechnen benötigst du die Länge und Breite der Innenflächen.Mit Hilfe der Skizze ergibt sich:

La¨nge=(Doppeltorla¨nge:2)(2Stabbreite)\text{Länge} = (\text{Doppeltorlänge} : 2) - (2 \cdot \text{Stabbreite})

Breite=Doppeltorho¨he(2Stabbreite)\text{Breite} = \text{Doppeltorhöhe} - (2 \cdot \text{Stabbreite})

Somit ist die Länge:

%%\begin{array}{lclcl}l & = & (3100\text{mm} : 2) & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 1550\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 1450\text{mm} \\\end{array}%%

Und die Breite:

%%\begin{array}{lclcl}b & = & 2570\text{mm} & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 2570\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 2470\text{mm} \\\end{array}%%

Um die Stablänge einer Diagonalen zu berechnen, wenden wir den Satz des Pythagoras an:

%%\begin{array}{lcl}d & = & \sqrt{l^2 + b^2} \\& = & \sqrt{(1450\text{mm})^2 + (2470\text{mm})^2} \\& = & 2864,15…\text{mm} \\& \approx & 2864\text{mm} \\\end{array}%%

Die Länge beider Stäbe entspricht also:

%%\begin{array}{lcl}L_3 & = & 2 \cdot d \\& \approx & 2 \cdot 2864\text{mm} \\& = & 5728\text{mm} \\\end{array}%%

Gesamte Stablänge

Die benötigte Gesamtlänge ist somit:

%%\begin{array}{lclclcl}L & = & L_1 & + & L_2 & L_3 \\& \approx & 5140\text{mm} & + & 11340\text{mm} & + & 5728\text{mm} \\& = & 22208\text{mm} \\\end{array}%%

Es wird also eine Gesamtlänge von etwa 22208mm=22,208m22208\text{mm} = 22,208\text{m} an Stäben benötigt.

6

In der Mitte zwischen zwei Häusern soll an einem Spannseil eine Straßenlaterne aufgehängt werden. Das Spannseil hat genau eine Länge von l=6,4ml = 6,4 \,\mathrm{m}.

Nachdem die Lampe angebracht wurde, hängt das Seil, wie aus nebenstehender Zeichnung zu sehen ist, etwas durch.

04_des
  1. Um welche Länge wurde das Seil durch die Belastung gedehnt?

  2. Wie viel % wird das Seil gedehnt?

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Teilaufgabe 1

5048_v9bgP8bqxk.png

x=6400mm2\displaystyle x = \frac{6400\,\mathrm{mm}}2

x=3200mm\displaystyle x = 3200\,\mathrm{mm}

y=4000mm3200mm\displaystyle y = 4000 \mathrm{mm}- 3200 \mathrm{mm}

y=800m\displaystyle y = 800 \mathrm{m}

Länge des gedehnten Seils Sg=2x2+y2S_g = 2\cdot\sqrt{x^2 + y^2}

Sg=6,597m\displaystyle S_g = 6,597\,\mathrm{m}

Längenänderung =Sg6400mm= S_g - 6400 \mathrm{mm}

Längenänderung =196,969mm= 196,969 \mathrm{mm}

Teilaufgabe 2

prozentuale Längenänderung

W=GPW = G\cdot P; G=6400mmG = 6400\mathrm{mm}; W=W = Längenänderung

Umstellen der Gleichung

p=WG\displaystyle p = \frac{W}{G}

Einsetzen und ausrechnen

p=0,03078\displaystyle p = 0,03078

Umformen der Dezimalzahl in eine Prozentzahl

p=3,078%\displaystyle p = 3,078\%

7
  1. Ermittle die Formel für den Abstand PQ\overline{PQ} der Punkte P(xpyp)P(x_p \mid y_p) und Q(xqyq)Q(x_q \mid y_q). Mache dir die Formel anhand einer Skizze klar.

  2. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABCABC mit A(32)A(3 \mid 2), B(11)B(1 \mid 1), C(52)C(5 \mid -2) .

