Aufgaben

Zeichne den folgenden Punkt in ein Koordinatensystem ein:

Bestimme die Koordinaten der Punkte A-E und gib an, in welchen Quadranten die Punkte liegen.
Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Kartesisches Koordinatensystem

A: Du gehst vom Punkt aus senkrecht zur x-Achse nach unten und liest den x-Wert ab.Dieser lautet 2.Nun gehst du vom Punkt aus waagrecht zur y-Achse nach links und liest den y-Wert ab.Dieser lautet 5.Damit lautet unser gesuchter Punkt A(2|5).
B: Du gehst vom Punkt aus senkrecht zur x-Achse nach unten und liest den x-Wert ab.Dieser lautet -3.Nun gehst du vom Punkt aus waagrecht zur y-Achse nach rechts und liest den y-Wert ab.Dieser lautet 3.Daher lautet unser gesuchter Punkt B(-3|3).
C: Du gehst vom Punkt aus senkrecht zur x-Achse nach oben und liest den x-Wert ab.Dieser lautet -2.Nun gehst du vom Punkt aus waagrecht zur y-Achse nach rechts und liest den y-Wert ab.Dieser lautet -1.Daher lautet unser gesuchter Punkt C(-2|-1).
D: Du gehst vom Punkt aus senkrecht zur x-Achse nach oben und liest den x-Wert ab.Dieser lautet 1.Nun gehst du vom Punkt aus waagrecht zur y-Achse nach links und liest den y-Wert ab.Dieser lautet -2.Daher lautet unser gesuchter Punkt D(1|-2).
E: Du gehst vom Punkt aus senkrecht zur x-Achse nach unten und liest den x-Wert ab.Dieser lautet 5.Nun gehst du vom Punkt aus waagrecht zur y-Achse nach links und liest den y-Wert ab.Dieser lautet 1.Daher lautet unser gesuchter Punkt E(5|1).

Beschrifte die Quadranten in der Zeichnung.
Punkt A liegt im I. Quadranten, B liegt im II. Quadranten, C liegt III. Quadranten, D liegt im IV. Quadranten und E liegt im I. Quadranten.

Zeichne die Gerade %%AB%% und den Punkt %%C%% in ein Koordinatensystem ein und miss den Abstand mit einem Geodreieck.

%%A(2|2)%%, %%B(4|6)%%, %%C(6|3)%%

Messen des Abstands

  1. Trage alle Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte A und B zu einer Gerade.

  2. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Gerade und schiebe es solange nach oben/unten bis du den Punkt C erreichst.

  3. Lies den Abstand ab.

Abstand: 3,1cm - 3,5cm (wird als Lösung akzeptiert: Zeichenungenauigkeit)

%%A(2|2)%%, %%B(4|6)%%, %%C(1|5)%%

Messen des Abstands

  1. Trage alle Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte A und B zu einer Gerade.

  2. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Gerade und schiebe es solange nach oben/unten bis du den Punkt C erreichst.

  3. Lies den Abstand ab.

Abstand: 2,2cm - 2,6cm (wird als Lösung akzeptiert: Zeichenungenauigkeit)

%%A(6|1)%%, %%B(2|5)%%, %%C(7|6)%%

Messen des Abstands

  1. Trage alle Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte A und B zu einer Gerade.

  2. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Gerade und schiebe es solange nach oben/unten bis du den Punkt C erreichst.

  3. Lies den Abstand ab.

Abstand: 4,0cm - 4,4cm (wird als Lösung akzeptiert: Zeichenungenauigkeit)

Bestimme den Abstand der Gerade AB zu dem Punkt C.

$$A (-3|1), B(3|4), C(2|1)$$

Zeichne die Gerade AB und den Punkt C in ein Koordinatensystem ein.

Gerade AB

Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt C, der die Gerade AB in zwei Punkten schneidet. Für den Radius des Kreises gibt es viele Möglichkeiten.

Kreis um C

Der hier gewählte Kreis schneidet die Gerade AB in den Punkten B und D. Konstruiere nun die Mittelsenkrechte zu den Punkten D und B und bestimme den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Geraden AB.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte wurde hier orange eingezeichnet und der Schnittpunkt mit der Geraden AB mit E bezeichnet. Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Geraden AB und verläuft durch den Punkt C. Die Strecke [EC] ist also die kürzeste Verbindung von dem Punkt C zu der Geraden AB. Der Abstand von C zu AB entspricht also der Länge der Strecke [EC].

Miss nun die Länge der Strecke [EC]

%%\overline{\text{EC}}\approx 2,2%%

Antwort: Der Abstand des Punktes C zur Gerade AB beträgt ca. 2,2.

$$A(-3|1), B(3|4), C(-2|5)$$

Zeichne die Gerade AB und den Punkt C in ein Koordinatensystem ein.

Gerade AB

Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt C, der die Gerade AB in zwei Punkten schneidet. Für den Radius des Kreises gibt es viele Möglichkeiten.

Kreis um C

Der hier gewählte Kreis schneidet die Gerade AB in den Punkten B und D. Konstruiere nun die Mittelsenkrechte zu den Punkten D und B und bestimme den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Geraden AB.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte wurde hier orange eingezeichnet und der Schnittpunkt mit der Geraden AB mit E bezeichnet. Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Geraden AB und verläuft durch den Punkt C. Die Strecke [EC] ist also die kürzeste Verbindung von dem Punkt C zu der Geraden AB. Der Abstand von C zu AB entspricht also der Länge der Strecke [EC].

