Aufgaben

Setze in den Term %%T(x)=\left(\frac14-x+x^2\right):\left(-\frac12\right)%% für die Variable %%x%% die Zahlen %%-2; -1; -0,50; 0,25;%%  %%\frac34%% sowie 1 ein und berechne die zugehörigen Termwerte.

%%x%%

-2

-1

-0,5

0,25

%%\frac{3}{4}%%

1

%%T(x)%%

-12,5

-4,5

-2

-0,125

-0,125

-0,5

für %%x=-2%%

%%\left(\frac14-x+x^2\right):\left(-\frac12\right)=%%

%%x=-2%% einsetzen.

%%=\left(\frac14-\left(-2\right)+\left(-2\right)^2\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14+2+4\right):\left(-\frac12\right)%%

Hauptnenner bilden. %%\rightarrow\;4%%

%%=\left(\frac14+\frac84+\frac{16}4\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac{25}4:\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac{25}4\cdot\left(-\frac21\right)%%

%%=-\frac{25}2=-12,5%%

für %%x=-1%%

%%\left(\frac14-x+x^2\right):\left(-\frac12\right)=%%

%%x=-1%% einsetzen.

%%=\left(\frac14-\left(-1\right)+\left(-1\right)^2\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14+1+1\right):\left(-\frac12\right)%%

Hauptnenner bilden. %%\rightarrow\;4%%

%%=\left(\frac14+\frac44+\frac44\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac94\cdot\left(-\frac21\right)%%

%%=-\frac92=-4,5%%

für %%x=-0,5%%

%%\left(\frac14-x+x^2\right):\left(-\frac12\right)=%%

%%=\left(\frac14-\left(-0,5\right)+\left(-0,5\right)^2\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14+0,5+0,25\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14+\frac24+\frac14\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac44\cdot\left(-\frac21\right)%%

%%=-\frac42=-2%%

für %%x=0,25%%

%%\left(\frac14-x+x^2\right):\left(-\frac12\right)=%%

%%=\left(\frac14-\left(0,25\right)+\left(0,25\right)^2\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14-0,25+0,0625\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14-\frac14+0,0625\right):\left(-\frac12\right)%%

%%= \left(\frac{1}{16}\right):\left(-\frac12\right)%%

%%= \left(\frac{1}{16}\right)\cdot\left(-\frac{2}{1}\right)=\left(-\frac18\right)=-0,125%%

für %%x=\frac34%%

%%\left(\frac14-x+x^2\right):\left(-\frac12\right)=%%

%%=\left(\frac14-\left(\frac34\right)+\left(\frac34\right)^2\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac14-\frac34+\frac9{16}\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\left(\frac4{16}-\frac{12}{16}+\frac9{16}\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac1{16}\cdot\left(-\frac21\right)=\left(-\frac18\right)=-0,125%%

für %%x=1%%

%%\left(\frac14-1+\left(1\right)^2\right):\left(-\frac12\right)=%%

%%=\left(\frac14\right):\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac14\cdot\left(-\frac21\right)=-0,5%%

Setze in den Term %%a^2-2\mathrm{ab}+\frac34a%% die angegebenen Werte für %%a%% und %%b%% ein und berechne die zugehörigen Termwerte.

Zu text-exercise-group 5155:
Renate 2018-09-18 19:05:10+0200
FRAGWÜRDIGE VERLINKUNG + HINTEREINANDER-EINSETZEN

Zwei Punkte sind mir an an den (bisherigen) Lösungen (siehe Teilaufgabe b) bis f) ) zu den Unteraufgaben dieser Aufgabengruppe aufgefallen:

1. Die Überschrift "Terme umformen" passt meiner Meinung nicht zu dem, was in der Aufgabe verlangt ist, und demzufolge passt auch die Verlinkung zum Artikel "Termumformungen mit Variablen" nicht.