  3. Vom Satz des Pythagoras gilt auch die Umkehrung, d. h., gilt a2+b2=c2a^2+b^2=c^2, so hat das Dreieck bei CC einen rechten Winkel. Zeige damit, dass das Dreieck aus Teilaufgabe 2 bei AA rechtwinklig ist.

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Teilaufgabe 1

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9a)

Die Punkte PP und QQ sind zwei Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Punkte PP und QQ sind weiterhin die Endpunkte der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks werden aus der Abständen der Punkte PP und QQ voneinander in horizontaler (Δx\Delta x) und vertikaler Richtung (Δy\Delta y) gebildet.

Der Abstand PQ\overline{PQ} zwischen den Punkten PP und QQ ergibt sich somit aus der Wurzel der Quadrate der Differenzen Δx=xQxP\Delta x=x_Q-x_P und Δy=yQyP\Delta y=y_Q-y_P.

PQ=Δx2+Δy2,  Δx=xQxP,  Δy=yQyP\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\;\Delta x=x_Q-x_P,\;\Delta y=y_Q-y_P

Teilaufgabe 2

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9b)
PQ=Δx2+Δy2,Δx=xqxp,Δy=yqyp\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\Delta x=x_q-x_p,\Delta y=y_q-y_p

Übernehmene die Lösung aus Teilaufgabe 1.

Somit ergibt sich für die Länge der Seite AB\overline{AB} mit xA=3x_A=3 , xB=1x_B=1 und yA=2y_A=2 , yB=1y_B=1

AB=(13)2+(12)2\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(1-2\right)^2}

AB=(2)2+(1)22,24\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2} \approx 2,24

und für die Länge der Seite AC\overline{AC} entsprechend zu oben eingesetzt

AC=(53)2+(22)2\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\left(5-3\right)^2+\left(-2-2\right)^2}

AC=(2)2+(4)24,47\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(-4\right)^2} \approx 4,47

und für die Länge der Seite BC\overline{BC}.

BC=(4)2+(3)2=5\displaystyle \overline{BC}=\sqrt{\left(4\right)^2+\left(-3\right)^2}=5

Teilaufgabe 3

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9c)

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite die Hypotenuse. Dieses wäre dann die Seite BC\overline{BC}. Die Seiten AB\overline{AB} und AC\overline{AC} wären die Kathen. Es ist zu überprüfen, ob:

BC=AB2+AC2.\displaystyle \overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}.

Die Ergebnisse für die Seitenlängen können aus der Lösung der Teilaufgabe 2 übernommen werden.

AB2+AC2=2,242+4,4725\displaystyle \sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}=\sqrt{2,24^2+4,47^2}\approx 5

Rechnung, Die Werte werden aus der Lösung von Teilaufgabe 2 übernommen.

Das Dreieck ist bei AA rechtwinklig

8

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in m\mathrm m):

  1. Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

  2. Wie viel m2\mathrm m^2 Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben (auf zwei Nachkommastellen) mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

7663_gwzK51bI4S.xml
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Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

  • die Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right] (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

  • die Strecke [EF]\left[\mathrm{EF}\right] (denn um von E\mathrm E zu F\mathrm F zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu T\mathrm T webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Möglichen längste Strecken im Holzhäuschen

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne zuerst die Längen der beiden Strecken [ET]\left[\mathrm{ET}\right] und [EF]\left[\mathrm{EF}\right],

  • und prüfe dann, welche von beiden die längere ist.

Berechnung der Länge der Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right]

Skizze: Dreieck EHT im Holzhäuschen

Die Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right] ist Seite im Dreieck EHT\triangle \mathrm{EHT}.

Dieses Dreieck hat bei H\mathrm H einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck EHT\triangle \mathrm{EHT} den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist [ET]\left[\mathrm{ET}\right].

ET2=EH2+HT2\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2

Die Streckenlänge HT=2,03m\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke [HT]\left[\mathrm{HT}\right] ist natürlich genauso lang wie [SG]\left[\mathrm{SG}\right].