Miss nun die Länge der Strecke [EC]

%%\overline{\text{EC}}\approx 3,1%%

Antwort: Der Abstand des Punktes C zur Gerade AB beträgt ca. 3,1.

$$A(-2|3), B(4|-1), C(3|3)$$

Zeichne die Gerade AB und den Punkt C in ein Koordinatensystem ein.

Gerade AB

Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt C, der die Gerade AB in zwei Punkten schneidet. Für die Wahl des Radius des Kreises gibt es viele Möglichkeiten.

Kreis um C

Der hier gewählte Kreis schneidet die Gerade AB in den Punkten B und D. Konstruiere nun die Mittelsenkrechte zu den Punkten D und B und bestimme den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Geraden AB.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte wurde hier orange eingezeichnet und der Schnittpunkt mit der Geraden AB mit E bezeichnet. Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Geraden AB und verläuft durch den Punkt C. Die Strecke [EC] ist also die kürzeste Verbindung von dem Punkt C zu der Geraden AB. Der Abstand von C zu AB entspricht also der Länge der Strecke [EC].

Miss nun die Länge der Strecke [EC]

%%\overline{\text{EC}}\approx 2,8%%

Antwort: Der Abstand des Punktes C zur Gerade AB beträgt ca. 2,8.

Zeichne in ein geeignetes Koordinatensystem die Sterne des großen Wagens, die durch folgende Koordinaten gegeben sind: (31),(44),(77),(108),(137),(1611),(1413)(3|1), (4|4), (7|7), (10|8), (13|7), (16|11), (14|13) Zeichne auch noch den Polarstern ein, der dem Punkt (522)(5|22) entspricht. Suche eine Regel, die bei Sichtbarkeit des großen Wagens das Auffinden des Polarsterns ermöglicht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Punkte im Koordinatensystem

Gegebene Punkte: (31),(44),(77),(108),(137),(1611),(1413)(3|1),(4|4),(7|7),(10|8),(13|7),(16|11),(14|13) und (522)(5|22)
Zeichne die Punkte für den großen Wagen in ein Koordinatensystem mit Abstand 5mm ein und verbinde sie in gegebener Reihenfolge. Zeichne den Punkt für den Polarstern hinzu.
Goßer Wagen 1
Stelle fest, dass der Polarstern (522)(5|22) auf der Geraden durch die Punkte (1611)(16|11) und (1413)(14|13) liegt und zeichne diese ein.
Großer Wagen 2
Du findest den Polarstern also, indem du nach Sternen suchst, die mit den hinteren beiden Sternen des großen Wagens auf einer Geraden liegen.

Gegeben sind die Punkte A(40|220), B(100|250), C(200|300), D(80|240).

  1. Zeichne die Punkte A-D in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

  2. Bestimme die Geradengleichung der durch die Punkte A-D verlaufenden Gerade.

  3. Gib drei weitere Punkte an, die auf der Gerade liegen.

1.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5373_YY7IuAMwyu.xml

2.

Betrachte A(40|220) und B(100|250).

Wähle %%\ \ x_1 = 40, y_1 = 220 \\%% von A und %%x_2 = 100, y_2 = 250%% von B.

%%m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{250 - 220}{100 - 40} = \frac {30} {60} = 0.5%%

Da die Punkte A-D alle auf einer Geraden liegen, reicht es, wenn du dir nur zwei Punkte (beispielsweise A und B) heraussuchst. Mit deren Hilfe bestimmst du die Steigung der Gerade. Hierfür ziehst du die y-Koordinate vom Punkt A von der y-Koordinate vom Punkt B ab, und die x-Koordinate vom Punkt A von der x-Koordinate vom Punkt B.

Nun wird der y-Abschnitt bestimmt, indem man einen Punkt auf der Gerade (zum Beispiel C), in die Geradengleichung %%\ \ y = mx + t \\%% einsetzt und nach %%t%% auflöst.

Setze Punkt C in die Geradengleichung %%y = mx + t%% ein, wobei wir das zuvor berechnete %%m = 0.5%% einsetzen:

%%y = 0.5 \cdot x + t%%

%%300 = 0.5 \cdot 200 + t%%

%%\ \Leftrightarrow \ \ t=200%%

Damit haben wir sowohl %%m%% als auch %%t%% bestimmt, so dass unsere Geradengleichung lautet:

%%\ \ y = 0.5 \cdot x + 200%%

3.

%%\ \ y = 0.5 \cdot x + 200%%

Setze drei beliebige x-Werte in die Geradengleichung ein, um den jeweiligen y-Wert zu bekommen, z.B. %%x_1 = 0, x_2 = -100%% und %%x_3 = 300%%.

%%y_1 = 0.5 \cdot x_1 + 200%%

%%\ \ \ \ = 0.5 \cdot 0 + 200 = 200%%

%%y_2 = 0.5 \cdot x_2 + 200%% %%\ \ \ \ = 0.5 \cdot (-100) + 200 = 150%%

%%y_3 = 0.5 \cdot x_3 + 200%%

%%\ \ \ \ = 0.5 \cdot 300 + 200 = 350%%

Damit erhalten wir also folgende drei Punkte D, E und F:

%%D(0|200), E(-100|150)%% und %%F(300|350)%%

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