Aufgaben

Folgende Tabelle gibt den Zusammenhang zwischen Länge %%l%% und Breite %%b%% von Rechtecken wieder, die den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Länge %%l%%

40

10

7,5

Breite %%b%%

25

200

250

  1. Vervollständige die Tabelle und stelle den Zusammenhang graphisch dar.

  2. Gib einen Term für die Abhängigkeit der Breite %%b%% von der Länge %%l%% an.

Teilaufgabe 1

Bestimme zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks. Diesen kann man als Flächeninhalt des Rechtecks mit Länge 10 und Breite 200 bestimmen. Dieser Flächeninhalt beträgt also 2.000 Einheiten.

Länge %%l%%

80

40

10

8

7,5

Breite %%b%%

25

50

200

250

266,67

Image Title

Teilaufgabe 2

-- Die Abhängigkeit der Breite von der Länge lässt sich folgendermaßen darstellen: %%b=2000:l%%.

Die Aufräumarbeiten nach einem Fest können von 14 Leuten in %%3\frac12%% Stunden erledigt werden.

Wie viele müssen zusätzlich helfen, um die Arbeit in 2 h zu schaffen?

14 Leute benötigen 3,5 Stunden.

Multipliziere die Anzahl der Leute mit 3,5, um auszurechnen, wieviele Leute die Aufräumarbeiten in einer Stunde bewältigen würden.

%%14\cdot3,5%% Personen benötigen %%1h%%.

%%49%% Personen benötigen %%1h%%.

Dividere die Anzahl der Arbeiter durch 2, um auszurechnen, wieviele Arbeiter benötigt würden, um die Arbeit in zwei Stunden zu bewältigen.

%%49:2%% Arbeiter benötigen %%2h%%.

Das sind %%24,5%% Arbeiter.

Bestimme nun die Anzahl der mehr benötigten Arbeiter als Differenz der beiden Arbeiteranzahlen.

%%24,5-14=10,5\approx11%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es wären ca. 11 Leute mehr nötig, um die Arbeit in zwei Stunden zu erledigen.

Die Aufräumarbeiten werden zunächst von 14 Leuten begonnen. Nach 3 Stunden gehen 12 Helfer (um den letzten Zug zu erreichen). Wie lange müssen die verbleibenden 2 Leute insgesamt arbeiten?

14 Leute benötigen für die Arbeit ingesamt 3,5h.

Nach 3 Stunden gehen 12 der 14 Leute. Die 14 Personen würden zusammen noch 30 Minuten benötigen. Überlege, wie lange die 2 für die Restarbeit noch benötigen.

Wenn 14 Personen für die Restarbeit noch 30 Minuten benötigen, beträgt die Dauer der Restarbeit noch 7 Arbeitsstunden.

Auf zwei Personen aufgeteilt, bedeutet dies eine weitere Arbeitszeit von %%7\,h:2=3,5h%% für jeden der beiden.

Da nach der Gesamtarbeitszeit für jeden dieser beiden Arbeiter gefragt ist, addiere diese %%3,5h%% zu den %%3h%%, die sie schon vorher gearbeitet haben.

%%3,5h+3h=6,5h%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die 2 Leute müssen also ingesamt jeweils 6,5h arbeiten.

Ein Schwimmbecken wird von drei Leitungen befüllt, die jeweils dieselbe Menge Wasser pro Stunde in das Becken leiten. Sie benötigen zusammen 3 Stunden und 15 Minuten, um das Becken zu füllen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität

3 Leitungen benötigen 3 Stunden und 15 Minuten
Dividiere die benötigte Zeit durch 2, da sich die Anzahl der Leitungen verdoppelt hat.
323 ⋅ 2 Leitungen benötigen 3h+15min2=3h2+15min2\frac{3 \text{h} + 15 \text{min}}{2}= \frac{3 \text{h}}{2}+\frac{15 \text{min}}{2}
66 Leitungen benötigen 1,5h+7,5min1,5 \text{h} + 7,5 \text{min}
Rechne die benötigten Minuten und Stunden zusammen.
1,5h+7,5min=1h30min+7,5min=1h37,5min\displaystyle 1,5 \text{h} + 7,5 \text{min} = 1 \text{h} 30 \text{min} + 7,5 \text{min} = 1 \text{h} 37,5 \text{min}
        \;\;\Rightarrow\;\;Bei der doppelten Anzahl an Leitungen, wird die halbe Zeit benötigt, das sind 1 Stunde und 37 Minuten.
Wie lange dauert es bis das Becken gefüllt ist, wenn 2 Leitungen dazukommen durch die aber das Wasser nur halb so schnell fließt wie durch die, die schon vorhanden sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität

Die zwei neuen, langsamen Leitungen arbeiten genauso schnell wie eine normale. Dies bedeutet, dass jetzt 4 Leitungen anstatt drei Wasser pumpen.
Drei Leitungen brauchen 3 Stunden und 15 Minuten. Dann würde eine Leitung dreimal soviel Zeit brauchen (also Zeit mal 3 nehmen). Vier Leitungen schaffen es viermal so schnell wie eine Leitung (also anschließend durch vier teilen).
3,2534=13434=3916=2716\displaystyle 3,25\cdot\frac34=\frac{13}4\cdot\frac34=\frac{39}{16}=2\frac7{16}
Das Ergebnis muss nur noch in Minuten und Sekunden ausgedrückt werden. Dafür multiplizierst du den Bruch mit 60.
71660=42016=1054=26,25\displaystyle \frac7{16}\cdot60=\frac{420}{16}=\frac{105}4=26,25
0,25 Minuten entsprechen 15 Sekunden, weil 0,25 ein Viertel von eins und 15 Sekunden ein Viertel von einer Minute (60 Sekunden) ist.
Antwort: Das Becken ist nach 2 Stunden, 26 Minuten und 15 Sekunden befüllt.
Wie lange dauert die Befüllung wenn nach einer Stunde zwei der Leitungen verriegelt werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität

Normalerweise würden die Pumpen jetzt noch 2 Stunden und 15 Minuten benötigen, um das Becken vollzumachen. Es arbeitet aber in diesem Zeitraum nur eine statt 3 Pumpen. Diese benötigt die dreifache Zeit.
Rechne daher die verbliebene Zeit mal 3.
2,253=6.75\displaystyle 2,25 \cdot3 =6.75
Das Ergebnis muss nur noch in Sekunden und Minuten ausgedrückt werden:
0,75 Stunden entsprechen 45 Minuten, weil 0,75 drei Viertel von eins und 45 drei Viertel von 60 ist.
Die Pumpen haben bereits eine Stunde gearbeitet. Diese muss dem Ergebnis von 6 Stunden und 45 Minuten noch hinzugefügt werden.
Antwort: Die Pumpen benötigen 7 Stunden und 45 Minuten, wenn zwei nach einer Stunde abgeschaltet werden.
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