HT=2,03m\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

ET2=EH2+(2,03m)2\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2

aber die Länge EH\overline{\mathrm{EH}} musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von EH\overline{\mathrm{EH}}:
Skizze: Dreieck EHG am Boden des Holzhäuschens

Die Strecke [EH]\lbrack \mathrm{EH}\rbrack ist Seite im Dreieck EGH\triangle\mathrm{EGH} am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei G\mathrm G rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist [EH]\lbrack\mathrm{EH}\rbrack.

EH2=EG2+GH2\displaystyle \overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2

EG=3,40m\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m und GH=2,50m\overline{\mathrm{GH}}=2,50\,\mathrm m sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

EH2=(3,40m)2+(2,50m)2\displaystyle \overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3,40\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2

und rechne aus.

EH2=17,81m2\displaystyle \overline{\mathrm{EH}}^2=17,81\mathrm m^2

Um von EH2\overline{\mathrm{EH}}^2 zu EH\overline{\mathrm{EH}} zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

EH=17,81m\displaystyle \overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m

Wenn du einen ungefähren Wert für EH\overline{\mathrm{EH}} wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

EH4,22  m\displaystyle \overline{\mathrm{EH}}\approx4,22\;\mathrm m

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit EH2\overline{\mathrm{EH}}^2 weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge ET\overline {\mathrm{ET}} mithilfe des errechneten EH\overline {\mathrm{EH}}:
Skizze: Dreieck EHT zur endgültigen Berechnung der Strecke von E nach T

Du hast bislang erhalten:

  • ET2=EH2+(2,03m)2\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2

und

  • EH=17,81m\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m.

Setze nun EH=17,81m\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m in die obere Gleichung ein.

ET2=(17,81m)2+(2,03m)2\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2=\left( \sqrt{17,81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2,03\, \mathrm m \right)^2

ET2=21,9309m2\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2=21,9309\, \mathrm m ^2

ET\overline{\mathrm{ET}} erhältst du aus ET2\overline{\mathrm{ET}}^2, indem du die Wurzel ziehst.

ET=21,9309m\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}=\sqrt{21,9309}\, \mathrm m

Gib 21,9309\sqrt{21,9309} in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf cm\mathrm {cm} genau angegeben.)

ET4,68m\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}\approx4,68 \, \mathrm m

Berechnung der Länge der Strecke [EF]\left[\mathrm{EF}\right]

Skizze: Dreieck ENF

Die Strecke [EF]\left[\mathrm{EF}\right] ist Seite im Dreieck ENF\triangle \mathrm{ENF}.

Dieses Dreieck hat bei N\mathrm N einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck ENF\triangle \mathrm{ENF} den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist [EF]\left[\mathrm{EF}\right].

EF2=EN2+NF2\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2

Die Streckenlänge NF=2,55m\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke [NF]\left[\mathrm{NF}\right] ist natürlich genauso lang wie [MD]\left[\mathrm{MD}\right].

NF=2,55m\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

EF2=EN2+(2,55m)2\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2

aber die Länge EN\overline{\mathrm{EN}} musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von EN\overline{\mathrm{EN}}:
Skizze: Dreieck EMN

Die Strecke [EN]\lbrack \mathrm{EN}\rbrack ist Seite im Dreieck EMN\triangle\mathrm{EMN} am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei M\mathrm M rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist [EH]\lbrack\mathrm{EH}\rbrack.

EN2=EM2+MN2\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2

Die Streckenlänge MN=2,50m\overline{\mathrm{MN}}=2,50\,\mathrm m ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke [MN]\left[\mathrm{MN}\right] ist natürlich genauso lang wie [GH]\left[\mathrm{GH}\right]).

[EM]\left[\mathrm{EM}\right] ist halb so lang [EG]\left[\mathrm{EG}\right], und EG=3,40m\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

EN2=(3,402m)2+(2,50m)2\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}^2=\left(\dfrac{3,40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2
EN2=9,14m2\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}^2=9,14\, \mathrm m ^2

Um von EN2\overline{\mathrm{EN}}^2 zu EN\overline{\mathrm{EN}} zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

EN=9,14m\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\, \mathrm m

Wenn du einen ungefähren Wert für EN\overline{\mathrm{EN}} wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

EN3,02m\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}\approx3,02\, \mathrm m

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit EN2\overline{\mathrm{EN}}^2 weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge EF\overline {\mathrm{EF}} mithilfe des errechneten EN\overline {\mathrm{EN}}:
Dreieck ENF

Du hast bislang erhalten:

  • EF2=EN2+(2,55m)2\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2

und

  • EN=9,14m\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m.