2. Ich halte es zwar nicht für direkt falsch, aber doch für einen nicht so guten "mathematischen Stil", zuerst nur die Variable %%a%% zu belegen und danach erst die Variable %%b%%, anstatt beides gleichzeitig durchzuführen. Denn schließlich ist keine der beiden Variablen der anderen gegenüber bevorrechtigt. Auch wenn es hier im Endergebnis keinen Unterschied macht, so würde ich es doch lieber vermeiden, so vorzugehen.
Seht ihr das auch so?


Ich habe jetzt - nicht zuletzt auf den Kommentar von @Nish hin, dass die Lösung ohnehin nicht den neuen Richtlinien entspricht / entsprach - die Lösung zu Teilaufgabe a) vollständig überarbeitet.

Frage an die Community:
Betrachtet meine Lösung zunächst mal als einen Vorschlag; wie steht ihr dazu?

Viele Grüße
Renate
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Zu text-exercise-group 5155:
Nish 2018-09-16 18:33:21+0200
Diese Aufgabe sollte nochmal bzgl. den aktuellen Richtlinien zu Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
Renate 2018-09-18 19:09:30+0200
Hallo Nish, ich habe die Lösung von Teilaufgabe a) nun vollständig überarbeitet (siehe auch meinen Kommentar).

Ist sie bezüglich Richtlinien so in Ordnung? Oder habe ich noch etwas übersehen?

Gruß
Renate
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%%a=-2%%, %%b=1%%

Variablen belegen und Termwert berechnen

Der Ausdruck %%a^2-2ab+\frac{3}{4}a%% ist ein Term, in dem die zwei Variablen %%a%% und %%b%% vorkommen.

Teil 1: Variablen belegen

Zunächst belegen wir die Variablen. Hierzu setzen für %%a%% die Zahl %%-2%% und für %%b%% die Zahl %%1%% im Term %%a^2-2ab+\frac{3}{4}a%% ein, da %%a=-2%% und %%b=1%% sein soll:

%%\begin{array}{rcclcl} &a^2 &- &2 a b &+&\frac{3}{4} a \\ = &(-2)^2 &- &2 \cdot (-2) \cdot 1 &+&\frac{3}{4} \cdot (-2) \\ \end{array}%%

Woher weiß man, welche Malpunkte und Klammern eingefügt werden müssen?

Beim Einsetzen der Zahlen müssen gegebenenfalls Malpunkte eingefügt werden. Dies liegt daran, dass zum Beispiel das Produkt %%2\cdot a\cdot b%% auch als %%2ab%% ohne Malpunkte geschrieben werden kann. Beim Produkt %%2\cdot (-2) \cdot 1%% dürfen aber die Punkte nicht weggelassen werden.

Deswegen müssen nach dem Einsetzen der Variablenbelebungen in %%2ab%% Malpunkte eingefügt werden, damit das Produkt als solches auch erhalten bleibt. Auch musst du daran achten, dass bei Produkten wie %%2\cdot (-2)%% mit negativen Zahlen Klammern um den negativen Faktor gesetzt werden müssen. Deswegen müssen die negativen Zahlen in Produkten in Klammern gesetzt werden.

Teil 2: Termwert berechnen

Berechne nun den Wert des erhaltenen Terms. Beachte dabei die Regel "Punkt geht vor Strich".

%%\left(-2\right)^2-2\cdot\left(-2\right)\cdot1+\frac34\cdot\left(-2\right)%%

Rechne zuerst die Produkte und die Potenz aus.

Multipiikation mit einem Bruch

Um %%\frac{3}{4}\cdot (-2)%% zu berechnen, kannst du statt %%-2%% einfach %%\frac{-2}{1}%% schreiben und dann die Regeln für die Multiplikation von Brüchen anwenden. So erhältst du:

$$\begin{align} \dfrac{3}{4}\cdot (-2)& =\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{-2}{1} \\ & =\dfrac{3\cdot(-2)}{4\cdot 1}=\dfrac{-6}{4} $$

%%=4-\left(-4\right)+\left(-\frac64\right)%%

Löse die Klammern auf.

