Aufgaben

Berechne ohne Taschenrechner

%%\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3%%

%%\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3=%%

Schreibe die Potenz aus.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\right)\right]:3=%%

Fasse zusammen.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\right)\right]:3=%%

Fasse erneut zusammen.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot16\cdot4\cdot2\right)\right]:3=%%

Fasse zusammen.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot16\cdot8\right)\right]:3=%%

Man multipliziert zunächst die Zahlen in der Klammer da gilt: Klammer vor Punkt vor Strich

%%=\left[400-\left(7+3\cdot128\right)\right]:3=%%

%%=\left[400-\left(7+384\right)\right]:3=%%

Addiere die Zahlen in der Klammer.

Die Klammer löst sich dadurch auf.

%%=\left[400-391\right]:3=%%

Subtrahiere in der Klammer.

Die Klammer löst sich auf.

%%=9:3=%%

%%=3%%

Dividiere die Potenz mit der Basis 75 und dem Exponenten 3 durch die Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 5.

%%\dfrac{75^3}{5^5}%%

 

%%=\dfrac{15^3\cdot5^3}{5^5}%%

 

%%=\dfrac{3^3\cdot5^3\cdot5^3}{5^5}%%

Kürze mit %%5^5%%.

%%=3^3\cdot5^1%%

Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. %%3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27%% und %%5^1 = 5%%

%%=27\cdot 5=135%%

 

Dividiere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 durch das Produkt aus 9 und 16.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Term aufstellen

Als Erstes musst du den Text in der Aufgabe in einen mathematischen Term "übersetzen":

"Potenz mit der Basis 6 und dem %%4%%"

ergibt im Term: %%6^4%%

"dividiere"

geteilt durch

"Produkt aus %%9%% und %%16%%"

ergibt im Term: %%9\cdot 16%%

Das setzt du nun zu einem Term zusammen.
Wenn du die Division mit dem Geteilt-durch-Zeichen schreibst, erhältst du:
64:(916)6^4 : (9\cdot 16)

(Wichtig: Um "9169\cdot 16" musst du dann eine Klammer schreiben, weil sonst nur durch 99 und nicht durch 9169\cdot 16 geteilt werden würde).
Wenn du die Division mit dem Bruchstrich schreibst, erhältst du:
64916\dfrac{6^4}{9\cdot16}

(Hier brauchst du keine Klammern zu setzen, da der Bruchstrich wie eine Klammer wirkt).

Term ausrechnen

Berechne nun den Term:
64916\dfrac{6^4}{9\cdot 16}=1296144=\dfrac{1296}{144}
Da 1296 ein Vielfaches von 144, kannst du den Bruch mit 144 kürzen.
64916=1296144=9\dfrac{6^4}{9\cdot 16}= \dfrac{1296}{144}=9

Dividiere die Potenz mit der Basis 18 und dem Exponenten 4 durch die Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten 7. Rechne so vorteilhaft wie möglich!

%%\frac{18^4}{3^7}%%

18 in Primfaktoren zerlegen.

%%=\frac{\left(2\cdot3^2\right)^4}{3^7}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\frac{2^4\cdot\left(3^2\right)^4}{3^7}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\frac{2^4\cdot3^8}{3^7}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=2^4\cdot3^1%%

 

%%=16\cdot3=48%%

 

Multipliziere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 mit der Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.

Löse diese Aufgabe durch geschicktes Umformen.

%%6^4\cdot5^3%%

Verwende %%6^4=3^4\cdot2^4%%

%%=3^4\cdot2^4\cdot5^3%%

Verwende %%2^4=2\cdot2^3%%

%%=3^4\cdot2\cdot2^3\cdot5^3%%

Verwende %%2^3\cdot5^3=\left(2\cdot5\right)^3%%

%%=3^4\cdot2\cdot\left(2\cdot5\right)^3%%

%%=162\cdot1000%%

%%=162000%%

Bei wie vielen zweistelligen Quadratzahlen ist die Einerziffer ungerade?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation

Wir probieren die Quadratzahlen der Reihe nach durch. Da 102=10010^2 =100 schon dreistellig ist, sollten wir nicht allzu viele zweistellige Quadratzahlen bekommen:
12=1 nicht zweistellig22=4 nicht zweistellig32=9 nicht zweistellig42=16 gerade Quadratzahl52=25 1. ungerade zweistellige Quadratzahl62=36 gerade Quadratzahl72=49 2. ungerade zweistellige Quadratzahl82=64 gerade Quadratzahl92=81 3. ungerade zweistellige Quadratzahl102=100 bereits dreistellig\begin{array}{rll}1^2 & = 1 & | \text{ nicht zweistellig} \\2^2 &= 4 & | \text{ nicht zweistellig} \\3^2 &= 9 & | \text{ nicht zweistellig} \\4^2 &= 16 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{5^2} &\color{Green}{= 25} & \color{Green}{|\text{ 1. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\6^2 &= 36 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{7^2} &\color{Green}{= 49} & \color{Green}{|\text{ 2. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\8^2 &= 64 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{9^2} &\color{Green}{= 81} & \color{Green}{|\text{ 3. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\10^2 &= 100 & | \text{ bereits dreistellig}\end{array}
Alle Quadratzahlen ab 100 sind nicht mehr zweistellig. Damit gibt es mit 2525, 4949 und 8181 insgesamt 33 Quadratzahlen, deren Endziffer ungerade ist.
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