Setze nun EN=9,14m\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m in die obere Gleichung ein.

EF2=(9,14m)2+(2,55m)2\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2=\left(\sqrt{9,14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2

EF2=15,6425m2\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2=15,6425 \, \mathrm m^2

EF\overline{\mathrm{EF}} erhältst du aus EF2\overline{\mathrm{EF}}^2, indem du die Wurzel ziehst.

EF=15,6425m\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}=\sqrt{15,6425}\, \mathrm m

Gib 15,6425\sqrt{15,6425} in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf cm\mathrm {cm} genau angegeben.)

EF3,96m\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}\approx3,96 \, \mathrm m

Ergebnis

Die Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right] mit einer Streckenlänge von ca. 4,68m4,68\,\mathrm m ist größer als die Strecke [EF]\left[\mathrm{EF}\right].

Damit ist die Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right]der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne die Fläche des Rechtecks DSTF\mathrm {DSTF} und

  • multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Holzhäuschen-Dachflächen

Berechnung der Fläche der Dachhälfte DSTF\mathrm {DSTF}

ADSTF=?\displaystyle A_\mathrm {DSTF}=?

Das Viereck DSFT\mathrm {DSFT} ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

ARechteck=La¨ngeBreite\displaystyle A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite
ADSTF=DSST\displaystyle A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}

Die Streckenlänge ST=2,50m\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m ist angegeben, aber DS\overline{\mathrm {DS}} musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von DS\overline{\mathrm{DS}}:
Seitenkante mit Pythagoras berechnen

Die Strecke [DS]\lbrack \mathrm{DS}\rbrack ist Seite im Dreieck KSD\triangle\mathrm{KSD} auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei K\mathrm K rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist [DS]\lbrack\mathrm{DS}\rbrack.

DS2=KS2+DK2\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2

[KS]\left[\mathrm{KS}\right] ist halb so lang [EG]\left[\mathrm{EG}\right], und EG=3,40m\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m ist in der Aufgabenstellung angegeben.

DS2=(3,40  m2)2+DK2\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2

DK\overline{\mathrm {DK}} kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken [DM]\left[\mathrm{DM}\right] und [KM]\left[\mathrm{KM}\right]:

DK=DMKM\displaystyle \overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}

DM=2,55m\overline{\mathrm{DM}}=2,55 \, \mathrm m ist angegeben.

KM=2,03m\overline{\mathrm{KM}}=2,03 \, \mathrm m kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke [KM]\left[\mathrm{KM}\right] ist natürlich genauso lang wie [SG]\left[\mathrm{SG}\right].

DK=2,55m2,03m=0,52m\displaystyle \overline{\mathrm{DK}}=2,55\, \mathrm m - 2,03 \,\mathrm m = 0,52 \,\mathrm m

Setze dies nun ein.

DS2=(3,40  m2)2+(0,52m)2\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0,52\, \mathrm m\right)^2

Das kannst du jetzt ausrechnen.

DS2=3,1604m2\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2=3,1604 \, \mathrm m^2

DS\overline{\mathrm{DS}} erhältst du aus DS2\overline{\mathrm{DS}}^2, indem du die Wurzel ziehst.

DS=3,1604m\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}=\sqrt{3,1604}\, \mathrm m

Gib 3,1604\sqrt{3,1604} in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf cm\mathrm {cm} genau angegeben.)

DS1,78  m\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m

Diesen gerundeten Wert für DS\overline{\mathrm{DS}} kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

ADSTF=DSST\displaystyle A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}

Hier setzt du nun DS1,78  m\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m und ST=2,50m\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m ein.