%%=4+4-\frac{6}{4}%%

Rechne %%4+4%% aus,
und kürze den Bruch %%\frac{6}{4}%% mit %%2%%.

%%=8-\frac{3}{2}%%

Denke dir %%8%% als %%\frac{8}{1}%%,

und erweitere auf den Hauptnenner %%2%%.

%%=\frac{16}{2}-\frac{3}{2}%%

%%=\frac{13}{2}%%

%%\frac{13}{2}%% kannst du, wenn du willst, noch in einen gemischten Bruch umwandeln.

%%=6\frac{1}{2}%%

Außerdem kannst du es auch leicht als Dezimalzahl schreiben, wenn du entsprechend umrechnest.

%%=6,5%%

Ergebnis:

Nach Belegung der Variablen mit %%a=-2%% und %%b=1%%
und Ausrechnen des Termwerts ergibt sich

%%\dfrac{13}{2}=6\frac{1}{2}=6,5%%.

 

%%a=-1%%, %%b=0%%

%%a^2-2\mathrm{ab}+\frac34a=%%

%%a=-1%% einsetzen.

%%=\left(-1\right)^2-2\cdot\left(-1\right)\cdot b+\frac34\cdot\left(-1\right)%%

%%b=0%% einsetzen.

%%=\left(-1\right)^2-2\cdot\left(-1\right)\cdot0+\frac34\cdot\left(-1\right)%%

%%=1-0+\left(-\frac34\right)%%

%%=1-\frac34=\frac14%%

%%a=-\frac12%%, %%b=-2%%

%%a^2-2\mathrm{ab}+\frac34a=%%

%%a=-\frac12%% einsetzen.

%%=\left(-\frac12\right)^2-2\cdot\left(-\frac12\right)\cdot b+\frac34\cdot\left(-\frac12\right)%%

%%b=-2%%

%%=\left(-\frac12\right)^2-2\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\left(-2\right)+\frac34\cdot\left(-\frac12\right)%%

%%=\frac14-2+\left(-\frac38\right)%%

Hauptnenner bilden.  Alle Nenner auf 8 erweitern.

%%=\frac28-\frac{16}8-\frac38%%

%%=-\frac{17}8=-2\frac18%%

%%a=-\frac14%%, %%b=0,25%%

%%a^2-2\mathrm{ab}+\frac34a=%%

%%a=-\frac14%% einsetzen.

%%=\left(-\frac14\right)^2-2\cdot\left(-\frac14\right)\cdot b+\frac34\cdot\left(-\frac14\right)%%

%%b=0,25%% einsetzen. 0,25 = %%\frac14%%

%%=\left(-\frac14\right)^2-2\cdot\left(-\frac14\right)\cdot\left(\frac14\right)+\frac34\cdot\left(-\frac14\right)%%

%%=\frac1{16}-\left(-\frac2{16}\right)+\left(-\frac3{16}\right)%%

%%=\frac1{16}+\frac2{16}-\frac3{16}=0%%

%%a=0,5%%, %%b=-\frac13%%

%%a^2-2\mathrm{ab}+\frac34a=%%

%%a=0,5%% einsetzen. %%0,5=\frac12%%

%%=\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12\cdot b+\frac34\cdot\frac12%%

%%b=-\frac13%% einsetzen.

%%=\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12\cdot\left(-\frac13\right)+\frac34\cdot\frac12%%

%%=\frac14-1\cdot\left(-\frac13\right)+\frac34\cdot\frac12%%

Multiplikation der beiden Brüche.

%%=\frac14-\left(-\frac13\right)+\frac38%%

%%=\frac14+\frac13+\frac38%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden. Alle Brüche auf 24 im Nenner erweitern.

%%=\frac6{24}+\frac8{24}+\frac9{24}=\frac{23}{24}%%

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