A=22,5m1,78m=8,9m2\displaystyle A=2\cdot2,5\,\mathrm m\cdot 1,78\,\mathrm m=8,9\,\mathrm m^2

Der Flächeninhalt des Daches beträgt 8,9 m28,9 \ m^2.

9

Anwendung in der Physik:

Geschwindigkeitspfeile werden oft zerlegt in Horizontalgeschwidigkeit vxv_x und Vertikalgeschwindigkeit vyv_y .

Dabei können vxv_x und vyv_y je nach Richtung (rechts/links bzw. oben/unten) positiv oder negativ sein.

Beim Vektor vv betrachten wir hier die Pfeillänge v\left|v\right| .

Bild

Ergänze die folgende Tabelle

vx\displaystyle v_x

5

6

3

7

vy\displaystyle v_y

12

-8

0,8

15

v\displaystyle \vert v \vert

1

17

5

25

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

vx\displaystyle v_x

5

6

0,6

8

3

7

vy\displaystyle v_y

12

-8

0,8

15

4

24

v\displaystyle \vert v \vert

13

10

1

17

5

25

10
  1. Stelle für die nebenstehende Figur drei Pythagoras-Formeln auf.

  2. Im rechtwinkligen Dreieck gilt auch der Kathetensatz a2=pca^2=pc (ebenso b2=qcb^2=qc), der z. B. mithilfe ähnlicher Dreiecke bewiesen werden kann. Setze damit (und mit Hilfe von Teilaufgabe 1) den hier vorgegebenen Ansatz fort und folgere damit den sogenannten Hohensatz: pq=p(cp)=pq = p(c-p) = \dots

 Lösung anzeigen

Teilaufgabe 1

p2+h2=a2;  q2+h2=b2;  a2+b2=c2\displaystyle p^2+h^2=a^2;\;q^2+h^2=b^2;\;a^2+b^2=c^2

Teilaufgabe 2

pq=p(cp)\displaystyle pq=p\left(c-p\right)

Wende das Distributivgesetz an.

pq=pcp2\displaystyle pq=pc-p^2

Setze a2a^2 für pcpc ein (siehe Kathetensatz).

pq=a2p2=h2\displaystyle pq=a^2-p^2=h^2

siehe Teilaufgabe 1

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Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Gartentor aus Vierkantprofil (40x40) gefertigt werden.

Bestimme die Gesamtlänge der benötigten Profilstäbe, wenn mit einem Verschnitt von 5% zu rechnen ist.

01_des
 Lösung anzeigen

Berechnung der Länge der Diagonale mit Satz von Pythagoras

Querstrebe S=(800mm)2+(600mm)2S = \sqrt{\left(800\,\mathrm{mm}\right)^2+\left(600\,\mathrm{mm}\right)^2}

Ausrechnung der Gleichung

S=1000mm\displaystyle S = 1000\,\mathrm{mm}
S=1m\displaystyle \phantom{S} = 1m

Berechnung des Umfangs des Rechtecks

Seitenteile ST=2880mm+2680mmS_T = 2 \cdot 880\,\mathrm{mm} + 2 \cdot 680\,\mathrm{mm}

Ausrechnung der Gleichung

ST=3120mm\displaystyle S_T =3120\,\mathrm{mm}
ST=3,12m\displaystyle \phantom{S_T}= 3,12\,\mathrm{m}

Berechnung der Gesamtlänge ohne Verschnitt

Addition der beiden Teilergebnise

Snetto=ST+S=1m+3,12m=4,12m\displaystyle S_{\text{netto}} = S_T + S = 1\,\mathrm{m} + 3,12\,\mathrm{m} = 4,12\,\mathrm{m}

Umformen der Prozentzahl in Dezimalzahl

p  =  0,05\displaystyle p\;=\;0,05

Berechnung des Grundwerts

Lbrutto=Lnetto1p\displaystyle L_{\text{brutto}} = \frac{L_{\text{netto}}}{1-p}

Ausrechnung der Gleichung

Lbrutto=4,337m\displaystyle L_{\text{brutto}} = 4,337\,\mathrm{m}

Die Gesamtlänge beträgt Lbrutto=4,337mL_{\text{brutto}} = 4,337\,\mathrm{m}.